ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Τα θέματα !!!
Καλά αποτελέσματα !!!
Μπάμπης
Καλά αποτελέσματα !!!
Μπάμπης
- Συνημμένα
-
- Θέματα 2015-Ευκλείδης.pdf
- (213.07 KiB) Μεταφορτώθηκε 1554 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Σάβ Ιαν 17, 2015 12:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1
Έστω ο αριθμός των μαθημάτων και οι βαθμοί του υποψήφιου. Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ότι:
.
Από τις σχέσεις , , και προκύπτει το σύστημα:
από τη λύση του οποίου εύκολα προκύπτει ότι και .
Έστω ο αριθμός των μαθημάτων και οι βαθμοί του υποψήφιου. Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ότι:
.
Από τις σχέσεις , , και προκύπτει το σύστημα:
από τη λύση του οποίου εύκολα προκύπτει ότι και .
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Α λυκείου -ΘΕΜΑ 2
Έστω ο αριθμός των μαθημάτων και οι βαθμοί του υποψήφιου. Είναι
Συνεπώς,
,
απ'οπου παίρνουμε .
και
Φιλικά,
Αχιλλέας
Έστω ο αριθμός των μαθημάτων και οι βαθμοί του υποψήφιου. Είναι
Συνεπώς,
,
απ'οπου παίρνουμε .
και
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 17, 2015 1:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Πρόβλημα 3
Έτσι συνεπώς ( παραπληρώματα ίσων γωνιών)
Τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν
1. ( Λόγω της )
2. ( ως διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου)
3.
Άρα είναι ίσα και θα έχουν : . Στην ειδική περίπτωση (πρόβλημα 3 Β λυκείου) που η γωνία
Πάλι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και τα τρίγωνα είναι όμοια συνεπώς
Νίκος
Επειδή ( η μεσοκάθετος στο ) και , το τετράπλευρο ισοσκελές τραπέζιο .Έτσι συνεπώς ( παραπληρώματα ίσων γωνιών)
Τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν
1. ( Λόγω της )
2. ( ως διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου)
3.
Άρα είναι ίσα και θα έχουν : . Στην ειδική περίπτωση (πρόβλημα 3 Β λυκείου) που η γωνία
Πάλι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και τα τρίγωνα είναι όμοια συνεπώς
Νίκος
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Ιαν 17, 2015 12:00 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2
Θέτουμε οπότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
Χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner βρίσκουμε ότι
Αλλά για κάθε είναι
οπότε η εξίσωση έχει τη μοναδική θετική λύση και άρα .
Θέτουμε οπότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
Χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner βρίσκουμε ότι
Αλλά για κάθε είναι
οπότε η εξίσωση έχει τη μοναδική θετική λύση και άρα .
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 3¨
Έστω .
Τα τρίγωνα και είναι ίσα
(αφού εύκολα βλέπουμε ότι , και )
κι άρα )
Συνεπώς,
,
οπότε τα τρίγωνα και είναι ίσα,
αφού έχουν ακόμη και
Έστω .
Τα τρίγωνα και είναι ίσα
(αφού εύκολα βλέπουμε ότι , και )
κι άρα )
Συνεπώς,
,
οπότε τα τρίγωνα και είναι ίσα,
αφού έχουν ακόμη και
- Συνημμένα
-
- 3_euclid_a.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 8199 φορές
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 17, 2015 10:53 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1
Πρέπει και
Θέτουμε , οπότε και Η δοσμένη εξίσωση τότε γράφεται ισοδύναμα:
οπότε τελικά η αρχική εξίσωση έχει τις λύσεις
Πρέπει και
Θέτουμε , οπότε και Η δοσμένη εξίσωση τότε γράφεται ισοδύναμα:
οπότε τελικά η αρχική εξίσωση έχει τις λύσεις
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Θέμα 2 Β Λυκείου
Έστω οι αριθμοί. Από τα δεδομένα έχουμε για κάποιο ακέραιο , και για κάποιο ακέραιο .
Αφού άρα δηλαδή οπότε συνεπώς οπότε αρκεί να βρούμε την ελάχιστη τιμή του λαμβάνοντας όμως υπόψιν τη σχέση .
Αφού άρα δηλαδή και άρα τελικά βγάζουμε . Η ελάχιστη τιμή του είναι το άρα η ελάχιστη τιμή του είναι το .
Συνεπώς
Αλεξανδρος
Έστω οι αριθμοί. Από τα δεδομένα έχουμε για κάποιο ακέραιο , και για κάποιο ακέραιο .
Αφού άρα δηλαδή οπότε συνεπώς οπότε αρκεί να βρούμε την ελάχιστη τιμή του λαμβάνοντας όμως υπόψιν τη σχέση .
Αφού άρα δηλαδή και άρα τελικά βγάζουμε . Η ελάχιστη τιμή του είναι το άρα η ελάχιστη τιμή του είναι το .
Συνεπώς
Αλεξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Β' ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4
Υποθέτουμε ότι . Επειδή το τριώνυμο έχει διακεκριμένες ρίζες, θα είναι:
.
Έστω οι ρίζες του τριωνύμου. Από τους τύπους του Vieta έχουμε ότι
και
Λόγω της , τα πιθανά ζεύγη είναι τα ακόλουθα:
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
Επομένως, ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς και δεν είναι ακέραιος.
Υποθέτουμε ότι . Επειδή το τριώνυμο έχει διακεκριμένες ρίζες, θα είναι:
.
Έστω οι ρίζες του τριωνύμου. Από τους τύπους του Vieta έχουμε ότι
και
Λόγω της , τα πιθανά ζεύγη είναι τα ακόλουθα:
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
οπότε που έχει ρίζα το πράγμα άτοπο.
Επομένως, ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς και δεν είναι ακέραιος.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Πρόβλημα 4 (Γ' Γυμνασίου)
Θεωρούμε τρίγωνο με , και υποτείνουσα . Η μεσοκάθετη στο
μέσον της τέμνει τη διχοτόμο (το είναι σημείο της ) στο σημείο και
την ευθεία στο σημείο . Έστω είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος .
1. Nα αποδείξετε ότι: .
2. Θεωρούμε τον κύκλο με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα , ο οποίος δίνεται ότι
περνάει από τα σημεία και . Έστω το χωρίο που έχει πλευρές τις και
το τόξο του κύκλου . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου
συναρτήσει της .
Σημείωση: Το χωρίο είναι στο εσωτερικό του τριγώνου και εξωτερικά του κύκλου .
1. επειδή είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο(*).
2. είναι τα μέσα των πλευρών του ισοπλεύρου , άρα το είναι ρόμβος με πλευρά . Αν από το εμβαδόν του ρόμβου αφαιρέσουμε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα θα βρούμε το ζητούμενο.
(*) Έχω μια ένσταση σ' αυτό το θέμα. Δίνεται στο δεύτερο ερώτημα ότι το είναι σημείο του κύκλου με διάμετρο . Αν κάποιος μαθητής απαντούσε όπως εγώ, τι θα γινόταν;
Θεωρούμε τρίγωνο με , και υποτείνουσα . Η μεσοκάθετη στο
μέσον της τέμνει τη διχοτόμο (το είναι σημείο της ) στο σημείο και
την ευθεία στο σημείο . Έστω είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος .
1. Nα αποδείξετε ότι: .
2. Θεωρούμε τον κύκλο με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα , ο οποίος δίνεται ότι
περνάει από τα σημεία και . Έστω το χωρίο που έχει πλευρές τις και
το τόξο του κύκλου . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου
συναρτήσει της .
Σημείωση: Το χωρίο είναι στο εσωτερικό του τριγώνου και εξωτερικά του κύκλου .
1. επειδή είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο(*).
2. είναι τα μέσα των πλευρών του ισοπλεύρου , άρα το είναι ρόμβος με πλευρά . Αν από το εμβαδόν του ρόμβου αφαιρέσουμε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα θα βρούμε το ζητούμενο.
(*) Έχω μια ένσταση σ' αυτό το θέμα. Δίνεται στο δεύτερο ερώτημα ότι το είναι σημείο του κύκλου με διάμετρο . Αν κάποιος μαθητής απαντούσε όπως εγώ, τι θα γινόταν;
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Ιαν 21, 2015 9:22 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Α λυκείου -ΘΕΜΑ 4
Έστω .
Παίρνοντας modulo 9 τη διαφορά της
(1)
από τη σχέση
(2)
παίρνουμε (2)- (1):
κι άρα είναι ,
όποτε οι δυνατές τιμές του είναι 2, 11, 20, 29.
Η περίπτωση απορρίπτεται εύκολα διότι δίνει 3ψήφιο.
Με απλούς υπολογισμούς, βάζοντας στις (1) και (2), βλέπουμε μόνο στην περίπτωση όπου
παίρνουμε αριθμούς της δοθείσας μορφής:
και
Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 6554.
Φιλικα,
Αχιλλέας
Έστω .
Παίρνοντας modulo 9 τη διαφορά της
(1)
από τη σχέση
(2)
παίρνουμε (2)- (1):
κι άρα είναι ,
όποτε οι δυνατές τιμές του είναι 2, 11, 20, 29.
Η περίπτωση απορρίπτεται εύκολα διότι δίνει 3ψήφιο.
Με απλούς υπολογισμούς, βάζοντας στις (1) και (2), βλέπουμε μόνο στην περίπτωση όπου
παίρνουμε αριθμούς της δοθείσας μορφής:
και
Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 6554.
Φιλικα,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 17, 2015 1:18 pm, έχει επεξεργασθεί 7 φορές συνολικά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Γ' Λυκείου - Πρόβλημα 3
Έχουμε οπότε ο αριθμός είναι άθροισμα το πολύ τετραγώνων διαφορετικών ακεραίων.
Επειδή και επειδή , τότε έχουμε
όπου το έχει 28 στοιχεία.
Άρα το γράφεται ως άθροισμα τετραγώνων διαφορετικών ακεραίων, αλλά όχι περισσότερων.
Όπως σωστά έχει επισημανθεί το πιο πάνω είναι λάθος αφού το 19 δεν περιέχεται στο αρχικό σύνολο
Σαν άθροισμα με 27 στοιχεία μπορούμε να γράψουμε
όπου .
Σαν άθροισμα με 28 στοιχεία νομίζω πως δεν γίνεται αλλά ο μόνος τρόπος που έχω είναι μια κάπως μακροσκελής ανάλυση περιπτώσεων. Θα δω αν μπορώ να την συντομέψω πριν να γράψω κάτι επιπλέον.
Εν τέλει γίνεται και με 28 στοιχεία. Δείτε π.χ. την ανάρτηση του Σιλουανού πιο κάτω. Ας πρόσεχα περισσότερο όταν έκανα την ανάλυση περιπτώσεων.
Έχουμε οπότε ο αριθμός είναι άθροισμα το πολύ τετραγώνων διαφορετικών ακεραίων.
Επειδή και επειδή , τότε έχουμε
όπου το έχει 28 στοιχεία.
Άρα το γράφεται ως άθροισμα τετραγώνων διαφορετικών ακεραίων, αλλά όχι περισσότερων.
Όπως σωστά έχει επισημανθεί το πιο πάνω είναι λάθος αφού το 19 δεν περιέχεται στο αρχικό σύνολο
Σαν άθροισμα με 27 στοιχεία μπορούμε να γράψουμε
όπου .
Σαν άθροισμα με 28 στοιχεία νομίζω πως δεν γίνεται αλλά ο μόνος τρόπος που έχω είναι μια κάπως μακροσκελής ανάλυση περιπτώσεων. Θα δω αν μπορώ να την συντομέψω πριν να γράψω κάτι επιπλέον.
Εν τέλει γίνεται και με 28 στοιχεία. Δείτε π.χ. την ανάρτηση του Σιλουανού πιο κάτω. Ας πρόσεχα περισσότερο όταν έκανα την ανάλυση περιπτώσεων.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Δευ Ιαν 19, 2015 9:12 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Β’ Λυκείου – Πρόβλημα 3
Το είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα και .
Ισχύει εγγράψιμο, συνεπώς .
Ισχύει εγγράψιμο, συνεπώς .
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Κώστας Παππέλης
- Δημοσιεύσεις: 261
- Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Γ' Λυκείου Γεωμετρία συνοπτικά:
Κατ΄ αρχάς εύκολα . Αν τώρα οι , τέμνονται στο τότε παρατηρούμε ότι αυτό είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου (αφού κάθετη στην και κάθετη στην )
Έστω ότι η τέμνει την στο . Λόγω του ορθοκέντρου, το ανήκει στον κύκλο με κέντρο το . Μένει να αποδείξουμε ότι ανήκει και τον περιγεγραμμένο του . Αρκεί νδο ή ισοδύναμα ότι . Το οποίο είναι αληθές λόγω της βασικής ιδιότητας του ορθικού τριγώνου να διχοτομούνται οι κορυφές του από τα ύψη.
Κατ΄ αρχάς εύκολα . Αν τώρα οι , τέμνονται στο τότε παρατηρούμε ότι αυτό είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου (αφού κάθετη στην και κάθετη στην )
Έστω ότι η τέμνει την στο . Λόγω του ορθοκέντρου, το ανήκει στον κύκλο με κέντρο το . Μένει να αποδείξουμε ότι ανήκει και τον περιγεγραμμένο του . Αρκεί νδο ή ισοδύναμα ότι . Το οποίο είναι αληθές λόγω της βασικής ιδιότητας του ορθικού τριγώνου να διχοτομούνται οι κορυφές του από τα ύψη.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Πρόβλημα 2 (Γ' Γυμνασίου)
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε και
(α) Να αποδείξετε ότι:
(β) Να βρείτε την τιμή του λόγου
(α)
Σημείωση: Όλες οι απλοποιήσεις έγιναν με βάση τον περιορισμό της υπόθεσης.
(β)
Θέτω . Η εξίσωση έχει λύσεις . Η λύση , απορρίπτεται γιατί τότε , που αντίκειται στην υπόθεση. Άρα
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε και
(α) Να αποδείξετε ότι:
(β) Να βρείτε την τιμή του λόγου
(α)
Σημείωση: Όλες οι απλοποιήσεις έγιναν με βάση τον περιορισμό της υπόθεσης.
(β)
Θέτω . Η εξίσωση έχει λύσεις . Η λύση , απορρίπτεται γιατί τότε , που αντίκειται στην υπόθεση. Άρα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 (Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ)
Έστω τότε:
(1) και
(2)
Από (1)-(2) όμως
τότε:
επομένως ή
αν τότε οπότε
αντικαθιστόντας στην οπότε
οπότε ο αριθμός είναι 654
αν άτοπο
Έστω τότε:
(1) και
(2)
Από (1)-(2) όμως
τότε:
επομένως ή
αν τότε οπότε
αντικαθιστόντας στην οπότε
οπότε ο αριθμός είναι 654
αν άτοπο
Γ. Μανεάδης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Οι λύσεις
- Συνημμένα
-
- Λύσεις Ευκλείδης 2015.pdf
- (439.6 KiB) Μεταφορτώθηκε 1188 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 277
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 14, 2011 11:44 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
θεωρω απαραδεκτο να εχει λαθος η ασκηση στη β γυμνασιου και να δωθει η διευκρινιση μετα απο το περας μιαμιση ωρας.....τα παιδια κολισαν και φαγαν μια ωρα στο θεμα δευτερο και αγχωθηκαν χωρις λογο...
-
- Δημοσιεύσεις: 412
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Ας δώσω κι εγώ μια διαφορετική λύση στο 2ο της Γ' Λυκείου:
Θέτω και αρκεί να δείξω ότι έχει μοναδική λύση το
Θέτω την παραπάνω συνάρτηση και παίρνω .
Όμως και άρα η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο . Συνεπώς η τιμή που είναι λύση είναι και η μοναδική.
Κατά τ' άλλα όμορφα σχετικά τα θέματα, καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που συμμετέχουν!
Νίκος
Θέτω και αρκεί να δείξω ότι έχει μοναδική λύση το
Θέτω την παραπάνω συνάρτηση και παίρνω .
Όμως και άρα η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο . Συνεπώς η τιμή που είναι λύση είναι και η μοναδική.
Κατά τ' άλλα όμορφα σχετικά τα θέματα, καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που συμμετέχουν!
Νίκος
τελευταία επεξεργασία από nickthegreek σε Σάβ Ιαν 17, 2015 1:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Νίκος Αθανασίου
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 26 επισκέπτες