Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Το ότι το μηδέν ανήκει στους Φυσικούς έχει να κάνει με την αυστηρή θεμελείωση τους .
Η αυστηρή θεμελείωση τους μέσω της Θ.Συνόλων επιτάσσει να το βάλουμε.
Συγκεκριμένα στο μηδέν αντιστοιχεί το κενό σύνολο.
Μπορεί κάποιος όλα αυτά να τα βρεί στο

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΟΛΟΘΕΩΡΙΑ του ΓΙΑΝΝΗ ΜΟΣΧΟΒΑΚΗ
(το βιβλίο κυκλοφορεί ελεύθερο στο διαδίκτυο)

[nikkru]

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 4. Να βρείτε τον ελάχιστο φυσικό αριθμό, που διαιρείτε με το 99, στην δεκαδική αναπαράσταση του οποίου υπάρχουν μόνο άρτια ψηφία.

Όπως με ενημέρωσε σε π.μ. ο Δημήτρης Σκουτέρης υπάρχει και πιο μικρός αριθμός. Πράγματι είναι ο . Διορθώνω πιο πάνω και θα επανέλθω για την απόδειξη αν δεν την δώσει κάποιος άλλος. Ελπίζω να μην κάνω ξανά λάθος!

Ο αριθμός που ζητάμε θα πρέπει να διαιρείται και με το και με το συγχρόνως.
Για να διαιρείται με το 11 θα πρέπει ξεκινώντας από το ψηφίο των μονάδων του αφαιρώντας και προσθέτοντας διαδοχικά τα ψηφία του αριθμού θα πρέπει ο αριθμός που θα προκύψει να διαιρείται με το 11. Αφού μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τα ψηφία δεν μπορούμε να έχουμε άθροισμα , για άθροισμα ο αριθμός θα είναι τουλάχιστον οκταψήφιος οπότε θα ελέγξουμε αριθμούς με άθροισμα .
Για να διαιρείται και με το , οπότε το άθροισμα των ψηφίων του πρέπει να διαιρείται με το 9. Αφού μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τα ψηφία θα πρέπει το άθροισμα των ψηφίων να διαιρείται με το 18.
Δεν υπάρχει διψήφιος , τριψήφιος, τετραψήφιος ή πενταψήφιος που να ικανοποιεί συγχρόνως τα παραπάνω. Εξαψήφιους έχουμε χρησιμοποιώντας με κατάλληλες εναλλαγές τα ψηφία: ή τα ή τα .
Από αυτούς μικρότερος είναι ο όπως ειπώθηκε και παραπάνω.

Υ.Γ. εξαιρώντας βέβαια την τετριμμένη λύση, to .

[Ηλιας Φραγκάκος]

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 3. Στη διάμεσο τρίγωνου υπάρχει σημείο τέτοιο, ώστε και επιπλέον . Να αποδείξετε ότι .

ΛΥΣΗ Θοδωρή Καλαμαράκη
αφιερωμένη στον, ωραίο ως Έλληνα, Γιάννη Μπουρούση