ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1186
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Ιαν 17, 2015 10:53 pm

Η λύση της επιτροπής για τη θεωρία αριθμών!
Συνημμένα
Ας υποθέσουμε ότι ο μεγαλύτερος τέτοιος.pdf
(127.1 KiB) Μεταφορτώθηκε 463 φορές


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3858
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Ιαν 17, 2015 11:03 pm

smar έγραψε:Η λύση της επιτροπής για τη θεωρία αριθμών!
Σιλουανέ ευχαριστούμε! Όμορφο αποτέλεσμα παρά τη δυσκολία του... ;)


Αλέξανδρος Συγκελάκης
GiannisPaokara
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2015 1:28 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GiannisPaokara » Κυρ Ιαν 18, 2015 1:33 pm

Σήμερα έκανα εγγραφή στο mathematica και θα ήθελα να ξέρω αν έχω πιθανότητες να προκριθώ στην 3η φάση με 14-16 στην Β λυκείου. Γνωρίζει κανείς που θα κυμανθούν οι βάσεις;
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Φεβ 14, 2015 4:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Τονισμός κειμένου!


Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Κυρ Ιαν 18, 2015 5:08 pm

kostas232 έγραψε:Συμμετείχα φέτος στον Ευκλείδη της Α' Λυκείου. Πολύ ενδιαφέροντα θέματα. Τα έλυσα όλα εκτός από το τέταρτο(σε αυτό έβγαλα μονάχα μία "ταπεινή" ισότητα). Θα δώσω εδώ τη δική μου "περιπετειώδη" λύση του β) ερωτήματος του πρώτου προβλήματος, απλά και μόνο ως μία παραλλαγή.
Σκέφτομαι ως εξής: Έστω ότι ο Εικόνα είναι τέλειο τετράγωνο. Τότε θα ήταν
Εικόνα
δηλαδή Εικόνα
Δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το Εικόνα και η διακρίνουσα είναι
Εικόνα
οπότε έχουμε ακέραιες λύσεις εάν Εικόνα και
Εικόνα
δηλαδή Εικόνα
Από εκεί έβγαλα τις περιπτώσεις
Α) \displaystyle{\begin{cases}2d-c=1\\2d+c=3.\end{cases}},οπότε Εικόνα άτοπο γιατί βγάζει Εικόνα και είναι Εικόνα και
Β) \displaystyle{\begin{cases}2d-c=-1\\2d+c=-3\end{cases}}, οπότε Εικόνα, πάλι άτοπο για τον ίδιο λόγο.
Συμπεραίνω έτσι ότι δεν είναι δυνατόν ο Εικόνα να είναι τέλειο τετράγωνο.
Καλησπέρα Κώστα.

n^2+n+1=m^2 Εφόσον το n είναι θετικός τότε m>n , m>1

(m-n)(n+m)=n+1

Εδώ στο αριστερό μέλος της εξίσωσης έχουμε τον πρώτο παράγοντα θετικό και τον δεύτερο παράγοντα ίσο με m+n>n+1

Συνεπώς δεν έχει λύσεις.


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
lefteris_tr
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2015 9:01 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefteris_tr » Κυρ Ιαν 18, 2015 9:07 pm

Στο θέμα 3 της Γ λυκείου βρήκα \displaystyle{k=26}
Έβαλα τους αριθμούς: \displaystyle{-16, -13, -12, -11 ,-10, -9, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 16}
Μπορώ να ξέρω τι έχω κάνει λάθος γιατί είδα σε μια λύση ότι \displaystyle{k=17.}
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Φεβ 14, 2015 4:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Τονισμός κειμένου και \LaTeX


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5269
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Ιαν 18, 2015 9:40 pm

Προς τους διαγωνιζόμενους :

Παιδιά, καλά αποτελέσματα σε όλους σας !

Ξέρω ότι η αγωνία σας είναι μεγάλη, αλλά πρέπει να περιμένουμε λιγάκι μέχρι να διορθωθούν τα γραπτά. Σήμερα διόρθωσα τα γραπτά του Λυκείου για την Εύβοια(περιοχή Χαλκίδας) και δεν σας κρύβω ότι είναι πολύ κοπιαστική και υπεύθυνη δουλειά, πολύ πιο δύσκολη από την διόρθωση των γραπτών στις Πανελλήνιες. Πρέπει να διορθωθεί ακόμα το Γυμνάσιο και αυτό σε όλη τη χώρα. Αυτό θα πάρει κανα δυο βδομάδες τουλάχιστον.

Αποτελέσματα λογικά θα βγουν κατά τις 5-10 Φεβρουαρίου, αρχές Φεβρουαρίου το νωρίτερο. Μακάρι να τα έχουμε και νωρίτερα.

Επίσης, δεν έχει νόημα να ρωτάμε συνέχεια που θα πάνε οι βάσεις. Αυτό εξαρτάται πάντα από την επίδοση σε Πανελλήνια κλίμαα.

Υπομονή λοιπόν και ...συνεχίστε τη μελέτη ! Των φρονίμων τα παιδιά ..!

Μπάμπης


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1186
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Δευ Ιαν 19, 2015 1:02 am

lefteris_tr έγραψε:Στο θεμα 3 της Γ λυκειου βρηκα k=26
Εβαλα τους αριθμους: -16, -13, -12, -11 ,-10, -9, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 16
Μπορω να ξερω τι εχω κανει λαθος γιατι ειδα σε μια λυση οτι k=17
Η απάντηση είναι 28 και η λύση έχει τοποθετηθεί στην αρχή της σελίδας.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5288
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Ιαν 19, 2015 11:53 am

Καταρχάς θα ήθελα να δώσω τα εύσημα στους συμμετέχοντες στον διαγωνισμό αυτό, που είναι διαγωνισμός αιχμής, αφού και μόνο η συμμετοχή τους αποτελεί μία απάντηση στην πρόκληση των καιρών. Θα ήθελα να εκφράσω τα θερμά ειλικρινή συγχαρητήρια μου, τον θαυμασμό μου και να ευχηθώ καλή συνέχεια στους επιτυχόντες.

Κατά την προσωπική μου άποψη, τα θέματα του φετινού Ευκλείδη ήταν θέματα καλά, κλασικά του είδους και χωρίς κάτι το ιδιαίτερο για τον ενημερωμένο Μαθητή ή διδάσκοντα. Επιτρέψτε μου να αναφερθώ στην σκέψη αλλά και την λύση για δύο από τα θέματα της Γ’ Λυκείου.

Για το πρόβλημα 2, η στοιχειώδης σκέψη είναι να δημιουργηθεί αποκλειστική ισότητα της μορφής {a^n} - {b^n} = 0,\; ή της μορφής \root n \of a  - \root n \of a  = 0,\; ώστε να καταλήξουμε στην ζητούμενη ισότητα a=b καθότι οι a,b είναι θετικοί. Συνεπώς θα μπορούσαμε να έχουμε και την λύση: \displaystyle{\frac{a}{{a + b}} + \root 3 \of {\frac{b}{a}}  = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{{a + b}} - \frac{1}{2} = \frac{{\root 3 \of a  - \root 3 \of b }}{{\root 3 \of b }} \Leftrightarrow 
} \left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)\left( {\root 3 \of {{a^2}}  + \root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}} } \right)\root 3 \of a  = 2\left( {a + b} \right)\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right). Από την τελευταία αυτή σχέση προκύπτει ότι \root 3 \of a  = \root 3 \of b  \Rightarrow a = b ή \root 3 \of {\alpha \beta } \left( {\root 3 \of a  + \root 3 \of \beta  } \right) = \alpha  + 2\beta  = \left( {\root 3 \of a  + \root 3 \of \beta  } \right)\right)\left( {\root 3 \of {{a^2}}  - \root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}} } \right) +b\Rightarrow 0 = \left( {\root 3 \of a  + \root 3 \of b } \right){\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2} + b, που είναι άτοπο.

Για τη Γεωμετρία τώρα, η ίδια η εκφώνηση του θέματος οδηγεί στην λύση. Πράγματι μετά από το "πλούσιο" κατασκευαστικό οδοιπορικό στην εκφώνηση, οδηγούμαστε άμεσα στον προσδιορισμό του ορθοκέντρου H του τριγώνου ADN αφού δίνεται ευκρινώς ότι τα DE,NM είναι ύψη του. Ο κύκλος λοιπόν c τέμνει την πλευρά DN στο ίχνος T του τρίτου ύψους AT αφού η πλευρά AD είναι εκ κατασκευής και στην υπόθεση εντός της εκφώνησης διάμετρος του. Ο λύτης λοιπόν έχει σαν μοναδική του στόχευση να αποδείξει ότι το τετράπλευρο KTEM είναι εγγράψιμμο, οπότε αναφέρει απλά ότι το σημείο Z ταυτίζεται με το T. Η εγγραψιμμότητα του KTEM γίνεται στοιχειωδώς με απλό υπολογισμό (ή για όποιον γνωρίζει ευρύτερη θεωρία χωρίς καμιά πράξη αλλά με απλή αναφορά στον κύκλο του Euler, όπως δηλαδή έκανε ευφυώς στη παρέμβαση του ο Nick1990).


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Δευ Ιαν 19, 2015 9:22 pm

Αρχιμήδης 6 έγραψε:
kostas232 έγραψε:Συμμετείχα φέτος στον Ευκλείδη της Α' Λυκείου. Πολύ ενδιαφέροντα θέματα. Τα έλυσα όλα εκτός από το τέταρτο(σε αυτό έβγαλα μονάχα μία "ταπεινή" ισότητα). Θα δώσω εδώ τη δική μου "περιπετειώδη" λύση του β) ερωτήματος του πρώτου προβλήματος, απλά και μόνο ως μία παραλλαγή.
Σκέφτομαι ως εξής: Έστω ότι ο Εικόνα είναι τέλειο τετράγωνο. Τότε θα ήταν
Εικόνα
δηλαδή Εικόνα
Δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το Εικόνα και η διακρίνουσα είναι
Εικόνα
οπότε έχουμε ακέραιες λύσεις εάν Εικόνα και
Εικόνα
δηλαδή Εικόνα
Από εκεί έβγαλα τις περιπτώσεις
Α) \displaystyle{\begin{cases}2d-c=1\\2d+c=3.\end{cases}},οπότε Εικόνα άτοπο γιατί βγάζει Εικόνα και είναι Εικόνα και
Β) \displaystyle{\begin{cases}2d-c=-1\\2d+c=-3\end{cases}}, οπότε Εικόνα, πάλι άτοπο για τον ίδιο λόγο.
Συμπεραίνω έτσι ότι δεν είναι δυνατόν ο Εικόνα να είναι τέλειο τετράγωνο.
Καλησπέρα Κώστα.

n^2+n+1=m^2 Εφόσον το n είναι θετικός τότε m>n , m>1

(m-n)(n+m)=n+1

Εδώ στο αριστερό μέλος της εξίσωσης έχουμε τον πρώτο παράγοντα θετικό και τον δεύτερο παράγοντα ίσο με m+n>n+1

Συνεπώς δεν έχει λύσεις.
Χαρά μου να βλέπω εναλλακτικές λύσες που αποφευγουν την φλυαρία και μόνο να βελτιώσουν τη σκέψη μας μπορούν


Carpe Diem
STEVE
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Τρί Οκτ 29, 2013 2:28 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STEVE » Τρί Ιαν 20, 2015 12:13 pm

Εχουμε το Σχέδιο Βαθμολόγησης Ευκλείδη 2015 ?


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1365
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#51

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τρί Ιαν 20, 2015 10:18 pm

Για το 3ο θέμα της Γ Γυμνασίου.
Όπως το λύσαμε στον Όμιλο Μαθηματικών του Π.Π.Σ.Π.Θ. την Δευτέρα 19/1/2015 το απόγευμα.

Η πρώτη εξίσωση που προκύπτει από τα δεδομένα είναι η: 100x+10y+z=43(x+y+z)+9, (1)
και η δεύτερη είναι η: 100z+10y+x=30(x+y+z)+6, (2).
Η ευφυής παρατήρηση που απλοποιεί το πρόβλημα αφορά την εξίσωση (2).

Από το αριστερό μέλος προκύπτει ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 100z+10y+x είναι το x, αφού το υπόλοιπο μέρος είναι πολλαπλάσιο του 10.
Από το δεξί μέλος προκύπτει ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 30(x+y+z)+6 είναι το 6, αφού το υπόλοιπο μέρος είναι πολλαπλάσιο του 10.
Άρα, x=6.
Οπότε οι εξισώσεις (1) και (2) ξαναγράφονται ως 600+10y+z=43(6+y+z)+9, (3)
και 100z+10y+6=30(6+y+z)+6, (4).
Η επίλυση του γραμμικού συστήματος 2x2 των (3) και (4) με αγνώστους y, z μας δίνει τη λύση y = 5, z = 4.

Ανδρέας Πούλος


H.V.
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Σεπ 27, 2013 11:43 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#52

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από H.V. » Τρί Ιαν 20, 2015 11:52 pm

Ψάχνω εικονίδιο που να βγάζει το καπέλο!
Άλλη μια παρατήρηση που προκύπτει από την εξίσωση (2) είναι ότι zyx πολλαπλάσιο του 3, άρα x+y+z (άθροισμα ψηφίων) θα είναι πολλαπλάσιο του 3.


StLain7
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2015 4:11 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#53

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από StLain7 » Σάβ Ιαν 31, 2015 11:14 am

Ξέρετε πότε θα βγουν τα αποτελέσματα; (Μήπως έχουμε και σχέδιο βαθμολόγησης του Ευκλείδη 2015) :?:
τελευταία επεξεργασία από matha σε Παρ Φεβ 06, 2015 9:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Τονισμός κειμένου!


jason.prod
Δημοσιεύσεις: 129
Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#54

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jason.prod » Παρ Φεβ 06, 2015 9:47 pm

Η βάση φέτος πού περίπου θα κυμανθεί;
Κυρίως ρωτάω για Β' και Γ' Γυμνασίου


Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
MathExplorer
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Φεβ 06, 2015 10:47 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#55

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathExplorer » Παρ Φεβ 06, 2015 10:53 pm

Κατά κανόνα με 2.5 θέματα σωστά περνας (στο Λύκειο). Στο Γυμνάσιο περνάς σιγουρα αν έχεις 3 θέματα σωστά, μπορει και 2.5.


vivikas
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τετ Ιαν 22, 2014 12:43 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#56

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vivikas » Τετ Φεβ 11, 2015 10:27 am

Ξέρετε πότε θα βγουν τα αποτελέσματα;


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5269
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#57

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Φεβ 12, 2015 12:46 am

vivikas έγραψε:Ξέρετε πότε θα βγουν τα αποτελέσματα;
Το πιο πιθανό μέσα στην άλλη βδομάδα .Λείπουν διορθώσεις, αλλά η διαδικασία άρχισε.

Μπ


Σταύρος Σταυρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 532
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:46 pm
Τοποθεσία: Κόρινθος

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#58

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταύρος Σταυρόπουλος » Παρ Φεβ 13, 2015 9:55 pm

Βγήκαν τα αποτελέσματα του Ευκλείδη: http://www.hms.gr/node/920


Σ τ α ύ ρ ο ς Σ τ α υ ρ ό π ο υ λ ο ς
GiannisPaokara
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2015 1:28 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#59

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GiannisPaokara » Παρ Φεβ 13, 2015 10:19 pm

Ξέρει κανείς πόσο ήταν η βάση; Κυρίως για λύκειο (β και γ λυκείου)
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Φεβ 14, 2015 4:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Τονισμός κειμένου!


MathExplorer
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Φεβ 06, 2015 10:47 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#60

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathExplorer » Σάβ Φεβ 14, 2015 12:03 am

Συγχαρητήρια σε όλους τους διαγωνιζόμενους και κυρίως στους επιτυχόντες! Καλή επιτυχία στον Αρχιμήδη! :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, Τσιαλας Νικολαος και 8 επισκέπτες