Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1217
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Απρ 30, 2016 12:38 am

XLII Πανρωσική Σχολική Μαθηματική Ολυμπιάδα

IV Φάση (τελική) 21-29 Απριλίου 2016, Αγ.Πετρούπολη.

Πρώτη μέρα


1. Ένας αργυραμοιβός (σαράφης) έχει στην λαϊκή πολλά χαλιά. Ο οποίος προτίθεται να ανταλλάξει ένα χαλί διαστάσεων a \times b είτε με ένα χαλί διαστάσεων \dfrac{1}{a} \times \dfrac{1}{b} είτε με δυο διαστάσεων c \times b και \dfrac{a}{c} \times b ( σε κάθε τέτοια ανταλλαγή ο ίδιος ο πελάτης μπορεί να διαλέξει τον αριθμό c). Ο πλανόδιος αργυραμοιβός διηγήθηκε, ότι αρχικά είχε ένα χαλί, οι διαστάσεις του οποίου υπέρβαιναν το 1 και μετά από κάποιες τέτοιου είδους ανταλλαγές του προέκυψε ένα σύνολο χαλιών, το καθένα εκ των οποίων η μια πλευρά του ήταν μεγαλύτερη του 1 και η άλλη μικρότερη του 1. Εξαπατά άραγε; (με αίτημα του πελάτη ο αργυραμοιβός είναι διατεθειμένος να θεωρήσει το χαλί διαστάσεων a \times b ως διαστάσεων b \times a.)


2. Κύκλος \omega εφάπτεται των πλευρών της γωνίας BAC στα σημεία B και C. Ευθεία \lambda τέμνει τα ευθύγραμμα τμήματα AB και AC στα σημεία K και L αντίστοιχα. Ο κύκλος \omega τέμνει την ευθεία \lambda στα σημεία P και Q. Τα σημεία S και T του ευθύγραμμου τμήματος BC διαλέγονται έτσι ώστε KS \parallel AC και LT \parallel AB. Να αποδείξετε ότι τα σημεία P, Q, S και T είναι ομοκυκλικά.


3. Ο Αλέξανδρος διάλεξε ένα φυσικό αριθμό N > 1 και έγραψε σε μια γραμμή κατά αύξουσα σειρά όλους τους φυσικούς διαιρέτες του, d_{1} < … < d_{s} (το d_{1} =1 και d_{s} = N). Στη συνέχεια για κάθε γειτονικό ζεύγος αριθμών υπολόγισε τον μέγιστο κοινό διαρέτη τους. Το άθροισμα των s-1 αποτελεσμάτων προέκυψε ίσο με N-2. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο N;


4. Από τετραγωνισμένο φύλλο χαρτιού διαστάσεων 100 \times 100 αποκόψαμε, στο σύνορο των κελιών, 1950 ορθογώνια των δυο κελιών. Να αποδείξετε, ότι από τα εναπομείναντα κομμάτια, κατά το σύνορο των κελιών, μπορούμε να αποκόψουμε σχήμα της μορφής
vmo_2016_9_4.png
vmo_2016_9_4.png (4.26 KiB) Προβλήθηκε 1466 φορές
, πιθανόν και κάποια περιστροφή του. (Αν τέτοιο σχήμα ήδη υπάρχει μεταξύ των αποκομμένων κομματιών, θεωρούμε ότι ήταν δυνατή μια τέτοια αποκοπή.)


Δεύτερη μέρα


5. Από τα ψηφία 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9 σχηματίζονται εννιά (όχι απαραίτητα διαφορετικοί) εννιαψήφιοι αριθμοί. Σε κάθε αριθμό κάθε ψηφίο χρησιμοποιείτε μια φορά. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός μηδενικών που μπορεί να λήγει το άθροισμά τους;


6. Ένα τετράγωνο διαμερίζετε σε n^2 \geq 4 ορθογώνια με 2(n-1) ευθείες, από τις οποίες οι n-1 είναι παράλληλες στη μια πλευρά του τετραγώνου και οι υπόλοιπες n-1 στην άλλη πλευρά. Να αποδείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε 2n ορθογώνια της διαμέρισης με τέτοιο τρόπο, ώστε για οποιοδήποτε δυο ορθογώνια εξ αυτών μπορούμε να τοποθετήσουμε το ένα μέσα στο άλλο (πιθανόν με κατάλληλη περιστροφή).


7. Κύκλος \omega είναι εγγεγραμμένος σε τρίγωνο ABC, με AB < AC. Παρεγγεγραμμένος κύκλος αυτού του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς BC στο σημείο A^{‘}. Σημείο X επιλέγεται στο ευθύγραμμο τμήμα AA^{‘} έτσι, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα A^{‘}X να μην τέμνει τον \omega. Οι εφαπτομένες που άγονται από το σημείο X προς τον \omega, τέμνουν το ευθύγραμμο τμήμα BC στα σημεία Y και Z. Να αποδείξετε, ότι το άθροισμα XY + XZ είναι ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου X.


8. Το άθροισμα των θετικών αριθμών a, b, c και d είναι ίσο με 3. Να αποδείξετε την ανισότητα

\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{d^2} \leq \dfrac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}d^{2}} .
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Σεπ 29, 2016 1:03 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Απρ 30, 2016 11:24 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
2. Κύκλος \omega εφάπτεται των πλευρών της γωνίας BAC στα σημεία B και C. Ευθεία \lambda τέμνει τα ευθύγραμμα τμήματα AB και AC στα σημεία K και L αντίστοιχα. Ο κύκλος \omega τέμνει την ευθεία \lambda στα σημεία P και Q. Τα σημεία S και T του ευθύγραμμου τμήματος BC διαλέγονται έτσι ώστε KS \parallel AC και LT \parallel AB. Να αποδείξετε ότι τα σημεία P, Q, S και T είναι ομοκυκλικά.
All-Russian IV-9.2.png
All-Russian IV-9.2.png (32.11 KiB) Προβλήθηκε 1424 φορές
Έστω \displaystyle{O = \lambda  \cap BC.} Είναι:

\displaystyle{KS\parallel LC \Rightarrow \frac{{OS}}{{OC}} = \frac{{OK}}{{OL}}} και \displaystyle{KB\parallel LT \Rightarrow \frac{{OB}}{{OT}} = \frac{{OK}}{{OL}},}

οπότε \displaystyle{\frac{{OS}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OT}} \Rightarrow OS \cdot OT = OB \cdot OC} \bf \color{red} \left( 1 \right).

Επειδή τα σημεία B, P, Q, C είναι ομοκυκλικά, έχουμε: \displaystyle{OP \cdot OQ = OB \cdot OC} \bf \color{red} \left( 2 \right).

Από τις σχέσεις \bf \color{red} \left( 1 \right) και \bf \color{red} \left( 2 \right) προκύπτει ότι \displaystyle{OS \cdot OT = OB \cdot OC} και άρα τα σημεία P, Q, S, T είναι ομοκυκλικά.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1297
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Απρ 30, 2016 5:28 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: 8. Το άθροισμα των θετικών αριθμών a, b, c και d είναι ίσο με 3. Να αποδείξετε την ανισότητα

\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{d^2} \leq \dfrac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}d^{2}} .
Απαιτητική αυτή (ειδικά γι' αυτή την τάξη). Ξέρουμε πόσοι την έλυσαν και ποια είναι η επίσημη λύση;

Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με (abc)^2+(bcd)^2+(cda)^2+(abd)^2\leq 1.
Λόγω συμμετρίας έστω a\geq b\geq c\geq d.
Η τελευταία είναι τριώνυμο ως προς 0\leq x=ab\leq\frac{(a+b)^2}{4} με θετικό συντελεστή, οπότε παίρνει μέγιστο στα άκρα δηλαδή όταν a=0 ή b=0 ή a=b
Το ίδιο συμβαίνει λόγω συμμετρίας και για τα c,d οπότε αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα στις παρακάτω περιπτώσεις:

α) c=d=0, όπου τότε όμως η ανισότητα είναι προφανής.

β) a=b, d=0, τότε η ανισότητα είναι ισοδύναμη με a^4(3-2a)^2\leq 1 που γράφεται (a-1)^2(2a+1)(2a^3-3a^2-1)\leq 0 που ισχύει αφού από τη σχέση
c=3-2a παίρνουμε ότι a\leq\frac{3}{2}.

γ) a=b, c=d, τότε η ανισότητα είναι ισοδύναμη με 2a^2d^2(a^2+d^2)\leq 1 όταν a+d=\frac{3}{2}.
Από ΑΜ-GM έχουμε:

2a^2d^2(a^2+d^2)=ad\cdot 2ad\cdot (a^2+d^2)\leq ad\cdot\frac{(2ad+a^2+d^2)^2}{4}=ad\cdot\frac{(a+d)^4}{4}\leq\frac{(a+d)^6}{16}=\frac{3^6}{2^{10}}<1


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Απρ 30, 2016 7:45 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: 8. Το άθροισμα των θετικών αριθμών a, b, c και d είναι ίσο με 3. Να αποδείξετε την ανισότητα
\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{d^2} \leq \dfrac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}d^{2}} .
Μια άλλη προσέγγιση:

Όπως λέει και ο Σιλουανός παραπάνω, η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα

\displaystyle{{a^2}{b^2}{c^2} + {a^2}{b^2}{d^2} + {a^2}{c^2}{d^2} + {b^2}{c^2}{d^2} \le 1}

και μπορούμε, δίχως βλάβη της γενικότητας, να υποθέσουμε ότι \displaystyle{a \ge b \ge c \ge d.} Είναι:

\displaystyle{{a^2}{b^2}{c^2} + {a^2}{b^2}{d^2} + {a^2}{c^2}{d^2} + {b^2}{c^2}{d^2} \le {a^2}{b^2}{c^2} + {a^2}{b^2}{d^2} + {a^2}{b^2}cd + {a^2}{b^2}cd = }

\displaystyle{ = {a^2}{b^2}\left( {{c^2} + {d^2} + 2cd} \right) = {a^2}{b^2}{\left( {c + d} \right)^2} = {\left[ {ab\left( {c + d} \right)} \right]^2}\mathop  \le \limits^{{\rm{A}}{\rm{.M}}{\rm{.  -  G}}{\rm{.M}}} {\left[ {{{\left( {\frac{{a + b + c + d}}{3}} \right)}^3}} \right]^2} = 1}

και το συμπέρασμα έπεται.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1297
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Απρ 30, 2016 8:11 pm

emouroukos έγραψε:
\displaystyle{{a^2}{b^2}{c^2} + {a^2}{b^2}{d^2} + {a^2}{c^2}{d^2} + {b^2}{c^2}{d^2} \le {a^2}{b^2}{c^2} + {a^2}{b^2}{d^2} + {a^2}{b^2}cd + {a^2}{b^2}cd = }
Έτσι ήταν η άλλη λύση που είχα στο νου μου, αλλά με το παρακάτω σκεπτικό:
Αφού βλέπουμε στην ισοδύναμη μορφή ότι η ισότητα ισχύει όταν ο ένας είναι ίσος με μηδέν, σκεφτόμαστε να κάνουμε mixing variables ως εξής:

f(a,b,c,d)\leq f(a,b,c+d,0) που είναι ακριβώς αυτή που γράφει ο Βαγγέλης παραπάνω :)


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1217
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Μάιος 02, 2016 6:23 pm

smar έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε: 8. Το άθροισμα των θετικών αριθμών a, b, c και d είναι ίσο με 3. Να αποδείξετε την ανισότητα

\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{d^2} \leq \dfrac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}d^{2}} .
Απαιτητική αυτή (ειδικά γι' αυτή την τάξη). Ξέρουμε πόσοι την έλυσαν και ποια είναι η επίσημη λύση;
Καλησπέρα και χρόνια πολλά!

Το έλυσαν 4 από τους 139 συμμετέχοντες της 9ης τάξης και ήταν το θέμα που τους δυσκόλεψε πιο πολύ. Η επίσημη λύση είναι παρόμοια με του Βαγγέλη Μουρούκου παραπάνω.


Αλέξανδρος.Θ
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 21, 2015 5:21 pm

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αλέξανδρος.Θ » Τετ Μάιος 04, 2016 4:32 pm

Μπορεί κάποιος να αναρτήσει τα θέματα της 8ης τάξης του ίδιου διαγωνισμού ?
τελευταία επεξεργασία από Αλέξανδρος.Θ σε Πέμ Μάιος 05, 2016 3:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μάιος 05, 2016 12:19 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
1. Ένας αργυραμοιβός (σαράφης) έχει στην λαϊκή πολλά χαλιά. Ο οποίος προτίθεται να ανταλλάξει ένα χαλί διαστάσεων a \times b είτε με ένα χαλί διαστάσεων \dfrac{1}{a} \times \dfrac{1}{b} είτε με δυο διαστάσεων c \times b και \dfrac{a}{c} \times b ( σε κάθε τέτοια ανταλλαγή ο ίδιος ο πελάτης μπορεί να διαλέξει τον αριθμό c). Ο πλανόδιος αργυραμοιβός διηγήθηκε, ότι αρχικά είχε ένα χαλί, οι διαστάσεις του οποίου υπέρβαιναν το 1 και μετά από κάποιες τέτοιου είδους ανταλλαγές του προέκυψε ένα σύνολο χαλιών, το καθένα εκ των οποίων η μια πλευρά του ήταν μεγαλύτερη του 1 και η άλλη μικρότερη του 1. Εξαπατά άραγε; (με αίτημα του πελάτη ο αργυραμοιβός είναι διατεθειμένος να θεωρήσει το χαλί διαστάσεων a \times b ως διαστάσεων b \times a.)
Ονομάζω ένα χαλί σπουδαίο αν είτε και οι δύο διαστάσεις του είναι μεγαλύτερες του 1 είτε και οι δύο είναι μικρότερες του 1. Ισχυρίζομαι ότι ο αργυραμοιβός έχει πάντα ένα σπουδαίο χαλί, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με τα λεγόμενά του.

Πράγματι αν το χαλί a \times b είναι σπουδαίο επειδή a,b > 1 τότε είτε θα το ανταλλάξει με το \dfrac{1}{a} \times \dfrac{1}{b} που είναι σπουδαίο αφού 1/a, 1/b < 1 είτε θα το ανταλλάξει με τα c \times b και \dfrac{a}{c} \times b. Αν c \geqslant \sqrt{a} τότε c,b > 1 και άρα το c \times b είναι σπουδαίο. Αν c < \sqrt{a} τότε \dfrac{a}{c},  b > 1 και άρα το \dfrac{a}{c} \times b είναι σπουδαίο.

Παρόμοιο επιχείρημα δουλεύει και αν a,b < 1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης