ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Κώστας Παππέλης
Δημοσιεύσεις: 261
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Παππέλης » Σάβ Ιαν 17, 2015 1:19 pm

Μόνο εγώ βλέπω πως υπάρχει πρόβλημα στη λύση στο 3το θέμα της Γ Λυκείου??

Εάν έχουμε δύο ακεραίους με ίδια απόλυτη τιμή η πρώτη ανισότητα δεν ισχύει!!!


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8050
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 17, 2015 1:32 pm

Κώστα έχεις δίκιο. Στην λύση που έκανα πιο πάνω, το έλαβα υπόψη. Μάλλον η επιτροπή αντί «τετραγώνων διαφορετικών ακεραίων» σκεφτόταν «τετραγώνων διαφορετικών φυσικών».


simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Σάβ Ιαν 17, 2015 1:42 pm

Kαλημέρα :logo: !Κατά τη γνώμη μου τα θέματα της Α΄ήταν πολύ καλά όχι μόνο γιατί ήταν πρωτότυπα και της πρέπουσας δυσκολίας αλλά και επειδή υπήρχε αναβάθμιση της θεωρίας αριθμών με 1+1/2 θέματα σε πείσμα της γενικότερης υποβάθμισης της στα σχολεία.


Σημαντήρης Γιάννης
Άβαταρ μέλους
Κώστας Παππέλης
Δημοσιεύσεις: 261
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Παππέλης » Σάβ Ιαν 17, 2015 1:45 pm

Δημήτρη τώρα την είδα τη λύση με συγχωρείς. Προφανώς έχεις δίκιο και πρέπει να αντικατασταθεί η λύση στις επίσημες με τη δική σου!


gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1032
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Σάβ Ιαν 17, 2015 1:56 pm

Καλησπέρα.Καλά αποτελέσματα σε όσους συμμετείχαν.Συγχαρητήρια στην επιτροπή για τα θέματα.Στη Β' Λυκείου όπου έδωσα,τα θέματα ήταν όπως θα έπρεπε ως προς το βαθμό δυσκολίας.Η διαβάθμιση ήταν ωστόσο λίγο ατυχής.Το 2ο θέμα υποθέτω πως θα δυσκόλεψε αρκετά όσους δεν έχουν ασχοληθεί παραπάνω με διαγωνισμούς(κατά τα άλλα ήταν πολύ ωραίο).Προσωπικά,θα ήθελα μια δυσκολότερη γεωμετρία.Καλά αποτελέσματα και πάλι!


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2602
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 17, 2015 2:00 pm

Οι περιπτώσεις στο Θέμα 4 της Α λυκείου της επίσημης λύσης μπορούν να αποφευχθούν αν παρατηρήσει κανείς ότι ουσιαστικά η (3) δίνει

x-w=2\, + πολ/σιο του 10.

κι άρα αναγκαστικά θα είναι x-w=2, αφού x-w\in \{1,2,3\}.

Φιλικά,

Αχιλλέας


simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Σάβ Ιαν 17, 2015 2:05 pm

Ας δούμε και μια άλλη λύση για το 4ο της Α΄λυκείου:
Αφαιρώντας τις 2 σχέσεις που προκύπτουν παίρνουμε 100(x+y+z+w)-2=999x+90y-90z-999w\Rightarrow x-w\equiv 2(mod10)\Rightarrow x=w+2\Rightarrow w\leq 7 αφού x-w<10.
Η εξίσωση γίνεται
999(x-w)+90(y-z)=100(x+w+y+z)-2\Rightarrow 200+9(y-z)=10(y+z+2w+2)\Rightarrow 10\mid 9(y-z)\Rightarrow y\equiv z(mod10)\Rightarrow y=z πάλι αφού y-z<10.
Tέλος η σχέση γίνεται 2y+2w+2=20\Rightarrow y+w=9
Παίρνοντας τώρα 7 τιμές για το w βρίσκουμε ότι ο μόνος αριθμός που επαληθεύει τις αρχικές σχέσεις είναι ο 6554


Σημαντήρης Γιάννης
ΛΕΩΝΙΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 91
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 04, 2010 12:21 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΩΝΙΔΑΣ » Σάβ Ιαν 17, 2015 2:14 pm

Καλησπέρα, έδινα στην Γ' Λυκειου. Απλά να παρατηρήσω οτι και εγώ αλλά και δύο κορυφαίοι Μαθηματικοί στο εξεταστικό κέντρο που έδινα, κάναμε ακριβώς το ίδιο λάθος με τις επίσημες λύσεις στο 3ο. Ωστόσο υπήρχε μαθήτρια που το έλυσε σωστά ( ή τουλάχιστον παρατήρησε οτι μπορεί να ειναι και αρνητικοί γιατί νομίζω βρήκε 27).


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2602
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 17, 2015 2:17 pm

Ακόμα μια για το 4ο της Α λυκείου

Αντιγράφω από εδώ

Έστω s=x+y+z+w.

Είναι

1000w+100z+10y+x=227s+16 (1)

και

1000x+100y+10z+w=327s+14 (2)

οπότε με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε

1001(x+w)+110(y+z)=554s+30=554(x+y+z+w)+30

κι άρα

\boxed{447(x+w)-444(y+z)=30} (*)

Εργαζόμενοι modulo 444 ( ή απλώς, modulo 37, αφού το 37 διαιρεί τον 444), παίρνουμε

3(x+w)\equiv 30 \pmod{444} κι άρα x+w=10,

ενώ modulo 445 η (*) δίνει

x+w+s\equiv 30 \pmod{445}, κι άρα x+w+s=30.

Άρα s=20 κι η (1) δίνει τον αριθμό 327\cdot 20+14=6554.

Φιλικά,

Αχιλλέας


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2602
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 17, 2015 2:50 pm

achilleas έγραψε:Ακόμα μια για το 4ο της Α λυκείου

....

\boxed{447(x+w)-444(y+z)=30} (*)

...
Παραλλαγή επίλυσης της παραπάνω:

Διαρώντας με 3 παίρνουμε

149(x+w)-148(y+z)=10

Προφανώς (n,m)=(10,10) είναι μια λύση της 149n-148m=10,

οπότε όλες οι ακέραιες λύσεις είναι της μορφής n=148k+10 και m=149k+10 με k\in \mathbb{Z}.

Οι ελάχιστες θετικές ακέραιες λύσεις είναι προφανώς οι n=m=10 κι άρα x+w=y+z=10, οπότε s=20 κτλ.

Επεξεργασία: (6:55μμ): Η ακόμη πιο απλά είναι

x+w=148(y+z-x-w)+10,

κι αφού 0<x+w<19 αναγκαστικά y+z-x-w=0, οπότε y+z=x+w=10, κι άρα s=20 κτλ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 17, 2015 6:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


manousos
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 10, 2015 8:46 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manousos » Σάβ Ιαν 17, 2015 3:32 pm

Γεια σας,

με χαρά είδα τις λύσεις του Ευκλείδη στο mathematica.gr καθώς έψαχνα στο site της ΕΜΕ άλλα δεν άνοιγε(?)
τέλος πάντων θα ήθελα να ρωτήσω αν μπορεί να μου πει κάνεις εμπειρικά αν ξέρει αν με 2 θέματα στην Α Λυκείου περνάει κανείς στην επόμενη φάση ;
Επίσης μετά από πόσες μέρες περίπου βγαίνουν τα αποτελέσματα ;

ευχαριστώ


Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Σάβ Ιαν 17, 2015 3:34 pm

Συμμετείχα φέτος στον Ευκλείδη της Α' Λυκείου. Πολύ ενδιαφέροντα θέματα. Τα έλυσα όλα εκτός από το τέταρτο(σε αυτό έβγαλα μονάχα μία "ταπεινή" ισότητα). Θα δώσω εδώ τη δική μου "περιπετειώδη" λύση του β) ερωτήματος του πρώτου προβλήματος, απλά και μόνο ως μία παραλλαγή.
Σκέφτομαι ως εξής: Έστω ότι ο Εικόνα είναι τέλειο τετράγωνο. Τότε θα ήταν
Εικόνα
δηλαδή Εικόνα
Δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το Εικόνα και η διακρίνουσα είναι
Εικόνα
οπότε έχουμε ακέραιες λύσεις εάν Εικόνα και
Εικόνα
δηλαδή Εικόνα
Από εκεί έβγαλα τις περιπτώσεις
Α) \displaystyle{\begin{cases}2d-c=1\\2d+c=3.\end{cases}},οπότε Εικόνα άτοπο γιατί βγάζει Εικόνα και είναι Εικόνα και
Β) \displaystyle{\begin{cases}2d-c=-1\\2d+c=-3\end{cases}}, οπότε Εικόνα, πάλι άτοπο για τον ίδιο λόγο.
Συμπεραίνω έτσι ότι δεν είναι δυνατόν ο Εικόνα να είναι τέλειο τετράγωνο.
τελευταία επεξεργασία από kostas232 σε Κυρ Ιαν 18, 2015 10:51 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Carpe Diem
mathsev
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 3:42 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathsev » Σάβ Ιαν 17, 2015 3:45 pm

kserete pote vgainoun ta apotelesmata?


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 648
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Ιαν 17, 2015 3:46 pm

Γ Λυκείου Γεωμετρία:

Έστω ότι οι MN και DE τέμνονται στο S. Έστω ακόμα ότι η AS τέμνει το μεγάλο κύκλο στο T. Αρκεί να δείξω ότι και ο μικρός κύκλος περνάει από το T. Αυτό είναι άμεσο διότι DT \perp AT ενώ ο μικρός κύκλος είναι ο κύκλος των 9 σημείων για το τρίγωνο ADS (\angle{AED} = \angle{SMD} = \frac{\pi}{2}, AK = KD).


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
giwrgosswt
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 3:52 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giwrgosswt » Σάβ Ιαν 17, 2015 4:26 pm

Γεια σας! Σχετικά με το Θέμα 3 της γ λυκείου έχω μια απορία. Έχω την εντύπωση ότι στην προτελευταία σειρά αφαιρείτε το 19 από το σύνολο Α χωρίς αυτό να υπάρχει. Εγώ εργάστηκα παρόμοια με εσάς αλλά μπερδεύτηκα και αφαίρεσα από αυτό το άθροισμα ένα 2 και ένα 3 (12=2^2+3^2 μέσα στο άγχος μου) και τελικά το έβγαλα 27 το κ. Απ' ο,τι φαίνεται περιπλέκεται αρκετά το πράγμα με το ότι είναι ακέραιοι. Παρεμπιπτόντως η εκφώνηση αυτό υποδεικνύει και όχι αυτό που κάνουν οι επίσημες λύσεις.
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Ιαν 17, 2015 8:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Τονισμός κειμένου και διόρθωση \LaTeX.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8050
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 17, 2015 4:28 pm

Γιώργο, ασφαλώς και έχεις δίκιο. Θα επανέλθω.

Επεξεργασία: Έβαλα μια λύση με 27 στοιχεία στην αρχική μου ανάρτηση. Με 28 στοιχεία αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος δεν γίνεται. Η απόδειξή μου όμως είναι μια μακροσκελής ανάλυση περιπτώσεων την οποία δεν έγραψα. Θα δω αργότερα αν υπάρχει κάτι πιο όμορφο. (Τελικά το σωστό είναι με 28 στοιχεία.)
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Δευ Ιαν 19, 2015 9:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6279
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 17, 2015 7:35 pm

Nick1990 έγραψε:Γ Λυκείου Γεωμετρία:

Έστω ότι οι MN και DE τέμνονται στο S. Έστω ακόμα ότι η AS τέμνει το μεγάλο κύκλο στο T. Αρκεί να δείξω ότι και ο μικρός κύκλος περνάει από το T. Αυτό είναι άμεσο διότι DT \perp AT ενώ ο μικρός κύκλος είναι ο κύκλος των 9 σημείων για το τρίγωνο ADS (\angle{AED} = \angle{SMD} = \frac{\pi}{2}, AK = KD).
Ευκλείδης 75_Γ Λυκείου.png
Ευκλείδης 75_Γ Λυκείου.png (24.43 KiB) Προβλήθηκε 3197 φορές
Καταπληκτική λύση: :clap2: :clap2:

Νίκος


ziggs
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 9:07 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ziggs » Σάβ Ιαν 17, 2015 9:18 pm

Καλησπέρα. Έδωσα σήμερα στον ευκλείδη της β γυμνασίου. Θέλω να ρωτήσω αν λύση με ισότητα τριγώνων στο θέμα 4.2 είναι σωστή ή θα θεωρηθεί λάθος αφού δεν είναι στο σχολικό βιβλίο. Διάβασα από 2 ελληνικά βιβλία για ολυμπιάδες (για β και γ γυμνασίου). Ευχαριστώ.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 648
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Ιαν 17, 2015 9:31 pm

Doloros έγραψε:
Nick1990 έγραψε:Γ Λυκείου Γεωμετρία:

Έστω ότι οι MN και DE τέμνονται στο S. Έστω ακόμα ότι η AS τέμνει το μεγάλο κύκλο στο T. Αρκεί να δείξω ότι και ο μικρός κύκλος περνάει από το T. Αυτό είναι άμεσο διότι DT \perp AT ενώ ο μικρός κύκλος είναι ο κύκλος των 9 σημείων για το τρίγωνο ADS (\angle{AED} = \angle{SMD} = \frac{\pi}{2}, AK = KD).
Ευκλείδης 75_Γ Λυκείου.png
Καταπληκτική λύση: :clap2: :clap2:

Νίκος
Σας ευχαριστώ! :)


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Σάβ Ιαν 17, 2015 9:35 pm

Παραλλαγή ως προς το ευκολότερο της λύσης που προτείνει ο kostas232.

Έστω ότι ο αριθμός μας είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού, δηλαδή n^{2}+n+1=k^{2}, (1)
Πρέπει k > n, άρα υπάρχει φυσικός a, ώστε k = n + a.
Η σχέση (1) γράφεται ως εξής n^{2}+n+1=n^{2}+2na+a^{2} \Rightarrow a^{2}+2na -n-1 = 0. (2)
Αν θεωρήσουμε την (2) ως δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο τον a και παράμετρο τον n,
θα έχει ως διακρίνουσα Δ την παράσταση 4n^{2}+4n+4=(2n+1)^{2} +3.
Αυτή όμως δεν είναι τέλειο τετράγωνο,άρα η τετραγωνική της είναι είναι άρρητη ποσότητα.
Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός a δεν είναι φυσικός, αλλά άρρητος, συνεπώς η αρχική μας υπόθεση είναι λανθασμένη.
Βέβαια, πάλι υπάρχει ένα μικρό "κενό" στο ισχυρισμό ότι η (2n+1)^{2} +3 δεν είναι τέλειο τετράγωνο, το οποίο καλύπτεται εύκολα.
(εφαρμόζουμε τον τύπο της παραγοντοποίησης ως διαφορά τετραγώνων και θα πρέπει το γινόμενο να ισούται με 3, κάτι που δεν ισχύει).
Προφανώς, η απλούστερη λύση είναι αυτή που προτάθηκε από την επιτροπή διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε.
Ο σκοπός αυτής της ανάρτησης είναι η επίδειξη μιας άλλης τεχνικής, που βασίζεται στις ιδιότητες του τριωνύμου.

Ανδρέας Πούλος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες