Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#1

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια του προηγούμενου θέματος, ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 2
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Αν οι a,b,c

είναι ανά δύο διακεκριμμένοι πραγματικοί αριθμοί, να δειχθεί ότι η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{ \dfrac{a-b}{1+ab}+\dfrac{b-c}{1+bc}+\dfrac{c-a}{1+ca} }$

είναι πάντοτε μη μηδενική.

ΘΕΜΑ 2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ABC

παίρνουμε τα σημεία E , Z

στις πλευρές του AB , BC

αντίστοιχα, ώστε η

να είναι παράλληλη στην

. Έστω

το βαρύκεντρο του τριγώνου BEZ

και έστω

το μέσο του τμήματος

. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου GMC

.

ΘΕΜΑ 3. Έστω $\displaystyle{a,b,c}$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{a + b + c = 3}$ . Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} + abc \le 4.}$

Πότε ισχύει η ισότητα?

ΘΕΜΑ 4. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι x,n

που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{x^3+3367=2^n.}$

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 1. Αν οι είναι ανά δύο διακεκριμμένοι πραγματικοί αριθμοί, να δειχθεί ότι η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{ \dfrac{a-b}{1+ab}+\dfrac{b-c}{1+bc}+\dfrac{c-a}{1+ca} }$

είναι πάντοτε μη μηδενική.

Κάνοντας τα κλάσματα ομώνυμα και προσθέτωντας εύκολα βλέπουμε ότι ο αριθμητής (που τον θεωρούμε ως δευτεροβάθμιο πολυώνυμο του

) , ισούται με (a-b)(b-c)(c-a)

. Άρα η δοθείσα παράσταση ισούται με

$\displaystyle{ \dfrac{a-b}{1+ab}\cdot \dfrac{b-c}{1+bc}\cdot\dfrac{c-a}{1+ca} }$

από όπου το ζητούμενο.

Άλλος τρόπος είναι να γράψω $a=\tan A$ και λοιπά, οπότε οι παραστάση ισούται με $\tan(A-B) + \tan (B-C) + \tan (C-A)$ και άρα με το γινόμενό τους αφού (A-B)+(B-C) + (C-A)=0

(γνωστή άσκηση). Οι λεπτομέρειες όμως φαίνονται λίγο δυσκολότερες από ότι την πρώτη λύση, οπότε ας μην μας απασχολήσει...

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

achilleas έγραψε:

ΘΕΜΑ 4. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{x^3+3367=2^n.}$

Παρατηρούμε πως 7|3367

. Συνεπώς πρέπει $2^n\equiv x^3 \mod 7$ .

Ακόμη γνωρίζουμε πως τα δυνατά υπόλοιπα του x^3

με το

είναι το

, ενώ του

είναι

.

Προφανώς έχουμε πως $x^3 \equiv 2^n \equiv 1 \mod 7$ . Όμως γνωρίζουμε πως $2^3 \equiv 1 \mod 7$ (εδώ το

είναι το ελάχιστο

που ισχύει κάτι τέτοιο), άρα n=3k

,

όπου θετικός ακέραιος.

Η εξίσωση τότε γίνεται (2^k)^3-x^3=3367

.

Ισχύουν τα εξής:

Αν x>y>0

, ισχύει ότι: (x+1)^3-x^3>(y+1)^3-y^3

(1)
Αν $x\geq z>0$ , ισχύει ότι: $(x+1)^3-z^3\geq (x+1)^3-x^3$ (2)

Έστω 2^k>34

και $2^k>z\geq 0$ , τότε από τις σχέσεις (2) και (1) έχουμε ότι:

$(2^k)^3-z^3\geq (2^k)^3-(2^k-1)^3>34^3-33^3=3367$ , άτοπο. Άρα $2^k\leq 34$

Δοκιμάζοντας για $k\leq 5$ , έχουμε τη μοναδική λύση $(k, x)=(4, 9)\Leftrightarrow (n, x)=(12, 9)$ .

Απόδειξη της (1):

$(x+1)^3-x^3>(y+1)^3-y^3 \Leftrightarrow$ $3x^2+3x+1>3y^2+3y+1\Leftrightarrow x^2+x>y^2+y$ που ισχύει.

Edit: Έγιναν κάποιες προσθήκες

#4

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:....

Εύκολα βρίσκουμε ότι $2^k\leq 35$ , καθώς αν οι αριθμοί μεγαλώσουν περισσότερο, τότε οι διαφορές ακόμα και διαδοχικών κύβων είναι μεγαλύτερες από .

....

Αυτό το τμήμα της λύσης χρειάζεται περισσότερες διευκρινίσεις.

***************************
Σχόλιο: Είναι ένας άγραφος κανόνας σχεδόν ανάμεσα στους επιμελητές άρθρων, ερευνητικών και μη.

Οι λέξεις "Εύκολα", "Προφανώς", κτλ είναι που χτυπούν ένα καμπανάκι ώστε να προσέξει κανείς περισσότερο ακριβώς εκείνο το τμήμα της λύσης που ξεκινά έτσι.

Πολλές φορές, δεν είναι ούτε εύκολο ούτε προφανές. Δεν είναι σπάνιες οι φορές που είτε ο συγγραφέας έχει κάνει λάθος είτε δεν έχει μπει στον κόπο καν να ελέγξει τον ισχυρισμό του, αλλά βασίζεται στη διαίσθησή του.

Έτσι, πριν χρησιμοποιήσετε αυτές τις λέξεις στα γραπτά σας να είστε πολύ προσεκτικοί.
***************************

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

achilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 3. Έστω $\displaystyle{a,b,c}$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{a + b + c = 3}$ . Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} + abc \le 4.}$

Πότε ισχύει η ισότητα?

Έχουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{4(a+b+c)^3\geq 27abc+27(ab^2+bc^2+ca^2).}$

Λόγω κυκλικότητας υποθέτουμε ότι $\displaystyle{c=\min \{a,b,c\},}$ οπότε υπάρχουν $\displaystyle{x,y\geq 0,}$ ώστε $\displaystyle{a=x+c, b=y+c.}$

Τότε έχουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{4(3c+x+y)^3\geq27((x+c)(y+c)^2+(c+y)c^2+c(c+x)^2)+27c(c+x)(c+y)}$

δηλαδή ότι

$\displaystyle{9 c (x^2 - x y + y^2) + (x + 4 y) (y - 2 x)^2\geq 0,}$ η οποία ισχύει.

Φανερά, η ισότητα ισχύει αν-ν $\displaystyle{x=y=0}$ δηλαδή $\displaystyle{a=b=c}$ ή $\displaystyle{c=0, b=2a}$ και οι μεταθέσεις.

JimNt. · #6

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
achilleas έγραψε:

ΘΕΜΑ 4. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{x^3+3367=2^n.}$
.......

Εύκολα βρίσκουμε ότι $2^k\leq 34$ , καθώς αν οι αριθμοί μεγαλώσουν περισσότερο, τότε οι διαφορές δύο ακόμα και διαδοχικών κύβων είναι μεγαλύτερες από . Με άλλα λόγια, ισχύει ότι . Αν όμως , τότε οι διαφορές δύο διαδοχικών κύβων θα είναι μεγαλύτερες του , καθώς όσο οι αριθμοί μεγαλώνουν τόσο και οι διαφορές διαδοχικών δυνάμεων μεγαλώνουν. Άρα αν οι διαδοχικές διαφορές είναι μεγαλύτερες από , θα είναι και γενικά οι διαφορές κύβων μεγαλύτερες από . (Δεν ξέρω αν έγινα τώρα κατανοητός )

Δοκιμάζοντας για $k\leq 5$ , έχουμε τη μοναδική λύση $(k, x)=(4, 9)\Leftrightarrow (n, x)=(12, 9)$ .

Ισχύει από την (n+1)^3-n^3>n^3-(n-1)^3

$\Leftrightarrow$ (n+k+1)^3-(n+k)^3>n^3-(n-1)^3

, $\displaystyle{k \in \mathbb{N}}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #7

achilleas έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:....

Εύκολα βρίσκουμε ότι $2^k\leq 35$ , καθώς αν οι αριθμοί μεγαλώσουν περισσότερο, τότε οι διαφορές ακόμα και διαδοχικών κύβων είναι μεγαλύτερες από .

....
Αυτό το τμήμα της λύσης χρειάζεται περισσότερες διευκρινίσεις.

***************************
Σχόλιο: Είναι ένας άγραφος κανόνας σχεδόν ανάμεσα στους επιμελητές άρθρων, ερευνητικών και μη.

Οι λέξεις "Εύκολα", "Προφανώς", κτλ είναι που χτυπούν ένα καμπανάκι ώστε να προσέξει κανείς περισσότερο ακριβώς εκείνο το τμήμα της λύσης που ξεκινά έτσι.

Πολλές φορές, δεν είναι ούτε εύκολο ούτε προφανές. Δεν είναι σπάνιες οι φορές που είτε ο συγγραφέας έχει κάνει λάθος είτε δεν έχει μπει στον κόπο καν να ελέγξει τον ισχυρισμό του, αλλά βασίζεται στη διαίσθησή του.

Έτσι, πριν χρησιμοποιήσετε αυτές τις λέξεις στα γραπτά σας να είστε πολύ προσεκτικοί.
***************************

Φιλικά,

Αχιλλέας

Έχετε δίκιο. Έδωσα τώρα κάποιες παραπάνω διευκρινήσεις. Θεωρείτε ότι αρκούν;

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #8

JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
achilleas έγραψε:

ΘΕΜΑ 4. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{x^3+3367=2^n.}$

Παρατηρούμε πως . Συνεπώς πρέπει $2^n\equiv x^3 \mod 7$ .

Ακόμη γνωρίζουμε πως τα δυνατά υπόλοιπα του με το είναι το , ενώ του είναι .

Προφανώς έχουμε πως $x^3 \equiv 2^n \equiv 1 \mod 7$ . Όμως γνωρίζουμε πως $2^3 \equiv 1 \mod 7$ (εδώ το είναι το ελάχιστο που ισχύει κάτι τέτοιο), άρα , όπου θετικός ακέραιος.

Η εξίσωση τότε γίνεται .

Εύκολα βρίσκουμε ότι $2^k\leq 34$ , καθώς αν οι αριθμοί μεγαλώσουν περισσότερο, τότε οι διαφορές δύο ακόμα και διαδοχικών κύβων είναι μεγαλύτερες από . Με άλλα λόγια, ισχύει ότι . Αν όμως , τότε οι διαφορές δύο διαδοχικών κύβων θα είναι μεγαλύτερες του , καθώς όσο οι αριθμοί μεγαλώνουν τόσο και οι διαφορές διαδοχικών δυνάμεων μεγαλώνουν. Άρα αν οι διαδοχικές διαφορές είναι μεγαλύτερες από , θα είναι και γενικά οι διαφορές κύβων μεγαλύτερες από . (Δεν ξέρω αν έγινα τώρα κατανοητός )

Δοκιμάζοντας για $k\leq 5$ , έχουμε τη μοναδική λύση $(k, x)=(4, 9)\Leftrightarrow (n, x)=(12, 9)$ .
'Η μπορείς απλά να παραγοντοποιήσεις...

Πράγματι, αλλά νομίζω πως θα γινόταν πιο περίπλοκο...

#9

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:...

Εύκολα βρίσκουμε ότι $2^k\leq 34$ , καθώς αν οι αριθμοί μεγαλώσουν περισσότερο, τότε οι διαφορές δύο ακόμα και διαδοχικών κύβων είναι μεγαλύτερες από . Με άλλα λόγια, ισχύει ότι . Αν όμως , τότε οι διαφορές δύο διαδοχικών κύβων θα είναι μεγαλύτερες του , καθώς όσο οι αριθμοί μεγαλώνουν τόσο και οι διαφορές διαδοχικών δυνάμεων μεγαλώνουν. Άρα αν οι διαδοχικές διαφορές είναι μεγαλύτερες από , θα είναι και γενικά οι διαφορές κύβων μεγαλύτερες από .
...

Καλησπέρα, Διονύση!

Ευχαριστώ για την απάντησή σου στην άσκηση.

Ο ισχυρισμός σου είναι ο εξής:

Αν x>y>0

, τότε

.

Ο ισχυρισμός αυτός είναι διαισθητικά "προφανής", κι η απόδειξη του μπορεί να γίνει σε 2-3 γραμμές...εύκολα.

Γιατί να μην τον αποδείξουμε λοιπόν;

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:...

Έχετε δίκιο. Έδωσα τώρα κάποιες παραπάνω διευκρινήσεις. Θεωρείτε ότι αρκούν;

Για να είναι πλήρης η λύση σου, και να μη ρισκάρεις να χάσεις ούτε μια μονάδα στο διαγωνισμό, θα πρότεινα να τον αποδείξεις.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#10

achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο παίρνουμε τα σημεία στις πλευρές του αντίστοιχα, ώστε η να είναι παράλληλη στην . Έστω το βαρύκεντρο του τριγώνου και έστω το μέσο του τμήματος . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου .

Ωραία άσκηση Αχιλλέα!

: TEST-2.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 1641 φορές

Το τρίγωνο EBZ

είναι επίσης ισόπλευρο και το βαρύκεντρό του θα είναι και ορθόκεντρο, οπότε η

θα είναι κάθετη

στην

, άρα και στην

στο μέσον της

Το

είναι λοιπόν εγγράψιμο. Αλλά και MPCN

είναι εγγράψιμο,

επειδή είναι ισοσκελές τραπέζιο ( $MP||NC, M\widehat NC=P\widehat CN=60^0$ ) Επομένως τα N, G, M, P, C

είναι ομοκυκλικά,

που σημαίνει ότι $\boxed{G\widehat MC=90^0}$ και $\boxed{C\widehat GM=60^0, M\widehat CG=30^0}$

#11

Καλησπέρα σας!

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας!

Εφόσον έχουν δοθεί λύσεις και στα τέσσσερα προβλήματα, ας δώσω κάποια σχόλια και πηγές.

Το 1ο είναι κλασικό πρόβλημα. Το πήρα από ένα βιβλίο με διαγωνισμούς Αυστρίας-Πολωνίας.

Το 2ο είναι ένα αγαπημένο μου πρόβλημα γεωμετρίας.

Το 3ο πρόβλημα το έχουμε δει με διάφορες λύσεις και σχόλια εδώ.

Τέλος, το 4ο είναι από ολυμπιάδα της Τουρκίας, και λύσεις έχουν δημοσιευθεί εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #2-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Μέλη σε σύνδεση