Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017
Θέματα της 2ης φάσης για την 11η τάξη. Διάρκεια εξέτασης υπολογισμένη για 240 λεπτά.
1. Έχει η εξίσωση
αρνητικές ρίζες;
2. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά πίνακα τους αριθμούς από το 1 έως το 72 με κάποια σειρά γνωστή μόνο σε αυτόν. Έπειτα για κάθε μία από τις δεκαοχτώ στήλες πολλαπλασίασε τους τέσσερεις αριθμούς της στήλης μεταξύ τους και υπολόγισε το άθροισμα των ψηφιών του γινομένου. Μπορούν και τα δεκαοχτώ αθροίσματα να είναι ίσα;
3. Κανονικό πεντάγωνο και κανονικό εικοσάγωνο είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. Πιο είναι μεγαλύτερο το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πενταγώνου ή το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του εικοσάγωνου;
4. Δίνεται η τριγωνική πυραμίδα με ορθές επίπεδες γωνίες στην κορυφή ,στην οποία . Να δείξετε ότι το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι .
5. Η συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις σχέσεις:
και για κάθε .
Να δείξετε ότι η είναι περιοδική συνάρτηση.
6. Κάθε ακέραιος αριθμός στον άξονα των αριθμών χρωματίζεται με ένα από δυο χρώματα, άσπρο ή μαύρο. Εξάλλου οι αριθμοί 2016 και 2017 χρωματίστηκαν με διαφορετικό χρώμα. Θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν;
Θέματα της 2ης φάσης για την 11η τάξη. Διάρκεια εξέτασης υπολογισμένη για 240 λεπτά.
1. Έχει η εξίσωση
αρνητικές ρίζες;
2. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά πίνακα τους αριθμούς από το 1 έως το 72 με κάποια σειρά γνωστή μόνο σε αυτόν. Έπειτα για κάθε μία από τις δεκαοχτώ στήλες πολλαπλασίασε τους τέσσερεις αριθμούς της στήλης μεταξύ τους και υπολόγισε το άθροισμα των ψηφιών του γινομένου. Μπορούν και τα δεκαοχτώ αθροίσματα να είναι ίσα;
3. Κανονικό πεντάγωνο και κανονικό εικοσάγωνο είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. Πιο είναι μεγαλύτερο το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πενταγώνου ή το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του εικοσάγωνου;
4. Δίνεται η τριγωνική πυραμίδα με ορθές επίπεδες γωνίες στην κορυφή ,στην οποία . Να δείξετε ότι το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι .
5. Η συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις σχέσεις:
και για κάθε .
Να δείξετε ότι η είναι περιοδική συνάρτηση.
6. Κάθε ακέραιος αριθμός στον άξονα των αριθμών χρωματίζεται με ένα από δυο χρώματα, άσπρο ή μαύρο. Εξάλλου οι αριθμοί 2016 και 2017 χρωματίστηκαν με διαφορετικό χρώμα. Θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν;
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
1. Έστω ότι έχει.Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017
Θέματα της 2ης φάσης για την 11η τάξη. Διάρκεια εξέτασης υπολογισμένη για 240 λεπτά.
1. Έχει η εξίσωση
αρνητικές ρίζες;
2. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά πίνακα τους αριθμούς από το 1 έως το 72 με κάποια σειρά γνωστή μόνο σε αυτόν. Έπειτα για κάθε μία από τις δεκαοχτώ στήλες πολλαπλασίασε τους τέσσερεις αριθμούς της στήλης μεταξύ τους και υπολόγισε το άθροισμα των ψηφιών του γινομένου. Μπορούν και τα δεκαοχτώ αθροίσματα να είναι ίσα;
3. Κανονικό πεντάγωνο και κανονικό εικοσάγωνο είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. Πιο είναι μεγαλύτερο το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πενταγώνου ή το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του εικοσάγωνου;
4. Δίνεται η τριγωνική πυραμίδα με ορθές επίπεδες γωνίες στην κορυφή ,στην οποία . Να δείξετε ότι το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι .
5. Η συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις σχέσεις:
και για κάθε .
Να δείξετε ότι η είναι περιοδική συνάρτηση.
6. Κάθε ακέραιος αριθμός στον άξονα των αριθμών χρωματίζεται με ένα από δυο χρώματα, άσπρο ή μαύρο. Εξάλλου οι αριθμοί 2016 και 2017 χρωματίστηκαν με διαφορετικό χρώμα. Θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν;
Η εξίσωση γράφεται , άτοπο.
Άρα, δεν έχει αρνητικές λύσεις.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Σάβ Δεκ 10, 2016 11:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
'Η πολύ εύκολη ή χάνω κάτι. Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής ιδιότητα: Κάθε πολ. του έχει άθροισμα ψηφίων πολ. του . Τα πολλαπλάσια του από το - είναι σε πλήθος. Ενώ, τα πολλαπλάσια του είναι . Όμως, σε αυτά εντάσσονται και τα πολ του . Επομένως, τα πολ του που δεν διαιρούνται με το είναι σε αριθμό. Είναι προφανές ότι για να διαιρείται το γινόμενο των τεσσάρων αριθμών μιας στήλης με το , πρέπει είτε τουλάχιστον ένας όρος να διαιρείται με το είτε τουλάχιστον δύο να διαιρούνται με το . Έχουμε ζεύγη του και πολλαπλάσια του (όπως δείξαμε). Όμως είναι . Συνεπώς θα υπάρχουν τουλάχιστον γινόμενα που δεν θα διαιρούνται με το και άρα το άθροισμα των ψηφίων τους δεν θα είναι πολ. του και συνεπώς θα είναι διαφορετικό από των άλλων. Άρα η απάντηση είναι αρνητική.Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017
Θέματα της 2ης φάσης για την 11η τάξη. Διάρκεια εξέτασης υπολογισμένη για 240 λεπτά.
2. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά πίνακα τους αριθμούς από το 1 έως το 72 με κάποια σειρά γνωστή μόνο σε αυτόν. Έπειτα για κάθε μία από τις δεκαοχτώ στήλες πολλαπλασίασε τους τέσσερεις αριθμούς της στήλης μεταξύ τους και υπολόγισε το άθροισμα των ψηφιών του γινομένου. Μπορούν και τα δεκαοχτώ αθροίσματα να είναι ίσα;
Bye :')
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
Έστω η ακτίνα του κύκλου, το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πενταγώνου και το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του εικοσάγωνου. Θα δείξω ότιAl.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017
Θέματα της 2ης φάσης για την 11η τάξη. Διάρκεια εξέτασης υπολογισμένη για 240 λεπτά.
3. Κανονικό πεντάγωνο και κανονικό εικοσάγωνο είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. Πιο είναι μεγαλύτερο το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πενταγώνου ή το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του εικοσάγωνου;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
Έχει περίοδο διότιAl.Koutsouridis έγραψε:
5. Η συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις σχέσεις:
και για κάθε .
Να δείξετε ότι η είναι περιοδική συνάρτηση.
.
Μάλλον απλή και μάλλον έχουμε δει παρόμοια στο φόρουμ.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
Μπορούμε να αποφανθούμε για το ποιά είναι η ελάχιστη περίοδος για τα δεδομένα του προβλήματος;Mihalis_Lambrou έγραψε:Έχει περίοδο διότιAl.Koutsouridis έγραψε:
5. Η συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις σχέσεις:
και για κάθε .
Να δείξετε ότι η είναι περιοδική συνάρτηση.
.
Μάλλον απλή και μάλλον έχουμε δει παρόμοια στο φόρουμ.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
Όχι! Π.χ. η συνάρτηση Dirichlet ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος, αλλά αυτή δεν έχει ελάχιστη περίοδο.Al.Koutsouridis έγραψε:
Μπορούμε να αποφανθούμε για το ποιά είναι η ελάχιστη περίοδος για τα δεδομένα του προβλήματος;
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
Οχι δεν μπορούμε.Al.Koutsouridis έγραψε:Μπορούμε να αποφανθούμε για το ποιά είναι η ελάχιστη περίοδος για τα δεδομένα του προβλήματος;Mihalis_Lambrou έγραψε:Έχει περίοδο διότιAl.Koutsouridis έγραψε:
5. Η συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις σχέσεις:
και για κάθε .
Να δείξετε ότι η είναι περιοδική συνάρτηση.
.
Μάλλον απλή και μάλλον έχουμε δει παρόμοια στο φόρουμ.
Να σημειώσω ότι οι δοσμένες γράφονται γιατί κλπ
Αρα η συνάρτηση έχει περιόδους τα .
Μπορούμε να δείξουμε οτι έχει περίοδο και το που ειναι ο ΜΚΔ των .(ωραία άσκηση)
Αν λοιπόν είναι η ελάχιστη θετική περίοδος (αν υπάρχει)τότε το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι ότι
ΠΡΟΣΟΧΗ.Δεν έχουν όλες οι περιοδικές συναρτήσεις ελάχιστη θετική περίοδο
π.χ η
έχει για περιόδους της ολους τους ρητούς.
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017
6. Κάθε ακέραιος αριθμός στον άξονα των αριθμών χρωματίζεται με ένα από δυο χρώματα, άσπρο ή μαύρο. Εξάλλου οι αριθμοί 2016 και 2017 χρωματίστηκαν με διαφορετικό χρώμα. Θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν;
Αφού χρωματίζουμε τους ακέραιους με δύο μόνο χρώματα, το θα έχει το ίδιο χρώμα ή με το ή με το . Έχουμε λοιπόν δύο περιπτώσεις:
α) Αν το και το έχουν το ίδιο χρώμα, π.χ. είναι χρωματισμένα Άσπρα, τότε το είναι χρωματισμένο Μαύρο.
Για να μην υπάρχουν τρεις ακέραιοι του ίδιου χρώματος με άθροισμα , θα πρέπει να είναι χρωματισμένοι ως εξής:
. Θα πρέπει ακόμα: .
Το όμως δεν μπορεί να είναι Άσπρο, γιατί οι αριθμοί είναι Άσπροι με άθροισμα ,
δεν μπορεί ούτε να είναι χρωματισμένο Μαύρο, γιατί οι αριθμοί είναι Μαύροι με άθροισμα .
Σ'αυτή την περίπτωση λοιπόν θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν.
β) Αν το και το έχουν το ίδιο χρώμα, π.χ. είναι χρωματισμένα Άσπρα, τότε το είναι χρωματισμένο Μαύρο.
Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, θα πρέπει οι ακέραιοι να είναι χρωματισμένοι ως εξής:
και συνεχίζοντας, πρέπει .
Το δεν μπορεί να είναι Άσπρο, γιατί οι αριθμοί είναι Άσπροι με άθροισμα ,
δεν μπορεί όμως να είναι χρωματισμένο Μαύρο, γιατί οι αριθμοί είναι Μαύροι με άθροισμα .
Και σ'αυτή την περίπτωση λοιπόν θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν.
Άρα σε κάθε περίπτωση θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν.
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
Ένας τρόπος λύσης είναι ο εξής: Παίρνουμε το επίπεδο ανάπτυγμα της πυραμίδας, ανοίγοντάς την στις ακμές της που συντρέχουν στην κορυφή C. Η συνέχεια εδώ.Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017
4. Δίνεται η τριγωνική πυραμίδα με ορθές επίπεδες γωνίες στην κορυφή ,στην οποία . Να δείξετε ότι το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι .
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
Για κανονικό -γωνο (δεδομένης ακτίνας) ορίζουμε ως το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πολυγώνου. Δείξτε ότι . [Άρα .]Al.Koutsouridis έγραψε: 3. Κανονικό πεντάγωνο και κανονικό εικοσάγωνο είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. Πιο είναι μεγαλύτερο το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πενταγώνου ή το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του εικοσάγωνου;
[Έχω μια αρκετά σύντομη λύση για το πιο πάνω. Ισχύει επίσης ότι για αλλά δεν έχω σύντομη λύση για αυτό.]
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 11η τάξη)
Όπως φαίνεται στο σχήμα για κάθε πλευρά του -γώνου αντιστοιχούν πλευρές του -γώνου.Demetres έγραψε: Για κανονικό -γωνο (δεδομένης ακτίνας) ορίζουμε ως το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πολυγώνου. Δείξτε ότι .
Αρκεί να δείξουμε ότι που ισχύει όταν η γωνία είναι αμβλεία.
Όμως αφού , αυτό θα ισχύει σε κάθε -γωνο.
- Συνημμένα
-
- πολύγωνα.png (19.91 KiB) Προβλήθηκε 1059 φορές
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες