mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 20, 2016 5:11 am**

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

Πρώτη Μέρα, 13 Μαρτίου 2016, 11η τάξη.

Πρόβλημα 1. Σε σκακιστικό τουρνουά 12 συμμετεχόντων ο καθένας έπαιξε ακριβώς από μια παρτίδα με τους υπόλοιπους. Για την νίκη δινόταν 1 βαθμός, για την ισοπαλία ½ βαθμοί και για την ήττα 0 βαθμοί. Ο Βασίλης έχασε μόνο μια παρτίδα αλλά, κατέλαβε την τελευταία θέση, συγκεντρώνοντας τους λιγότερους βαθμούς. Ο Πέτρος κατέλαβε την πρώτη θέση, συγκεντρώνοντας τους περισσότερους βαθμούς. Πόσους βαθμούς υπολείφθηκε ο Βασίλης από τον Πέτρο;

Πρόβλημα 2. Υπάρχει τιμή του

για την οποία ικανοποιείτε η ισότητα

arcsin^2 x + arcos^2 x = 1

;

Πρόβλημα 3. Στο εσωτερικό τραπεζίου ABCD

με βάσεις

και

δίνονται σημεία

και

τέτοια, ώστε AM = CN

,

και τα τετράπλευρα AMND

και

είναι εγγράψιμα. Να αποδείξετε, ότι η ευθεία

είναι παράλληλη των βάσεων του τραπεζίου.

Πρόβλημα 4. Στην εσπερίδα του αγγλικού συλλόγου συγκεντρώθηκαν

μέλη του ( $n \geq 3$ ). Σύμφωνα με την παράδοση του συλλόγου ο καθένας φέρνει το ποτό της προτίμησής του, σε ποσότητα που σκοπεύει να πιεί κατά την διάρκεια της εσπερίδας. Κατά τον κανονισμό του συλλόγου, οποιαδήποτε στιγμή οποιαδήποτε τρία μέλη του μπορούν να καθίσουν σε ένα τραπέζι και να πιούν το ποτό τους (ο καθένας το δικό του) σε οποιαδήποτε ποσότητα αλλά και οι τρεις την ίδια. Να αποδείξετε ότι, αναγκαία και ικανή συνθήκη, έτσι ώστε όλα τα μέλη κατά την διάρκεια της εσπερίδας να πιούν όλο το ποτό που έφεραν μαζί τους είναι: η ποσότητα του ποτού που έφερε ο καθένας να μην υπερβαίνει το ένα τρίτο της ποσότητας που συνολικά καταναλώθηκε.

Πρόβλημα 5. Είναι άραγε δυνατόν με τέσσερα επίπεδα να κόψουμε κύβο ακμής 1 σε κομμάτια έτσι, ώστε για το καθένα από τα κομμάτια η απόσταση μεταξύ δυο οποιονδήποτε σημείων του να είναι α) μικρότερη του 4/5 ; β) μικρότερη του 4/7; . Υποθέτουμε ότι τα επίπεδα φέρονται ταυτόχρονα, ο κύβος και τα κομμάτια μένουν ακίνητα.

Πρόβλημα 6. Από την αριστερή όχθη στην δεξιά ενός ποταμού μεταφέρονται

ιθαγενείς με την βοήθεια μιας βάρκας. Κάθε φορά στο ταξίδι προς την αριστερή όχθη επιβαίνουν δυο αλλά στην επιστροφή ένας. Αρχικά ο καθένας τους ήξερε από ένα ανέκδοτο, ο καθένας το δικό του. Στις όχθες δεν έλεγαν ανέκδοτα μεταξύ τους, αλλά κατά την διάρκεια του ταξιδιού στην βάρκα ο καθένας εξιστορούσε όλα τα ανέκδοτα που ήξερε εκείνη την χρονική στιγμή. Για κάθε φυσικό αριθμό

να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του

, για την οποία μπορεί να συμβεί το εξής: στο τέλος της μεταφοράς ο κάθε ιθαγενείς να ξέρει, εξαιρουμένου του δικού του, τουλάχιστον άλλα

ανέκδοτα.

Μέρα Δεύτερη, 19 Μαρτίου 2016, 11η τάξη.

Πρόβλημα 1. Να βρείτε τον μικρότερο φυσικό αριθμό το τετράγωνο του οποίου, στη δεκαδική μορφή, λήγει σε 2016.

Πρόβλημα 2. Δίνεται ζυγαριά δυο ζυγών, η οποία ισορροπεί, αν η διαφορά μάζας στους ζυγούς δεν υπερβαίνει το 1 κιλό. Καθώς και σταθμά μάζας ln3 , ln4 , …, ln 79

κιλών. Μπορούμε να τοποθετήσουμε όλα αυτά τα σταθμά στους ζυγούς της ζυγαριάς έτσι, ώστε η ζυγαριά να ισορροπεί;

Πρόβλημα 3. Είναι δυνατόν να διαλέξουμε

κορυφές ενός κανονικού 14-γωνου έτσι, ώστε οποιοδήποτε τετράπλευρο με κορυφές αυτά τα σημεία, που έχει δυο πλευρές παράλληλες, να είναι ορθογώνιο αν α) k=6

, β) $k \geq 7$ ;

Πρόβλημα 4. Για κάποιο χρονικό διάστημα ένα παιδί έκανε βόλτα με το ποδήλατο, ακέραιο αριθμό φορών, την περίμετρο ενός σχολείου τετραγωνικού σχήματος προς την ίδια φορά με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα 10χμ/ώρα. Κατά το ίδιο χρονικό διάστημα ο πατέρας του παιδιού περπατούσε κατά την περίμετρο του σχολείου με ταχύτητα 5 χμ/ώρα αλλά μπορούσε και να αλλάξει φορά. Ο πατέρας έβλεπε το παιδί του μόνο εκείνες τις χρονικές στιγμές που βρισκόταν στην ίδια πλευρά του σχολείου. Θα μπορούσε να έβλεπε ο πατέρας το παιδί περισσότερο από το μισό της χρονικής διάρκειας της κοινής τους βόλτας;

Πρόβλημα 5. Για το μονικό πολυώνυμο

$P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0}$

με πραγματικούς συντελεστές είναι γνωστό ότι για κάποιο φυσικό $m \geq 2$ το πολυώνυμο

P(P(…P(x)…)

(

φορές)

έχει πραγματικές ρίζες και μάλιστα μόνο θετικές. Οποσδήποτε και το πολυώνυμο P(x)

θα έχει πραγματικές ρίζες και μάλιστα μόνο θετικές;

Υγ. Στη δεύτερη μέρα συμμετέχουν μόνο οι μαθητές που έλυσαν τουλάχιστον δυο προλήματα την πρώτη.

Σημείωση: Σύμφωνα με την πηγή που είναι η επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας εδώ. «Τα θέματα και οι λύσεις διατίθενται ελεύθερα για μη εμπορική χρήση (με επιθυμητή την αναφορά στην πηγή κατά την ανατύπωση)».

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 20, 2016 8:19 am**

Kαλημέρα
πρώτη μέρα

Πρόβλημα 3

Είναι $AD//BC\Leftrightarrow \hat{\phi }=\hat{ASB}=\hat{MNT},\hat{\omega }=\hat{DTC}=\hat{ADN}=\hat{SMN}$ ,λόγω των εγγραψίμων τετραπλεύρων AMND,MNCB

$\hat{NCT}=\hat{\sigma },\hat{NMB}=180-\hat{\sigma },\hat{DNC}=\hat{\omega }+\hat{\sigma },\hat{AMB}=\hat{\phi }+\hat{\sigma }+\hat{\omega }-\hat{\phi }=\hat{\sigma }+\hat{\omega }=\hat{DNC}$
Τα τρίγωνα AMB,DNC

είναι ίσα συνεπώς

$AB=DC,\hat{B}=\hat{C},\hat{MBC}=\hat{NCT},\hat{\omega }=\hat{\phi }, MN//BC//AD$

Συνεχίζοντας τη λύση με διευκρινήσεις στο σχήμα 2

Εχει ήδη αποδειχθεί ότι το τραπέζιο ABCD

είναι ισοσκελές .Θεωρώ την μεσοκάθετη των βάσεων του τραπεζίο και έστω $(O_{1}),(O_{2})$ οι περιγγεγραμμένοι κύκλοι στα εγγράψιμα τετράπλευρα AMND,MNCB

αντίστοιχα τότε είναι $O_{1}M=O_{1}N,O_{2}M=O_{2}N$
Συνεπώς η $PO_{1}HO_{2}$ είναι μεσοκάθετος της

δηλαδή

Γιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 20, 2016 9:47 am**

Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

Πρώτη Μέρα, 13 Μαρτίου 2016, 11η τάξη.

Πρόβλημα 5. Είναι άραγε δυνατόν με τέσσερα επίπεδα να κόψουμε κύβο ακμής 1 σε κομμάτια έτσι, ώστε για το καθένα από τα κομμάτια η απόσταση μεταξύ δυο οποιονδήποτε σημείων του να είναι α) μικρότερη του 4/5 ; β) μικρότερη του 4/7; . Υποθέτουμε ότι τα επίπεδα φέρονται ταυτόχρονα, ο κύβος και τα κομμάτια μένουν ακίνητα.

Για το α)

: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 πρ 5.png (26 KiB) Προβλήθηκε 2579 φορές

$AB=\sqrt{\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}=\dfrac{\sqrt{22}}{6}<\dfrac{4}{5}$

(Με την επιφύλαξη του κοψίματος με οριζόντια και κατακόρυφα επίπεδα ταυτόχρονα, αλλά γιατί όχι;)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 20, 2016 10:42 am**

[quote="Al.Koutsouridis"]LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

Μέρα Δεύτερη, 19 Μαρτίου 2016, 11η τάξη.

Πρόβλημα 1. Να βρείτε τον μικρότερο φυσικό αριθμό το τετράγωνο του οποίου, στη δεκαδική μορφή, λήγει σε 2016

Καλημέρα,
Με κάθετο πολλαπλασιασμό και ελέγχοντας τις δυνατές τιμές που μπορεί να έχει κάθε ψηφίο του ζητούμενου αριθμού ξεκινώντας από το ψηφίο των μονάδων, έχουμε:
Έστω

ο ζητούμενος φυσικός.Αφού το ψηφίο των μονάδων του x^2

είναι το 6, ο αριθμός που ζητάμε μπορεί να λήγει μόνο σε 4 ή 6.

ι) Αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του

θα είναι της μορφής

τότε το ψηφίο των δεκάδων του x^2

είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 4a+4a+1

, άρα πρέπει a=0

ή

.
Άρα, το τελευταίο τριψήφιο τμήμα του

είναι

ή

. Αποκλείεται η δεύτερη περίπτωση , γιατί τότε το ψηφίο των εκατοντάδων του x^2

είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 8b+29

, που είναι περιττός (άθροισμα άρτιου και περιττού) άρα δεν μπορεί να είναι 0.
Από την πρώτη περίπτωση με τον ίδιο τρόπο προκύπτει οτι b=5

.
Τέλος, το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα του

είναι

. Οι τιμές που μπορεί να πάρει το

είναι 6 ή 9.
Με δοκιμή γίνεται δεκτή η τιμή 6, οπότε δεν χρειάζεται να ελέγξουμε την τιμή 9, δηλ. χ=6504

.

ιι) Αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του

θα είναι της μορφής

τότε το ψηφίο των δεκάδων του x^2

είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 6a+6a+3

, άρα πρέπει a=4

ή

.
Άρα, το τελευταίο τριψήφιο τμήμα του

είναι

ή

. Αποκλείεται η δεύτερη περίπτωση , γιατί τότε το ψηφίο των εκατοντάδων του x^2

είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 12b+11

, που είναι περιττός (άθροισμα άρτιου και περιττού) άρα δεν μπορεί να είναι 0.
Από την πρώτη περίπτωση με τον ίδιο τρόπο προκύπτει οτι b=4

ή

.
Τέλος, το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα του

είναι

ή

. Οι τιμές που μπορεί να πάρει το

στην πρώτη περίπτωση είναι 3 ή 8 και στην δεύτερη είναι 0 ή 5. Άρα, x=3496

ή

ή

ή

.

Τελικά, ο μικρότερος φυσικός είναι ο 996

και είναι

.

Υ.Γ. Συμπλήρωσα την περίπτωση που είχα παραλείψει. Ευχαριστώ τον κ. Αλ.Κουτσουρίδη για την παρατήρησή του.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 20, 2016 10:58 am**

Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

Μέρα Δεύτερη, 19 Μαρτίου 2016, 11η τάξη.

Πρόβλημα 3. Είναι δυνατόν να διαλέξουμε κορυφές ενός κανονικού 14-γωνου έτσι, ώστε οποιοδήποτε τετράπλευρο με κορυφές αυτά τα σημεία, που έχει δυο πλευρές παράλληλες, να είναι ορθογώνιο αν α) , β) $k \geq 7$ ;

α)

Ναι, αρκεί να επιλέξουμε τρία ζεύγη κορυφών όπου στο κάθε ζεύγος τα σημεία είναι αντιδιαμετρικά.

: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 2η ημέρα πρ 3.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 2558 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 20, 2016 1:18 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Πρόβλημα 2. Υπάρχει τιμή του για την οποία ικανοποιείτε η ισότητα

;

Απάντηση: Όχι.

Έστω ότι υπήρχε $\displaystyle{x \in \left[ { - 1,1} \right]}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{{\arcsin ^2}x + {\arccos ^2}x = 1.}$ Θέτουμε $\displaystyle{u = \arcsin x \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]}$ και $\displaystyle{v = \arccos x \in \left[ {0,\pi } \right].}$ Τότε, είναι

$\displaystyle{{u^2} + {v^2} = 1}$

και

$\displaystyle{\sin u = x = \cos v \Rightarrow \cos v = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - u} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {v = 2k\pi + \dfrac{\pi }{2} - u}\\ {v = 2k\pi - \dfrac{\pi }{2} + u} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {v + u = 2k\pi + \dfrac{\pi }{2}}\\ {v - u = 2k\pi - \dfrac{\pi }{2}} \end{array}} \right.}$

με $\displaystyle{k \in \mathbb{Z}.}$

Επειδή $\displaystyle{v + u \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]}$ και $\displaystyle{v - u \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]}$ έχουμε τις περιπτώσεις $\displaystyle{v + u = \frac{\pi }{2},}$ $\displaystyle{v - u = - \frac{\pi }{2}}$ και $\displaystyle{v - u = \frac{{3\pi }}{2}.}$ Καθεμιά, όμως από αυτές οδηγεί σε άτοπο, αφού αντιφάσκει (αντίστοιχα) με τις ανισότητες $\displaystyle{2\left( {{u^2} + {v^2}} \right) \ge {\left( {v + u} \right)^2}}$ και $\displaystyle{2\left( {{u^2} + {v^2}} \right) \ge {\left( {v - u} \right)^2}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 20, 2016 3:24 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

Πρώτη Μέρα, 13 Μαρτίου 2016, 11η τάξη.

Πρόβλημα 1. Σε σκακιστικό τουρνουά 12 συμμετεχόντων ο καθένας έπαιξε ακριβώς από μια παρτίδα με τους υπόλοιπους. Για την νίκη δινόταν 1 βαθμός, για την ισοπαλία ½ βαθμοί και για την ήττα 0 βαθμοί. Ο Βασίλης έχασε μόνο μια παρτίδα αλλά, κατέλαβε την τελευταία θέση, συγκεντρώνοντας τους λιγότερους βαθμούς. Ο Πέτρος κατέλαβε την πρώτη θέση, συγκεντρώνοντας τους περισσότερους βαθμούς. Πόσους βαθμούς υπολείφθηκε ο Βασίλης από τον Πέτρο;

Οι

παίκτες έπαιξαν 1+2+3+...+11=66

παρτίδες (από

ο καθένας) και συγκέντρωσαν συνολικά

βαθμούς.
Ο Βασίλης συγκέντρωσε τουλάχιστον

βαθμούς (

από την ήττα και

από

ισοπαλίες), άρα οι

παίκτες (πλην Πέτρου) συγκέντρωσαν τουλάχιστον 5.5

βαθμούς ο καθένας , οπότε Βασίλης και οι

αυτοί παίκτες συγκέντρωσαν τουλάχιστον $5+5.5\cdot10=60$ βαθμούς. Άρα για τον Πέτρο απομένουν το πολύ 66-60=6

βαθμοί.
Άρα ο Βασίλης συγκέντρωσε

ακριβώς βαθμούς, οι

παίκτες (πλην Πέτρου) $10\cdot5.5=55$ ακριβώς βαθμούς και ο Πέτρος

ακριβώς βαθμούς. Άρα ο Βασίλης υπολείφηκε του Πέτρου ένα () βαθμό.
Να δούμε αν είναι υλοποιήσιμο αυτό το αριθμητικό αποτέλεσμα.
Ο Πέτρος νικάει το Βασίλη (1-0) το αποτέλεσμα. Ο Βασίλης φέρνει ισοπαλία με τους άλλους

παίκτες. Βαθμοί Βασίλη 5. Πέντε (

) από τους δέκα (

) (πλην Βασίλη και Πέτρου) παίκτες νικούν τους άλλους πέντε (

) και χάνουν από τον Πέτρο, άρα βαθμολογία του καθενός από αυτούς βαθμοί. Οι άλλοι πέντε νικούν τον Πέτρο, άρα βαθμοί και για τον καθένα από αυτούς και ο Πέτρος με νίκες συγκέντρωσε βαθμούς και τελειώσαμε.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 21, 2016 12:25 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Πρόβλημα 5. Είναι άραγε δυνατόν με τέσσερα επίπεδα να κόψουμε κύβο ακμής 1 σε κομμάτια έτσι, ώστε για το καθένα από τα κομμάτια η απόσταση μεταξύ δυο οποιονδήποτε σημείων του να είναι α) μικρότερη του 4/5 ; β) μικρότερη του 4/7; . Υποθέτουμε ότι τα επίπεδα φέρονται ταυτόχρονα, ο κύβος και τα κομμάτια μένουν ακίνητα.

Ας δούμε και το (β).

Έστω ο κύβος με κορυφές $\{(x,y,z):x,y,z\in \{0,1\}\}$ . Θεωρούμε το σύνολο $A = \{(x,y,z): x,y,z \in \{0,1/3,2/3,1\}\}$ από

σημεία του κύβου. Είναι γνωστό ότι

επίπεδα μπορούν να διαμερίσουν τον χώρο το πολύ σε $\displaystyle{ \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3}}$ χωρία. Άρα

επίπεδα μπορούν να χωρίσουν τον κύβο το πολύ σε

χωρία. Οπότε τουλάχιστον ένα από τα χωρία θα έχει τουλάχιστον

από τα σημεία του συνόλου

.

Έστω

το σύνολο αυτών των

σημείων. Θα δείξουμε ότι δύο από αυτά έχουν απόσταση μεγαλύτερη του 4/7

.

Ας κοιτάξουμε τις

-συντεταγμένες των

σημείων. Αν υπάρχουν δύο συντεταγμένες που διαφέρουν κατά 2/3

ή κατά

, τότε έχουμε δύο σημεία με απόσταση τουλάχιστον 2/3 > 4/7

, άτοπο.

Άρα τα

σημεία έχουν το πολύ δύο διαφορετικές

-συντεταγμένες. Ομοίως έχουν το πολύ δύο διαφορετικές

-συντεταγμένες και το πολύ δύο διαφορετικές

-συντεταγμένες.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας (μετακινώντας όλα τα σημεία προς τα κάτω, αριστερά και μπροστά αν χρειαστεί) μπορούμε να υποθέσουμε πως τα πέντε σημεία ανήκουν στο σύνολο $C = \{(x,y,z): x,y,z \in \{0,1/3\}\}$ .

Αν επιλέξουμε

από τα

σημεία του

, δύο από αυτά θα είναι αντιδιαμετρικά και άρα θα έχουν απόσταση $\sqrt{3}/3 > 4/7$ .

Οπότε το ζητούμενο στο (β) αποδείχθηκε.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 15, 2016 11:20 am**

Al.Koutsouridis έγραψε:

Πρόβλημα 6. Από την αριστερή όχθη στην δεξιά ενός ποταμού μεταφέρονται ιθαγενείς με την βοήθεια μιας βάρκας. Κάθε φορά στο ταξίδι προς την αριστερή όχθη επιβαίνουν δυο αλλά στην επιστροφή ένας. Αρχικά ο καθένας τους ήξερε από ένα ανέκδοτο, ο καθένας το δικό του. Στις όχθες δεν έλεγαν ανέκδοτα μεταξύ τους, αλλά κατά την διάρκεια του ταξιδιού στην βάρκα ο καθένας εξιστορούσε όλα τα ανέκδοτα που ήξερε εκείνη την χρονική στιγμή. Για κάθε φυσικό αριθμό να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του , για την οποία μπορεί να συμβεί το εξής: στο τέλος της μεταφοράς ο κάθε ιθαγενείς να ξέρει, εξαιρουμένου του δικού του, τουλάχιστον άλλα ανέκδοτα.

Απλά

στον κατασκευαστή του προβλήματος.

Αν σε κάποια φάση της διαδρομής οι ιθαγενείς ξέρουν $x_1,\ldots,x_N$ ανέκδοτα αντίστοιχα, τότε σε αυτήν την φάση δίνω την τιμή $\displaystyle{ \frac{1}{2^{x_1}} + \cdots + \frac{1}{2^{x_N}}}$

Πριν καν ξεκινήσουν έχουμε την τιμή N/2

.

Ισχυρίζομαι ότι μετά από κάθε διαδρομή η τιμή μειώνεται το πολύ κατά 1/2

. Πράγματι έστω ότι στην διαδρομή μετακινήθηκαν άτομα που ξέρουν

και

ανέκδοτα αντίστοιχα. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $a \geqslant b$ .

Αν b=1

τότε μετά την διαδρομή ξέρουν από a+1

ανέκδοτα και η μείωση της τιμής είναι ακριβώς
$\displaystyle{ \frac{1}{2^a} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{a+1}} - \frac{1}{2^{a+1}} = \frac{1}{2}}$

Αν b > 1

τότε η μείωση είναι αυστηρά μικρότερη από
$\displaystyle{ \frac{1}{2^a} + \frac{1}{2^b} \leqslant \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} }$

Εφόσον θα γίνουν N-1

διαδρομές στο τέλος η τιμή θα είναι τουλάχιστον $\displaystyle{ \frac{N}{2} - \frac{N-1}{2} = \frac{1}{2}.}$

Αν όμως στο τέλος όλοι γνωρίζουν από τουλάχιστον

επιπλέον γλώσσες η τιμή θα είναι το πολύ $\displaystyle{ \frac{N}{2^{k+1}}}$

Άρα $2^k \leqslant N$ και άρα $k \leqslant \lfloor \log_2{N}\rfloor$ .

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι το $k = \lfloor \log_2{N}\rfloor$ επιτυγχάνεται. Έστω π.χ. ότι N = 2^m + r

με $0 \leqslant r < 2^m$ . Στην πρώτη διαδρομή πάνε ο

με τον

. Αυτοί τώρα ξέρουν από

ανέκδοτα. Μετά επιστρέφει ο

και παίρνει τον

και ύστερα επιστρέφει ο

και παίρνει τον

. Αυτοί τώρα ξέρουν από

ανέκδοτα. Ακολούθως επιστρέφουν με την σειρά και παίρνουν τους 5,6,7,8

ώστε όλοι να ξέρουν από

ανέκδοτα κ.ο.κ. Όταν πάνε όλοι οι $1,2,\ldots,2^m$ στην αντίπερα όχθη θα ξέρουν επαγωγικά από m+1

ανέκδοτα. Τώρα

από αυτούς επιστρέφουν ένας ένας για να πάρουν από ένα από τους υπόλοιπους

ιθαγενείς. Έτσι θα έχουμε

ιθαγενείς που ξέρουν από m+2

ανέκδοτα ενώ οι υπόλοιποι 2^m - r > 0

θα ξέρουν από $m+1 = \lfloor \log_2{N}\rfloor$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 15, 2016 7:32 pm**

Πολύ όμορφη λύση κ.Δημήτρη.

Το πρόβλημα προτάθηκε από τον А. В. Шаповалов (Α.Β. Σαπαβάλοβ) ο οποίος έθεσε και το έκτο πρόβλημα της 8ης τάξης καθώς και 2-3 ακόμα των μικρότερων τάξεων.

Γενικά μετά την εξέταση συνηθίζεται να αναφέρονται τα ονόματα των θεματοδοτών στους ρώσικους διαγωνισμούς.

mathematica.gr

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (11η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (11η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (11η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (11η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (11η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (11η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (11η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (11η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (11η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (11η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (11η τάξη)