Αρχιμήδης 2016-2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 588
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Ιαν 30, 2017 3:50 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 8 Juniors
Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση: 2a^2+ab+3a=b^2+12
H αρχική γίνεται: 2a^2+ab+3a-b^2-12=0, που έχει \Delta=9b^2+6b+105. Για b\ge17 είναι (3b+2)^2>\Delta>(3b+1)^2, άτοπο. Συνεπώς, b<17. Ελέγχοντας μια μία τις περιπτώσεις παίρνουμε b=8, που δίνει a=4. Συνεπώς, \boxed{(a,b)=(4,8)}.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 588
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Ιαν 30, 2017 3:51 pm

mikemoke έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Παιρνω την πρωτοβουλία να ανοίξουμε το θέμα αυτο ως συνέχεια αυτού.

Αν πιστεύετε πως δεν ειναι καλη ιδεα παρακαλω τους Γενικούς Συντονιστές να διαγράψουν το θέμα.
Ποσεσ ειναι οι δυνατεσ συνδεσμολογιεσ για n ομοιουσ αντιστατες (οι αντιστατεσ μπορουν να συδεθουν σε σειρα και παραλληλα)
Αυτό μπορεί να λυθεί με γνώσεις Φυσικής Γυμνασίου; :lol:


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Chagi
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 1:30 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chagi » Δευ Ιαν 30, 2017 4:09 pm

Για το ερώτημα (2) της άσκησης 7 αρκεί να αντικαταστήσουμε το χ στην εξίσωση με τον αριθμό 10
'Ετσι θα παρουμε οτι το 9909991081= 991 * 9999991


harrisp
Δημοσιεύσεις: 539
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Δευ Ιαν 30, 2017 4:12 pm

Chagi έγραψε:Για το ερώτημα (2) της άσκησης 7 αρκεί να αντικαταστήσουμε το χ στην εξίσωση με τον αριθμό 10
'Ετσι θα παρουμε οτι το 9909991081= 991 * 9999991
Πράγματι!

Αλλά πώς το βρήκες;


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 588
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Ιαν 30, 2017 4:14 pm

Μου φαίνεται ότι προυποθέτει την χρήση υπολογιστικού συστήματος.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
harrisp
Δημοσιεύσεις: 539
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Δευ Ιαν 30, 2017 4:19 pm

JimNt. έγραψε:Μου φαίνεται ότι προυποθέτει την χρήση υπολογιστικού συστήματος.
Δεν νομίζω ο θεματοδότης να είχε αυτό στο μυαλό του.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 588
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Ιαν 30, 2017 4:21 pm

Μάλλον όχι. Αλλά όταν φτιάχνουμε μια άσκηση αρκετές φορές δεν υπολογίζουμε τον τρόπο που θα λυθεί από έναν μέσο λύτη. π.χ Στην συγκεκριμένη περίπτωση η επίλυση μια 10βαθμιας εξίσωσης δεν είναι και η καλύτερη επιλογή.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Δευ Ιαν 30, 2017 4:22 pm

JimNt. έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Παιρνω την πρωτοβουλία να ανοίξουμε το θέμα αυτο ως συνέχεια αυτού.

Αν πιστεύετε πως δεν ειναι καλη ιδεα παρακαλω τους Γενικούς Συντονιστές να διαγράψουν το θέμα.
Ποσεσ ειναι οι δυνατεσ συνδεσμολογιεσ για n ομοιουσ αντιστατες (οι αντιστατεσ μπορουν να συδεθουν σε σειρα και παραλληλα)
Αυτό μπορεί να λυθεί με γνώσεις Φυσικής Γυμνασίου; :lol:
Οντωσ τετοιεσ συνδεσμολογιεσ διδασκονται στην 3η γυμνασιου και 2α Λυκειου αλλα γινεται αρκετα περιπλοκο μετα απο 4 5 αντιστατεσ .Εχεισ βρει καποιον τυπο?


Chagi
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 1:30 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chagi » Δευ Ιαν 30, 2017 4:28 pm

Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.


harrisp
Δημοσιεύσεις: 539
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Δευ Ιαν 30, 2017 4:32 pm

Chagi έγραψε:Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.
:coolspeak: :10sta10:


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 588
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Ιαν 30, 2017 4:37 pm

Chagi έγραψε:Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.
Τι σε έκανε να επιλέξεις το 10 και όχι το 9; (Πάλι προϋποθέτει έναν προενδοιασμό)


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Chagi
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 1:30 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chagi » Δευ Ιαν 30, 2017 4:45 pm

JimNt. έγραψε:
Chagi έγραψε:Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.
Τι σε έκανε να επιλέξεις το 10 και όχι το 9; (Πάλι προϋποθέτει έναν προενδοιασμό)
Το 9^10-9909991081 ισούται με αρνητικό αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει για κάθε αριθμό μικρότερο του 10.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 588
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Ιαν 30, 2017 4:49 pm

Chagi έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Chagi έγραψε:Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.
Τι σε έκανε να επιλέξεις το 10 και όχι το 9; (Πάλι προϋποθέτει έναν προενδοιασμό)
Το 9^10-9909991081 ισούται με αρνητικό αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει για κάθε αριθμό μικρότερο του 10.
Σωστά. Οπότε ξεκίνησες από τον μικρότερο δυνατό. (Συγνώμη για την παρεξήγηση)


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
ZOIDAKI MARY
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 12:42 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZOIDAKI MARY » Δευ Ιαν 30, 2017 5:08 pm

Καλησπέρα!!!
ένας μαθητής Β΄γυμνασίου που προετοιμάζεται για τον διαγωνισμό του ΑΡΧΙΜΗΔΗ , θα πρέπει να ανατρέξει και στην αδίδακτη ύλη για αυτόν Γ΄Γυμνασίου ???
Ευχαριστώ εκ των προτέρων για τις συμβουλές!


Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Ιαν 30, 2017 5:12 pm

Chagi έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Chagi έγραψε:Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.
Τι σε έκανε να επιλέξεις το 10 και όχι το 9; (Πάλι προϋποθέτει έναν προενδοιασμό)
Το 9^10-9909991081 ισούται με αρνητικό αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει για κάθε αριθμό μικρότερο του 10.
Αυτή ήταν η ιδέα του προβλήματος! Πολύ ωραία!


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Τρί Ιαν 31, 2017 3:57 pm

Άσκηση 10 Seniors
Σε έναν πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί: 1 και n όπου n θετικός ακέραιος.
Μπορούμε να επιλέξουμε μερικές φορές τον αριθμό 1 και μερικές φορές τον αριθμό n
χρησιμοποιώντας στο σύνολο το πολύ n αριθμούς και το λιγότερο 0 (Δηλαδή μπορούμε να επιλέξουμε
6 φορές τον αριθμό 1 και n-8 φορές τον αριθμό n για n\ge 8).
Στην συνέχεια εκτελούμε το άθροισμα των αριθμών που επιλέξαμε και όλων των δυνατών συνδυασμών τους
και γράφουμε τα αποτελέσματα στον πίνακα (Αν ένας αριθμός προκύπτει με παραπάνω από έναν τρόπο τον γράφουμε και αυτόν 1
φορά). Τέλος εκτελούμε το άθροισμα όλων των δυνατών και διαφορετικών αποτελεσμάτων
που προέκυψαν το οποίο και θα ονομάζουμε S(n).
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι n που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός 6S(n) να είναι τέλειο τετράγωνο.

Παράδειγμα για n=2
Μπορούμε να κατασκευάσουμε τους αριθμούς 0,1,2,3,4 ως εξής:
0=0 , 1=1 , 2=2 , 3=1+2 , 4=2+2 χρησιμοποιώντας το πολύ 2 όρους στην πρόσθεση.
Άρα S(2)=0+1+2+3+4=10

Σημείωση: Στην παραπάνω περίπτωση που n=2 τον αριθμό 2 μπορούμε να τον κατασκευάσουμε και ως 2=1+1. Όμως στο
S(2) τον μετράμε μία φορά.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
manousos
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 10, 2015 8:46 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manousos » Τρί Ιαν 31, 2017 8:44 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 9 Seniors
Η ακολουθία a_{n} , n\ge 1 ορίζεται από την σχέση:
na_{n}+3=3n+a_{n+1} με a_{1}=4.
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι c που είναι τέτοιοι ώστε:
Αν p\in\mathbb{P} και p|c τότε p|a_{c}
Καλησπέρα, ωραία ασκησούλα!

\displaystyle{a_{n+1}-3=n(a_{n}-3)=n(n-1)(a_{n-1}-3)=...=n!(a_{1}-3)=n!\Rightarrow a_{c} = (c-1)! + 3}

Αν \displaystyle{c\in \mathbb{P}} πρέπει \displaystyle{c\mid (c-1)! + 3}. Όμως από \displaystyle{Wilson:} \displaystyle{(c-1)! + 3 \equiv -1 + 3\equiv 2 (mod\: c) \Rightarrow c=2}

Αν \displaystyle{c\notin \mathbb{P}} και \displaystyle{p} πρώτος διαιρέτης του \displaystyle{c} πρέπει \displaystyle{p\mid (c-1)! + 3}. Όμως: \displaystyle{(c-1)! + 3 \equiv 0 + 3\equiv 3 (mod\: p) \Rightarrow p=3}

Τελικά \displaystyle{c=2} ή \displaystyle{c=3^n , n\geq 2}


Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Τρί Ιαν 31, 2017 10:53 pm

manousos έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 9 Seniors
Η ακολουθία a_{n} , n\ge 1 ορίζεται από την σχέση:
na_{n}+3=3n+a_{n+1} με a_{1}=4.
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι c που είναι τέτοιοι ώστε:
Αν p\in\mathbb{P} και p|c τότε p|a_{c}
Καλησπέρα, ωραία ασκησούλα!

\displaystyle{a_{n+1}-3=n(a_{n}-3)=n(n-1)(a_{n-1}-3)=...=n!(a_{1}-3)=n!\Rightarrow a_{c} = (c-1)! + 3}

Αν \displaystyle{c\in \mathbb{P}} πρέπει \displaystyle{c\mid (c-1)! + 3}. Όμως από \displaystyle{Wilson:} \displaystyle{(c-1)! + 3 \equiv -1 + 3\equiv 2 (mod\: c) \Rightarrow c=2}

Αν \displaystyle{c\notin \mathbb{P}} και \displaystyle{p} πρώτος διαιρέτης του \displaystyle{c} πρέπει \displaystyle{p\mid (c-1)! + 3}. Όμως: \displaystyle{(c-1)! + 3 \equiv 0 + 3\equiv 3 (mod\: p) \Rightarrow p=3}

Τελικά \displaystyle{c=2} ή \displaystyle{c=3^n , n\geq 2}
Σωστή η λύση, ίσως θεωρηθεί αρκετά εύκολη για Seniors, βέβαια λόγω του όρου "ακολουθία" δεν μπορεί να καταταχθεί σε Juniors. Έτσι, επέλεξα να την τοποθετήσω στην παραπάνω κατηγορία.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Σάβ Φεβ 04, 2017 7:57 pm

Άσκηση 11 Juniors
Θεωρούμε τις εξισώσεις:
(1): ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
(2): ex^4+ax^3+bx^2+cx+d=0
Με μεταβλητή το x και a,b,c,d,e
μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί.
Αν οι εξισώσεις (1),(2) έχουν τουλάχιστον μία κοινή πραγματική λύση
να αποδείξετε ότι a+b+c+d+e=0


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Σάβ Φεβ 04, 2017 8:00 pm

Άσκηση 12 Juniors
Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
x^4+8x^3+23x^2+34x+15=0


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης