ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Το πρόβλημα 4 της Γ' Λυκείου υπάρχει στα:
https://artofproblemsolving.com/communi ... on_on_real
viewtopic.php?f=111&t=30639
Το πρόβλημα 4 της Β' Γυμνασίου (με διαφορετικά νούμερα):
http://artofproblemsolving.com/wiki/ind ... Problem_15
https://artofproblemsolving.com/communi ... on_on_real
viewtopic.php?f=111&t=30639
Το πρόβλημα 4 της Β' Γυμνασίου (με διαφορετικά νούμερα):
http://artofproblemsolving.com/wiki/ind ... Problem_15
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Για Β' Γυμνασίου ξέρω ότι έπεσε γύρω στο και στην Γ' Γυμνασίου περίπου στο . Για Λύκειο, δεν ξέρω...Athena apo έγραψε:Καλή επιτυχία σε όλους! Πού περίπου κυμάνθηκαν οι βάσεις;
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
ΘΕΜΑ 3 -Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Διαγωνισμός ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, 2016-2017) Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (με ) και τυχόν σημείο της πλευράς . Από το σημείο φέρουμε κάθετη στην ακτίνα , η οποία τέμνει την στο . Αν είναι το μέσο της και το μέσο της , να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά, δηλαδή ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
(Ακολουθεί μια κάπως διαφορετική λύση από αυτές που δημοσιεύθηκαν ήδη εδώ, εδώ, κι εδώ)
Λύση: Έστω το ίχνος της καθέτου από το στην ακτίνα . Από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων και προκύπτει ότι
,
και από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων και προκύπτει ότι
.
Από τις παραπάνω, έπεται άμεσα ότι
,
κι άρα τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.
Αλλιώς (ίδιο σχήμα) (Ουσιαστικά είναι η "ίδια" λύση παραπάνω)
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (αφού ), κι άρα
.
Ομοίως, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (αφού ) κι άρα
.
Το συμπέρασμα έπεται άμεσα, όπως στην αρχική μας λύση παραπάνω, αφού
Φιλικά,
Αχιλλέας
(Ακολουθεί μια κάπως διαφορετική λύση από αυτές που δημοσιεύθηκαν ήδη εδώ, εδώ, κι εδώ)
Λύση: Έστω το ίχνος της καθέτου από το στην ακτίνα . Από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων και προκύπτει ότι
,
και από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων και προκύπτει ότι
.
Από τις παραπάνω, έπεται άμεσα ότι
,
κι άρα τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.
Αλλιώς (ίδιο σχήμα) (Ουσιαστικά είναι η "ίδια" λύση παραπάνω)
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (αφού ), κι άρα
.
Ομοίως, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (αφού ) κι άρα
.
Το συμπέρασμα έπεται άμεσα, όπως στην αρχική μας λύση παραπάνω, αφού
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Συνημμένα
-
- figure_euclid_B_2016.png (32.23 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες