ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5786
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#161

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Απρ 10, 2017 1:29 am

Το πρόβλημα 4 της Γ' Λυκείου υπάρχει στα:
https://artofproblemsolving.com/communi ... on_on_real
viewtopic.php?f=111&t=30639

Το πρόβλημα 4 της Β' Γυμνασίου (με διαφορετικά νούμερα):
http://artofproblemsolving.com/wiki/ind ... Problem_15


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 657
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#162

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Παρ Απρ 21, 2017 1:58 pm

Athena apo έγραψε:Καλή επιτυχία σε όλους! Πού περίπου κυμάνθηκαν οι βάσεις;
Για Β' Γυμνασίου ξέρω ότι έπεσε γύρω στο 15 και στην Γ' Γυμνασίου περίπου στο 14,5. Για Λύκειο, δεν ξέρω...


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2602
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#163

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Ιαν 09, 2019 7:25 pm

ΘΕΜΑ 3 -Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Διαγωνισμός ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, 2016-2017) Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma εγγεγραμμένο σε κύκλο c((O,R) (με AB<A\Gamma<B\Gamma) και τυχόν σημείο \Delta της πλευράς AB. Από το σημείο \Delta φέρουμε κάθετη στην ακτίνα OA, η οποία τέμνει την A\Gamma στο Z. Αν E είναι το μέσο της A\Delta και M το μέσο της A\Gamma, να αποδείξετε ότι τα σημεία B, E, Z και M είναι ομοκυκλικά, δηλαδή ανήκουν στον ίδιο κύκλο.


(Ακολουθεί μια κάπως διαφορετική λύση από αυτές που δημοσιεύθηκαν ήδη εδώ, εδώ, κι εδώ)


Λύση: Έστω K το ίχνος της καθέτου από το \Delta στην ακτίνα OA. Από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων AEK και AOB προκύπτει ότι

\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AK}{AB},

και από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων AKZ και AMO προκύπτει ότι

\dfrac{AZ}{AO}=\dfrac{AK}{AM}.

Από τις παραπάνω, έπεται άμεσα ότι

AB\cdot AE=AK\cdot AO=AZ\cdot AM,

κι άρα τα σημεία B, E, Z και M είναι ομοκυκλικά.

Αλλιώς (ίδιο σχήμα) (Ουσιαστικά είναι η "ίδια" λύση παραπάνω)

Το τετράπλευρο BRKO είναι εγγράψιμο (αφού A\widehat{K}E=E\widehat{B}O), κι άρα

AB\cdot AE=AK\cdot AO.

Ομοίως, το τετράπλευρο OKZM είναι εγγράψιμο (αφού A\widehat{K}O=O\widehat{M}Z) κι άρα

AK\cdot AO=AZ\cdot AM.

Το συμπέρασμα έπεται άμεσα, όπως στην αρχική μας λύση παραπάνω, αφού

AB\cdot AE=AK\cdot AO=AZ\cdot AM.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
figure_euclid_B_2016.png
figure_euclid_B_2016.png (32.23 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες