JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
G3. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του Έστω σημείο πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα τέτοιο ώστε Έστω το δεύτερο σημείο τομής του κύκλου και της ευθείας Αν και είναι τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων και αντίστοιχα, να δείξετε ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά.
Αυτό ήταν το πρόβλημα 2 του διαγωνισμού.
viewtopic.php?f=109&t=37870
Αυτό ήταν το πρόβλημα 2 του διαγωνισμού.
viewtopic.php?f=109&t=37870
Θανάσης Κοντογεώργης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Καλημέραsocrates έγραψε:G3. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του Έστω σημείο πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα τέτοιο ώστε Έστω το δεύτερο σημείο τομής του κύκλου και της ευθείας Αν και είναι τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων και αντίστοιχα, να δείξετε ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά.
Αυτό ήταν το πρόβλημα 2 του διαγωνισμού.
viewtopic.php?f=109&t=37870
Έστω το αντιδιαμετρικό του . Είναι:
Από γνωστό θεώρημα: "Αν οι διαγώνιοι εγγεγραμμένου τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα, τότε η κάθετη από το σημείο τομής τους σε κάθε πλευρά του τετραπλεύρου διέρχεται από το μέσο της απέναντι πλευράς"
Έχουμε λοιπόν ότι το είναι παραλληλόγραμμο, άρα το , ως σημείο τομής των διαγωνίων, είναι σημείο της .
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Iσχύουν από την υπόθεση του προβλήματοςsocrates έγραψε:G2. Οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο και εσωτερικά στον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Έστω και τα σημεία στα οποία η κοινή εφαπτομένη στο των και τέμνει τον Να δείξετε ότι αν τότε το ευθύγραμμο τμήμα είναι διάμετρος του
Συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές με
Στο εγγεγραμένο τετράπλευρο είναι
Συνεπώς η είναι διάμετρος του κύκλου
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- JBMO2013(Shortlisted Problem) G2.png (69.5 KiB) Προβλήθηκε 1883 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα γιατί έχουν δύο από τις απέναντι γωνίες ορθές. . Άρα το είναι εγγράψιμο.socrates έγραψε:G1. Έστω μια διάμετρος ενός κύκλου κέντρου και μια ακτίνα του κάθετη στην Έστω σημείο του ευθυγράμμου τμήματος Έστω το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας με τον και το σημείο τομής των εφαπτομένων του στα σημεία και Να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Λύση από το Ραφαήλ:socrates έγραψε:N1. Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.
viewtopic.php?p=201812#p201812
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Λύση από το Δημήτρη:socrates έγραψε:N4. Ένα ορθογώνιο στο επίπεδο λέγεται latticed αν όλες οι κορυφές του έχουν ακέραιες συντεταγμένες.
α) Να βρείτε ένα latticed ορθογώνιο με εμβαδόν του οποίου οι πλευρές δεν είναι παράλληλες με τους άξονες.
β) Δείξτε ότι αν ένα latticed ορθογώνιο έχει εμβαδόν τότε οι πλευρές του είναι παράλληλες με τους άξονες.
viewtopic.php?p=223053#p223053
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Είναι η άσκηση 1111 εδώ:socrates έγραψε:N6. Να βρείτε όλες τις διατεταγμένες τριάδες ακεραίων που ικανοποιούν το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων
Σχόλια:
1. Το αρχικό πρόβλημα ζητούσε τις λύσεις όταν είναι πρώτος αριθμός.
2. Το πρόβλημα μπορεί να τεθεί με μία εξίσωση στη μορφή
search.php?keywords=1111&t=15584&sf=msgonly
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
G4.
Έστω το έκκεντρο και η μικρότερη πλευρά του τριγώνου Ο κύκλος κέντρου που περνά από το τέμνει την ημιευθεία στο σημείο και την ημιευθεία στο σημείο Έστω το σημείο στο οποίο εφάπτεται στη ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην κορυφή και το συμμετρικό του ως προς το Να δείξετε ότι οι ευθείες και είναι μεταξύ τους κάθετες .
Έστω το έκκεντρο και η μικρότερη πλευρά του τριγώνου Ο κύκλος κέντρου που περνά από το τέμνει την ημιευθεία στο σημείο και την ημιευθεία στο σημείο Έστω το σημείο στο οποίο εφάπτεται στη ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην κορυφή και το συμμετρικό του ως προς το Να δείξετε ότι οι ευθείες και είναι μεταξύ τους κάθετες .
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
G5.
Ένας κύκλος περνά από το μέσο της πλευράς και την κορυφή ενός τριγώνου και τέμνει τις πλευρές και για δεύτερη φορά στα σημεία και αντίστοιχα. Να δείξετε ότι αν τότε
Ένας κύκλος περνά από το μέσο της πλευράς και την κορυφή ενός τριγώνου και τέμνει τις πλευρές και για δεύτερη φορά στα σημεία και αντίστοιχα. Να δείξετε ότι αν τότε
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
G6.
Έστω και τα μέσα των πλευρών και ενός ορθογωνίου αντίστοιχα. Έστω και τα σημεία τομής της ευθείας με τις και αντίστοιχα, και το σημείο τομής των ευθειών και
Έστω τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων αντίστοιχα. Έστω η ευθεία που περνά από το και είναι κάθετη στην η ευθεία που περνά από το και είναι κάθετη στην και η ευθεία που περνά από το και είναι κάθετη στην
Να δείξετε ότι οι συντρέχουν.
Έστω και τα μέσα των πλευρών και ενός ορθογωνίου αντίστοιχα. Έστω και τα σημεία τομής της ευθείας με τις και αντίστοιχα, και το σημείο τομής των ευθειών και
Έστω τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων αντίστοιχα. Έστω η ευθεία που περνά από το και είναι κάθετη στην η ευθεία που περνά από το και είναι κάθετη στην και η ευθεία που περνά από το και είναι κάθετη στην
Να δείξετε ότι οι συντρέχουν.
Θανάσης Κοντογεώργης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Μια απάντηση για γενικό αλλά για seniors αντί για juniors (χρησιμοποιεί γεννήτριες συναρτήσεις και παραγωγίσεις) έχω βάλει στην συλλογή εδώ. (Πρόβλημα 74.) Είναι νομίζω από τις περιπτώσεις που οι βαθμολογητές δεν θα αρνούνταν τις παραγώγους.socrates έγραψε:C3. Έστω ένας θετικός ακέραιος. Δύο παίκτες, η Αλίκη και ο Βασίλης, παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι:Μπορεί ο Βασίλης να είναι βέβαιος ότι θα κερδίσει στις ακόλουθες περιπτώσεις ;
- Η Αλίκη επιλέγει πραγματικούς αριθμούς , όχι κατ’ ανάγκη διαφορετικούς
- Η Αλίκη στη συνέχεια γράφει τα αθροίσματα όλων των ζευγών των παραπάνω αριθμών πάνω σε μια κόλλα χαρτί την οποία δίνει στον Βασίλη .
(υπάρχουν τέτοια αθροίσματα, όχι κατ’ ανάγκη διαφορετικά)- Ο Βασίλης κερδίζει αν βρει σωστά τους αριθμούς που αρχικά είχε επιλέξει η Αλίκη.
a.
b.
c.
Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.
[Για παράδειγμα, όταν η Αλίκη μπορεί να επιλέξει τους αριθμούς που έχουν τα ίδια ανά δύο αθροίσματα με τους αριθμούς και έτσι ο Βασίλης δεν μπορεί να είναι βέβαιος ότι θα κερδίσει.]
Αυτό ήταν το πρόβλημα 4 του διαγωνισμού (η αρχική εκφώνηση ήταν διαφορετική, χωρίς όμως να αλλάζει κάτι στο πρόβλημα).
viewtopic.php?f=109&t=37870
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Δεν έχουν απαντηθεί τα θέματα C2, G4,G5,G6.
Και κάπου εδώ ολοκληρώθηκαν τα προταθέντα προβλήματα για την JBMO 2013.
Διαφορετικές λύσεις, παρατηρήσεις, σχόλια είναι πάντα ευπρόσδεκτα...
Και κάπου εδώ ολοκληρώθηκαν τα προταθέντα προβλήματα για την JBMO 2013.
Διαφορετικές λύσεις, παρατηρήσεις, σχόλια είναι πάντα ευπρόσδεκτα...
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
socrates έγραψε:Δεν έχουν απαντηθεί τα θέματα C2, G4,G5,G6.
Και κάπου εδώ ολοκληρώθηκαν τα προταθέντα προβλήματα για την JBMO 2013.
Διαφορετικές λύσεις, παρατηρήσεις, σχόλια είναι πάντα ευπρόσδεκτα...
Επαναφορά!
Θανάσης Κοντογεώργης
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
socrates έγραψε:G4.
Έστω το έκκεντρο και η μικρότερη πλευρά του τριγώνου Ο κύκλος κέντρου που περνά από το τέμνει την ημιευθεία στο σημείο και την ημιευθεία στο σημείο Έστω το σημείο στο οποίο εφάπτεται στη ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην κορυφή και το συμμετρικό του ως προς το Να δείξετε ότι οι ευθείες και είναι μεταξύ τους κάθετες .
Φέρνουμε .
Θα αποδείξουμε πρώτα το εξής Λήμμα :
Λήμμα
Τα σημεία είναι ομοκυκλικά, όπως και τα .
Απόδειξη
Έστω ότι τα δεν είναι ομοκυκλικά.
Τότε, θα υπάρχει ένα άλλο σημείο στην προέκταση της ώστε τα να είναι ομοκυκλικά.
Τότε, .
Συνεπώς, το ανήκει στον κύκλο και στην προέκταση της , όπως και το . Πρέπει λοιπόν , άτοπο.
Οπότε, τα και όμοια τα είναι ομοκυκλικά, και η απόδειξη του Λήμματος ολοκληρώθηκε.
Επιστρέφουμε τώρα στην άσκηση.
Είναι γνωστό πως (1).
Έστω τα σημεία επαφής του παραγγεγραμμένου κύκλου με τις και .
Είναι
(2).
Από (1), (2), (3).
Επίσης, (4).
Έτσι,
(5).
Από το Λήμμα,
(6).
Από (5), (6), (7).
Ακόμη, (8).
Από (7), (8), .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Έστω ότι οι και τέμνονται στο . Αρκεί να δείξουμε πως .socrates έγραψε:G6.
Έστω και τα μέσα των πλευρών και ενός ορθογωνίου αντίστοιχα. Έστω και τα σημεία τομής της ευθείας με τις και αντίστοιχα, και το σημείο τομής των ευθειών και
Έστω τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων αντίστοιχα. Έστω η ευθεία που περνά από το και είναι κάθετη στην η ευθεία που περνά από το και είναι κάθετη στην και η ευθεία που περνά από το και είναι κάθετη στην
Να δείξετε ότι οι συντρέχουν.
Λόγω συμμετρίας, .
Αφού είναι (1).
Επίσης, (2).
Από (1), (2) έχουμε πως τα τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, οπότε έχουν και την τρίτη ίση, δηλαδή ομοκυκλικά.
Έστω επίσης το μέσο της και .
Είναι παραλληλόγραμμο, επομένως (3)
Έστω το κέντρο του κύκλου .
Είναι (4).
Όμοια (5).
Από (3), (4), παραλληλόγραμμο, και αφού μέσο της , συνευθειακά με (6).
Από (3), (6), το παραλληλόγραμμο, και άρα , και αφού , , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 7 επισκέπτες