Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 983
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Ιαν 12, 2016 12:03 am

Πρώτη Μέρα


1. Ένα μανιτάρι ονομάζεται «χαλασμένο», αν έχει όχι λιγότερο από 10 σκουλήκια. Σε ένα καλάθι έχουμε 90 χαλασμένα μανιτάρια και 10 «καλά» (μη χαλασμένα). Είναι δυνατόν όλα τα μανιτάρια να γίνουν καλά, αν κάποια σκουλήκια έρπουν από τα χαλασμένα στα καλά.

2. Οι ρητοί αριθμοί a και b ικανοποιούν την εξίσωση

a^3b+ab^3+2a^2b^2+2a+2b +1 = 0

Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός 1-ab είναι τετράγωνο ρητού αριθμού.

3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε τα ύψη του AA_1, BB_1, CC_1. Ευθεία κάθετη στην πλευρά AC που διέρχεται από το σημείο A_1, τέμνει την ευθεία B_{1}C_{1} στο σημείο D. Να δείξετε ότι η γωνία ADC είναι ορθή.

4. Στο σχήμα απεικονίζεται τρίγωνο, διαιρεμένο σε 25 μικρότερα τρίγωνα, αριθμημένα από το 1 έως το 25. Μπορούμε αυτούς τους αριθμούς να τους τοποθετήσουμε στα κελιά ενός 5 \times 5 τετραγωνικού πίνακα, έτσι ώστε οποιοιδήποτε δυο αριθμοί που ήταν γειτονικοί στο τρίγωνο, να είναι γειτονικοί και στο τετράγωνο; (Τα τρίγωνα καθώς και τα τετράγωνα, θεωρούνται γειτονικά αν έχουν κοινή πλευρά.)
vmo_2008_2009_9class_4.png
vmo_2008_2009_9class_4.png (21.72 KiB) Προβλήθηκε 3673 φορές
Δεύτερη Μέρα

5. Σε 11 κομμάτια χαρτί είναι γραμμένες 11 προτάσεις (μία σε κάθε χαρτί).
1) Αριστερά αυτού του φύλλου δεν υπάρχουν ψευδείς προτάσεις
2) Ακριβώς ένα φύλλο αριστερά αυτού περιέχει ψευδή πρόταση.
3) Ακριβώς 2 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

11) Ακριβώς 10 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

Τα φύλλα με κάποια διάταξη τοποθετήθηκαν στη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά. Έπειτα από αυτήν την τοποθέτηση από τις γραμμένες προτάσεις κάποιες έγιναν αληθείς και κάποιες ψευδείς. Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός αληθών προτάσεων;

6. Ο φυσικός αριθμός m είναι τέτοιος, ώστε το άθροισμα των ψηφίων στη δεκαδική μορφή του αριθμού 2^{m} να είναι ίσο με 8. Μπορεί σε μία τέτοια περίπτωση το τελευταίο ψηφίο του 2^{m} να είναι ίσο με 6 ;

7. Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD στο οποίο η γωνία ABC είναι αμβλεία. Η ευθεία AD τέμνει εκ νέου τον περιγεγραμμένο κύκλο \omega του τριγώνου ABC, στο σημείο E. Η ευθεία CD τέμνει σε ένα δεύτερο σημείο F τον \omega. Να δείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου EDF βρίσκεται επί του \omega.

8. Σε ένα τουρνουά σκάκι συμμετείχαν 8 σκακιστές και ο καθένας τους έπαιξε ακριβώς μια παρτίδα με κάποιον άλλο. Είναι γνωστό ότι οποιοιδήποτε δυο σκακιστές, που έφεραν μεταξύ τους ισοπαλία, τελικά συγκέντρωσαν διαφορετικό αριθμό βαθμών. Να βρείτε το μέγιστο αριθμό ισοπαλιών σε αυτό το τουρνουά. (Η νικητήρια παρτίδα κερδίζει ένα βαθμό, η ισόπαλη ½ βαθμούς και η ήττα 0 βαθμούς.)
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Σεπ 29, 2016 1:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1821
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Ιαν 12, 2016 10:20 am

Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη Μέρα


1. Ένα μανιτάρι ονομάζεται «χαλασμένο», αν έχει όχι λιγότερο από 10 σκουλήκια. Σε ένα καλάθι έχουμε 90 χαλασμένα μανιτάρια και 10 «καλά» (μη χαλασμένα). Είναι δυνατόν όλα τα μανιτάρια να γίνουν καλά, αν κάποια σκουλήκια έρπουν από τα χαλασμένα στα καλά.

2. Οι ρητοί αριθμοί a και b ικανοποιούν την εξίσωση

a^3b+ab^3+2a^2b^2+2a+2b +1 = 0

Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός 1-ab είναι τετράγωνο ρητού αριθμού.

3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε τα ύψη του AA_1, BB_1, CC_1. Ευθεία κάθετη στην πλευρά AC που διέρχεται από το σημείο A_1, τέμνει την ευθεία B_{1}C_{1} στο σημείο D. Να δείξετε ότι η γωνία ADC είναι ορθή.

4. Στο σχήμα απεικονίζεται τρίγωνο, διαιρεμένο σε 25 μικρότερα τρίγωνα, αριθμημένα από το 1 έως το 25. Μπορούμε αυτούς τους αριθμούς να τους τοποθετήσουμε στα κελιά ενός 5 \times 5 τετραγωνικού πίνακα, έτσι ώστε οποιοιδήποτε δυο αριθμοί που ήταν γειτονικοί στο τρίγωνο, να είναι γειτονικοί και στο τετράγωνο; (Τα τρίγωνα καθώς και τα τετράγωνα, θεωρούνται γειτονικά αν έχουν κοινή πλευρά.)
Το συνημμένο vmo_2008_2009_9class_4.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δεύτερη Μέρα

5. Σε 11 κομμάτια χαρτί είναι γραμμένες 11 προτάσεις (μία σε κάθε χαρτί).
1) Αριστερά αυτού του φύλλου δεν υπάρχουν ψευδείς προτάσεις
2) Ακριβώς ένα φύλλο αριστερά αυτού περιέχει ψευδή πρόταση.
3) Ακριβώς 2 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

11) Ακριβώς 10 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

Τα φύλλα με κάποια διάταξη τοποθετήθηκαν στη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά. Έπειτα από αυτήν την τοποθέτηση από τις γραμμένες προτάσεις κάποιες έγιναν αληθείς και κάποιες ψευδείς. Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός αληθών προτάσεων;

6. Ο φυσικός αριθμός m είναι τέτοιος, ώστε το άθροισμα των ψηφίων στη δεκαδική μορφή του αριθμού 2^{m} να είναι ίσο με 8. Μπορεί σε μία τέτοια περίπτωση το τελευταίο ψηφίο του 2^{m} να είναι ίσο με 6 ;

7. Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD στο οποίο η γωνία ABC είναι αμβλεία. Η ευθεία AD τέμνει εκ νέου τον περιγεγραμμένο κύκλο \omega του τριγώνου ABC, στο σημείο E. Η ευθεία CD τέμνει σε ένα δεύτερο σημείο F τον \omega. Να δείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου EDF βρίσκεται επί του \omega.

8. Σε ένα τουρνουά σκάκι συμμετείχαν 8 σκακιστές και ο καθένας τους έπαιξε ακριβώς μια παρτίδα με κάποιον άλλο. Είναι γνωστό ότι οποιοιδήποτε δυο σκακιστές, που έφεραν μεταξύ τους ισοπαλία, τελικά συγκέντρωσαν διαφορετικό αριθμό βαθμών. Να βρείτε το μέγιστο αριθμό ισοπαλιών σε αυτό το τουρνουά. (Η νικητήρια παρτίδα κερδίζει ένα βαθμό, η ισόπαλη ½ βαθμούς και η ήττα 0 βαθμούς.)
Πρόβλημα 3
Kαλημέρα

Εστω \hat{BAA_{_{1}}}=\hat{\omega },\hat{CBB_{_{1}}}=\hat{\phi }

Τότε από τα εγράψιμα τετράπλευρα HC_{1}BA_{1},HA_{1}CB_{1}HC_{1}AB_{1} είναι

\hat{B_{1}BC}=\hat{A_{1}AC}=\hat{IA_{1}C}=\hat{B_{1}C_{1}C}=\hat{\phi }, 
 
\hat{C_{1}CB}=\hat{BA_{1}A}=\hat{C_{1}B_{1}B}=\hat{C_{1}DA_{1}}=\hat{\omega },

Ακόμη είναι

\hat{B_{1}HC}=\hat{B_{1}A_{1}C}=\hat{\omega }+\hat{\phi }=\hat{B_{1}A_{1}C},\hat{B_{1}A_{1}D}= 
 
\hat{\omega },A_{1}B_{1}=B_{1}D,B_{1}C\perp A_{1}D

Συνεπώς η AIC είναι μεσοκάθετος της A_{1}D και το τετράπλευρο AA_{1}CD

είναι εγράψιμο σε κύκλο με \hat{ADC}=\hat{AA_{1}C}=90^{0}



Γιάννης
Συνημμένα
Πρόβλημα 3 (πρώτη μέρα).png
Πρόβλημα 3 (πρώτη μέρα).png (32.88 KiB) Προβλήθηκε 3645 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8432
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 12, 2016 10:41 am

Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη Μέρα

2. Οι ρητοί αριθμοί a και b ικανοποιούν την εξίσωση

a^3b+ab^3+2a^2b^2+2a+2b +1 = 0

Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός 1-ab είναι τετράγωνο ρητού αριθμού.
Καλημέρα.

Η δοσμένη σχέση γράφεται: \displaystyle{ab{(a + b)^2} + 2(a + b) + 1 = 0}. Προφανώς είναι \displaystyle{a + b \ne 0}. Άρα:

\displaystyle{{(a + b)^2} + 2(a + b) + 1 + (ab - 1){(a + b)^2} = 0 \Leftrightarrow {(a + b + 1)^2} = (1 - ab){(a + b)^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{a + b \ne 0} }

\displaystyle{1 - ab = {\left( {\frac{{a + b + 1}}{{a + b}}} \right)^2} = {k^2},k \in }Q


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8432
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 12, 2016 11:12 am

Al.Koutsouridis έγραψε: 7. Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD στο οποίο η γωνία ABC είναι αμβλεία. Η ευθεία AD τέμνει εκ νέου τον περιγεγραμμένο κύκλο \omega του τριγώνου ABC, στο σημείο E. Η ευθεία CD τέμνει σε ένα δεύτερο σημείο F τον \omega. Να δείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου EDF βρίσκεται επί του \omega.
Πανρωσική 2008-2009(ΙΙΙΦ, 9).png
Πανρωσική 2008-2009(ΙΙΙΦ, 9).png (20.5 KiB) Προβλήθηκε 3638 φορές
\displaystyle{F\widehat EA = F\widehat CA = B\widehat AC \Leftrightarrow BC = AD = AF}
H μεσοκάθετος του FD (που είναι και διχοτόμος της γωνίας \hat{FAD}) τέμνει τον κύκλο (\omega) στο K. Προφανώς KF=KD=KE και το ζητούμενο αποδείχτηκε.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8248
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιαν 14, 2016 5:29 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: Δεύτερη Μέρα

5. Σε 11 κομμάτια χαρτί είναι γραμμένες 11 προτάσεις (μία σε κάθε χαρτί).
1) Αριστερά αυτού του φύλλου δεν υπάρχουν ψευδείς προτάσεις
2) Ακριβώς ένα φύλλο αριστερά αυτού περιέχει ψευδή πρόταση.
3) Ακριβώς 2 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

11) Ακριβώς 10 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

Τα φύλλα με κάποια διάταξη τοποθετήθηκαν στη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά. Έπειτα από αυτήν την τοποθέτηση από τις γραμμένες προτάσεις κάποιες έγιναν αληθείς και κάποιες ψευδείς. Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός αληθών προτάσεων;
Όμορφο!

Ας υποθέσουμε ότι ένα φύλλο λέει αληθώς ότι αριστερά του υπάρχουν ακριβώς k ψευδείς προτάσεις. Τότε το αμέσως επόμενο φύλλο έχει επίσης στα αριστερά ακριβώς k ψευδείς προτάσεις. Επομένως η πρόταση σε αυτό το φύλλο είναι ψευδής αφού η πρόταση «ακριβώς k ψευδείς προτάσεις» χρησιμοποιήθηκε.

Δεν μπορούμε λοιπόν να έχουμε δυο συνεχόμενα φύλλα τα οποία να έχουν και τα δύο αληθείς προτάσεις. Από την αρχή του περιστερώνα μπορούμε λοιπόν να έχουμε το πολύ 6 φύλλα με αληθείς προτάσεις.

Μπορούμε να έχουμε 6 φύλλα με αληθείς προτάσεις αν τα βάλουμε με την σειρά 0,6,1,7,2,8,3,9,4,10,5 όπου με τον αριθμό i δηλώνουμε το χαρτί που λέει ότι αριστερά του υπάρχουν ακριβώς i φύλλα με αληθείς προτάσεις. Εδώ τα φύλλα 0,1,2,3,4,5 λένε αλήθεια και τα 6,7,8,9,10 ψέματα.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8248
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιαν 14, 2016 5:37 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: 4. Στο σχήμα απεικονίζεται τρίγωνο, διαιρεμένο σε 25 μικρότερα τρίγωνα, αριθμημένα από το 1 έως το 25. Μπορούμε αυτούς τους αριθμούς να τους τοποθετήσουμε στα κελιά ενός 5 \times 5 τετραγωνικού πίνακα, έτσι ώστε οποιοιδήποτε δυο αριθμοί που ήταν γειτονικοί στο τρίγωνο, να είναι γειτονικοί και στο τετράγωνο; (Τα τρίγωνα καθώς και τα τετράγωνα, θεωρούνται γειτονικά αν έχουν κοινή πλευρά.)
Και αυτό μου άρεσε. Δίνω μια βοήθεια: Χρωματισμοί!


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιαν 17, 2016 12:25 am

Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη Μέρα
1. Ένα μανιτάρι ονομάζεται «χαλασμένο», αν έχει όχι λιγότερο από 10 σκουλήκια. Σε ένα καλάθι έχουμε 90 χαλασμένα μανιτάρια και 10 «καλά» (μη χαλασμένα). Είναι δυνατόν όλα τα μανιτάρια να γίνουν καλά, αν κάποια σκουλήκια έρπουν από τα χαλασμένα στα καλά.
Η μόνη περίπτωση να συμβεί αυτό είναι τα χαλασμένα μανιτάρια να έχουν ακριβώς από 10 σκουλήκια και ένα από το καθένα να φύγει και να πάει σε κάποιο καλό με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε καλό να έχει ακριβώς 9 σκουλήκια.


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιαν 17, 2016 12:27 am

Al.Koutsouridis έγραψε:Δεύτερη Μέρα

5. Σε 11 κομμάτια χαρτί είναι γραμμένες 11 προτάσεις (μία σε κάθε χαρτί).
1) Αριστερά αυτού του φύλλου δεν υπάρχουν ψευδείς προτάσεις
2) Ακριβώς ένα φύλλο αριστερά αυτού περιέχει ψευδή πρόταση.
3) Ακριβώς 2 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

11) Ακριβώς 10 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

Τα φύλλα με κάποια διάταξη τοποθετήθηκαν στη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά. Έπειτα από αυτήν την τοποθέτηση από τις γραμμένες προτάσεις κάποιες έγιναν αληθείς και κάποιες ψευδείς. Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός αληθών προτάσεων;

Η πρόταση A_i μας λέει ότι "ακριβώς i-1 φύλλα αριστερά μου περιέχουν ψευδείς προτάσεις."
Αν έχω \geq 7 αληθείς προτάσεις τότε θα υπάρχει j\geq 7 με την A_j αληθή. Δηλαδή j-1\geq 6 προτάσεις είναι ψευδείς οπότε το πολύ 5 αληθείς, άτοπο.
Άρα το πολύ 6 αληθείς οι προτάσεις.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8248
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Φεβ 02, 2017 2:58 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη Μέρα

6. Ο φυσικός αριθμός m είναι τέτοιος, ώστε το άθροισμα των ψηφίων στη δεκαδική μορφή του αριθμού 2^{m} να είναι ίσο με 8. Μπορεί σε μία τέτοια περίπτωση το τελευταίο ψηφίο του 2^{m} να είναι ίσο με 6 ;
Όχι.

Αρχικά, επειδή 6 \equiv 26 \equiv 2 \bmod 4, δεν μπορεί ο αριθμός να τελειώνει σε 06 ή 26. (Τότε θα είχαμε m=1, άτοπο.) Άρα η μόνη περίπτωση που πρέπει να εξετάσουμε είναι η 2^m = 10\cdots 016 = 10^n + 16 για κάποιο n \geqslant 2.

Για n \geqslant 5 έχουμε 10^n+16 \equiv 16 \bmod 32 οπότε πρέπει m=4, άτοπο αφού 2^4 = 16. Για n \leqslant 3 έχουμε 10^n + 16 \equiv 2^n \bmod 16 οπότε πρέπει m=n το οποίο επίσης εύκολα απορρίπτεται. Τέλος αν n=4 είναι 10^n + 16 = 10016 = 2^5 \times 313, πάλι άτοπο.


Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Πέμ Φεβ 02, 2017 5:39 pm

4
Αρχικά, ονομάζουμε τους αριθμούς που βρίσκονται σε τρίγωνο με την μύτη προς τα πάνω καλούς και τους αριθμούς που
βρίσκονται σε τρίγωνο με την μύτη προς τα κάτω κακούς τους οποίους θα συμβολίζουμε με A,B αντίστοιχα.
Παρατηρούμε ότι κάθε κακός αριθμός, θα πρέπει να συνορεύει με τουλάχιστον 3 καλούς αριθμούς. Επομένως τα κελιά A1,A5,E1,E5
πρέπει να έχουν καλούς αριθμούς αφού συνορεύουν με μόνο 2 τετράγωνα. Στην συνέχεια από τους παραπάνω καλούς αριθμούς, τουλάχιστον
ένας θα πρέπει να συνορεύει με τουλάχιστον 2 κακούς. Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω ο E5. Όμως κάθε κακός αριθμός συνορεύει με
τουλάχιστον 3 καλούς, άρα τα κελιά C5,D4,E3 πρέπει να έχουν καλούς αριθμούς. Αφού κάθε καλός αριθμός συνορεύει με τουλάχιστον
ένα κακό, τότε χωρίς βλάβη της γενικότητας το κελί B1 είναι κακό. Όμοια τα κελιά B2 και C1 θα είναι καλά. Το κελί D1 δεν μπορεί να είναι καλό, διότι τότε το κελί D2 θα ήταν κακό και το κελί E2 επίσης κακό (λόγω του E1), που είναι άτοπο αφού κάθε κακό συνορεύει με τουλάχιστον 3 καλά. Άρα τα κελιά D1,E2 είναι κακά και το κελί D2 καλό. Λαμβάνοντας περιπτώσεις για το A3 καταλήγουμε στο
ότι είναι καλό. Εύκολα μετά καταλήγουμε στο παρακάτω σχήμα λαμβάνοντας περιπτώσεις.
Παρατηρούμε ότι όλοι οι καλοί αριθμοί εκτός από τους 1,17,25 συνορεύουν με τουλάχιστον 2 κακούς αριθμούς. Στο σχήμα τα κελιά
B3,C4,D3 είναι τα μοναδικά καλά κελιά που συνδέονται με έναν μόνο κακό αριθμό. Άρα οι παραπάνω αριθμοί θα πρέπει να βρίσκονται
σε αυτά τα κελιά με κάποια μετάθεση. Όμως το κακό κελί C3 θα πρέπει να συνορεύει με αυτούς τους αριθμούς αφού κάθε κακός αριθμός
συνορεύει με τουλάχιστον 3 καλούς, καταλήγοντας σε άτοπο αφού οι αριθμοί βρίσκονται στις κορυφές του τριγώνου. Άρα δεν
υπάρχει κάποια τοποθέτηση που να πληρεί τις προϋποθέσεις.
Screenshot_5.png
Screenshot_5.png (17.68 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2008/2009 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Πέμ Φεβ 02, 2017 11:20 pm


Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη Μέρα


1. Ένα μανιτάρι ονομάζεται «χαλασμένο», αν έχει όχι λιγότερο από 10 σκουλήκια. Σε ένα καλάθι έχουμε 90 χαλασμένα μανιτάρια και 10 «καλά» (μη χαλασμένα). Είναι δυνατόν όλα τα μανιτάρια να γίνουν καλά, αν κάποια σκουλήκια έρπουν από τα χαλασμένα στα καλά.

2. Οι ρητοί αριθμοί a και b ικανοποιούν την εξίσωση

a^3b+ab^3+2a^2b^2+2a+2b +1 = 0

Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός 1-ab είναι τετράγωνο ρητού αριθμού.

3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε τα ύψη του AA_1, BB_1, CC_1. Ευθεία κάθετη στην πλευρά AC που διέρχεται από το σημείο A_1, τέμνει την ευθεία B_{1}C_{1} στο σημείο D. Να δείξετε ότι η γωνία ADC είναι ορθή.

4. Στο σχήμα απεικονίζεται τρίγωνο, διαιρεμένο σε 25 μικρότερα τρίγωνα, αριθμημένα από το 1 έως το 25. Μπορούμε αυτούς τους αριθμούς να τους τοποθετήσουμε στα κελιά ενός 5 \times 5 τετραγωνικού πίνακα, έτσι ώστε οποιοιδήποτε δυο αριθμοί που ήταν γειτονικοί στο τρίγωνο, να είναι γειτονικοί και στο τετράγωνο; (Τα τρίγωνα καθώς και τα τετράγωνα, θεωρούνται γειτονικά αν έχουν κοινή πλευρά.)

vmo_2008_2009_9class_4.png

Δεύτερη Μέρα

5. Σε 11 κομμάτια χαρτί είναι γραμμένες 11 προτάσεις (μία σε κάθε χαρτί).
1) Αριστερά αυτού του φύλλου δεν υπάρχουν ψευδείς προτάσεις
2) Ακριβώς ένα φύλλο αριστερά αυτού περιέχει ψευδή πρόταση.
3) Ακριβώς 2 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

11) Ακριβώς 10 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

Τα φύλλα με κάποια διάταξη τοποθετήθηκαν στη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά. Έπειτα από αυτήν την τοποθέτηση από τις γραμμένες προτάσεις κάποιες έγιναν αληθείς και κάποιες ψευδείς. Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός αληθών προτάσεων;

6. Ο φυσικός αριθμός m είναι τέτοιος, ώστε το άθροισμα των ψηφίων στη δεκαδική μορφή του αριθμού 2^{m} να είναι ίσο με 8. Μπορεί σε μία τέτοια περίπτωση το τελευταίο ψηφίο του 2^{m} να είναι ίσο με 6 ;

7. Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD στο οποίο η γωνία ABC είναι αμβλεία. Η ευθεία AD τέμνει εκ νέου τον περιγεγραμμένο κύκλο \omega του τριγώνου ABC, στο σημείο E. Η ευθεία CD τέμνει σε ένα δεύτερο σημείο F τον \omega. Να δείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου EDF βρίσκεται επί του \omega.

8. Σε ένα τουρνουά σκάκι συμμετείχαν 8 σκακιστές και ο καθένας τους έπαιξε ακριβώς μια παρτίδα με κάποιον άλλο. Είναι γνωστό ότι οποιοιδήποτε δυο σκακιστές, που έφεραν μεταξύ τους ισοπαλία, τελικά συγκέντρωσαν διαφορετικό αριθμό βαθμών. Να βρείτε το μέγιστο αριθμό ισοπαλιών σε αυτό το τουρνουά. (Η νικητήρια παρτίδα κερδίζει ένα βαθμό, η ισόπαλη ½ βαθμούς και η ήττα 0 βαθμούς.)
Ασκηση 4 πρωτη μερα
απο την εικονα 3 πρεπει με του καταλληλουσ μετασχηματισμους να καταληξουμε στον τετραγωνο πινακα 5*5
αλλα οι μονοι δυνατοι μετασχηματισμοι ωστε να διατηρουνται οι δεσμοι στην εικονα 3 ειναι 1)περιστροφες με κεντρο εναν απο τουσ αριθμουσ και 2)αλλαγη του δεσμου 17 με 18 και 24 με 25 Κανενας δεν καταληγει στο ζητουμενο Αρα ο μετασχηματισμοσ ειναι αδυνατοσ
Συνημμένα
μπαμπινο.png
μπαμπινο.png (102.43 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες