ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Η λύση της επιτροπής για τη θεωρία αριθμών!
- Συνημμένα
-
- Ας υποθέσουμε ότι ο μεγαλύτερος τέτοιος.pdf
- (127.1 KiB) Μεταφορτώθηκε 515 φορές
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Σιλουανέ ευχαριστούμε! Όμορφο αποτέλεσμα παρά τη δυσκολία του...smar έγραψε:Η λύση της επιτροπής για τη θεωρία αριθμών!
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 6
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2015 1:28 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Σήμερα έκανα εγγραφή στο mathematica και θα ήθελα να ξέρω αν έχω πιθανότητες να προκριθώ στην 3η φάση με 14-16 στην Β λυκείου. Γνωρίζει κανείς που θα κυμανθούν οι βάσεις;
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Φεβ 14, 2015 4:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Τονισμός κειμένου!
Λόγος: Τονισμός κειμένου!
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Καλησπέρα Κώστα.kostas232 έγραψε:Συμμετείχα φέτος στον Ευκλείδη της Α' Λυκείου. Πολύ ενδιαφέροντα θέματα. Τα έλυσα όλα εκτός από το τέταρτο(σε αυτό έβγαλα μονάχα μία "ταπεινή" ισότητα). Θα δώσω εδώ τη δική μου "περιπετειώδη" λύση του β) ερωτήματος του πρώτου προβλήματος, απλά και μόνο ως μία παραλλαγή.
Σκέφτομαι ως εξής: Έστω ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο. Τότε θα ήταν
δηλαδή
Δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το και η διακρίνουσα είναι
οπότε έχουμε ακέραιες λύσεις εάν και
δηλαδή
Από εκεί έβγαλα τις περιπτώσεις
Α) ,οπότε άτοπο γιατί βγάζει και είναι και
Β) , οπότε , πάλι άτοπο για τον ίδιο λόγο.
Συμπεραίνω έτσι ότι δεν είναι δυνατόν ο να είναι τέλειο τετράγωνο.
Εφόσον το είναι θετικός τότε ,
Εδώ στο αριστερό μέλος της εξίσωσης έχουμε τον πρώτο παράγοντα θετικό και τον δεύτερο παράγοντα ίσο με
Συνεπώς δεν έχει λύσεις.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Δημοσιεύσεις: 1
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2015 9:01 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Στο θέμα 3 της Γ λυκείου βρήκα
Έβαλα τους αριθμούς:
Μπορώ να ξέρω τι έχω κάνει λάθος γιατί είδα σε μια λύση ότι
Έβαλα τους αριθμούς:
Μπορώ να ξέρω τι έχω κάνει λάθος γιατί είδα σε μια λύση ότι
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Φεβ 14, 2015 4:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Τονισμός κειμένου και \LaTeX
Λόγος: Τονισμός κειμένου και \LaTeX
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Προς τους διαγωνιζόμενους :
Παιδιά, καλά αποτελέσματα σε όλους σας !
Ξέρω ότι η αγωνία σας είναι μεγάλη, αλλά πρέπει να περιμένουμε λιγάκι μέχρι να διορθωθούν τα γραπτά. Σήμερα διόρθωσα τα γραπτά του Λυκείου για την Εύβοια(περιοχή Χαλκίδας) και δεν σας κρύβω ότι είναι πολύ κοπιαστική και υπεύθυνη δουλειά, πολύ πιο δύσκολη από την διόρθωση των γραπτών στις Πανελλήνιες. Πρέπει να διορθωθεί ακόμα το Γυμνάσιο και αυτό σε όλη τη χώρα. Αυτό θα πάρει κανα δυο βδομάδες τουλάχιστον.
Αποτελέσματα λογικά θα βγουν κατά τις 5-10 Φεβρουαρίου, αρχές Φεβρουαρίου το νωρίτερο. Μακάρι να τα έχουμε και νωρίτερα.
Επίσης, δεν έχει νόημα να ρωτάμε συνέχεια που θα πάνε οι βάσεις. Αυτό εξαρτάται πάντα από την επίδοση σε Πανελλήνια κλίμαα.
Υπομονή λοιπόν και ...συνεχίστε τη μελέτη ! Των φρονίμων τα παιδιά ..!
Μπάμπης
Παιδιά, καλά αποτελέσματα σε όλους σας !
Ξέρω ότι η αγωνία σας είναι μεγάλη, αλλά πρέπει να περιμένουμε λιγάκι μέχρι να διορθωθούν τα γραπτά. Σήμερα διόρθωσα τα γραπτά του Λυκείου για την Εύβοια(περιοχή Χαλκίδας) και δεν σας κρύβω ότι είναι πολύ κοπιαστική και υπεύθυνη δουλειά, πολύ πιο δύσκολη από την διόρθωση των γραπτών στις Πανελλήνιες. Πρέπει να διορθωθεί ακόμα το Γυμνάσιο και αυτό σε όλη τη χώρα. Αυτό θα πάρει κανα δυο βδομάδες τουλάχιστον.
Αποτελέσματα λογικά θα βγουν κατά τις 5-10 Φεβρουαρίου, αρχές Φεβρουαρίου το νωρίτερο. Μακάρι να τα έχουμε και νωρίτερα.
Επίσης, δεν έχει νόημα να ρωτάμε συνέχεια που θα πάνε οι βάσεις. Αυτό εξαρτάται πάντα από την επίδοση σε Πανελλήνια κλίμαα.
Υπομονή λοιπόν και ...συνεχίστε τη μελέτη ! Των φρονίμων τα παιδιά ..!
Μπάμπης
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Η απάντηση είναι 28 και η λύση έχει τοποθετηθεί στην αρχή της σελίδας.lefteris_tr έγραψε:Στο θεμα 3 της Γ λυκειου βρηκα k=26
Εβαλα τους αριθμους: -16, -13, -12, -11 ,-10, -9, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 16
Μπορω να ξερω τι εχω κανει λαθος γιατι ειδα σε μια λυση οτι k=17
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Καταρχάς θα ήθελα να δώσω τα εύσημα στους συμμετέχοντες στον διαγωνισμό αυτό, που είναι διαγωνισμός αιχμής, αφού και μόνο η συμμετοχή τους αποτελεί μία απάντηση στην πρόκληση των καιρών. Θα ήθελα να εκφράσω τα θερμά ειλικρινή συγχαρητήρια μου, τον θαυμασμό μου και να ευχηθώ καλή συνέχεια στους επιτυχόντες.
Κατά την προσωπική μου άποψη, τα θέματα του φετινού Ευκλείδη ήταν θέματα καλά, κλασικά του είδους και χωρίς κάτι το ιδιαίτερο για τον ενημερωμένο Μαθητή ή διδάσκοντα. Επιτρέψτε μου να αναφερθώ στην σκέψη αλλά και την λύση για δύο από τα θέματα της Γ’ Λυκείου.
Για το πρόβλημα 2, η στοιχειώδης σκέψη είναι να δημιουργηθεί αποκλειστική ισότητα της μορφής ή της μορφής ώστε να καταλήξουμε στην ζητούμενη ισότητα καθότι οι είναι θετικοί. Συνεπώς θα μπορούσαμε να έχουμε και την λύση: Από την τελευταία αυτή σχέση προκύπτει ότι ή που είναι άτοπο.
Για τη Γεωμετρία τώρα, η ίδια η εκφώνηση του θέματος οδηγεί στην λύση. Πράγματι μετά από το "πλούσιο" κατασκευαστικό οδοιπορικό στην εκφώνηση, οδηγούμαστε άμεσα στον προσδιορισμό του ορθοκέντρου του τριγώνου αφού δίνεται ευκρινώς ότι τα είναι ύψη του. Ο κύκλος λοιπόν τέμνει την πλευρά στο ίχνος του τρίτου ύψους αφού η πλευρά είναι εκ κατασκευής και στην υπόθεση εντός της εκφώνησης διάμετρος του. Ο λύτης λοιπόν έχει σαν μοναδική του στόχευση να αποδείξει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμμο, οπότε αναφέρει απλά ότι το σημείο ταυτίζεται με το . Η εγγραψιμμότητα του γίνεται στοιχειωδώς με απλό υπολογισμό (ή για όποιον γνωρίζει ευρύτερη θεωρία χωρίς καμιά πράξη αλλά με απλή αναφορά στον κύκλο του Euler, όπως δηλαδή έκανε ευφυώς στη παρέμβαση του ο Nick1990).
Κατά την προσωπική μου άποψη, τα θέματα του φετινού Ευκλείδη ήταν θέματα καλά, κλασικά του είδους και χωρίς κάτι το ιδιαίτερο για τον ενημερωμένο Μαθητή ή διδάσκοντα. Επιτρέψτε μου να αναφερθώ στην σκέψη αλλά και την λύση για δύο από τα θέματα της Γ’ Λυκείου.
Για το πρόβλημα 2, η στοιχειώδης σκέψη είναι να δημιουργηθεί αποκλειστική ισότητα της μορφής ή της μορφής ώστε να καταλήξουμε στην ζητούμενη ισότητα καθότι οι είναι θετικοί. Συνεπώς θα μπορούσαμε να έχουμε και την λύση: Από την τελευταία αυτή σχέση προκύπτει ότι ή που είναι άτοπο.
Για τη Γεωμετρία τώρα, η ίδια η εκφώνηση του θέματος οδηγεί στην λύση. Πράγματι μετά από το "πλούσιο" κατασκευαστικό οδοιπορικό στην εκφώνηση, οδηγούμαστε άμεσα στον προσδιορισμό του ορθοκέντρου του τριγώνου αφού δίνεται ευκρινώς ότι τα είναι ύψη του. Ο κύκλος λοιπόν τέμνει την πλευρά στο ίχνος του τρίτου ύψους αφού η πλευρά είναι εκ κατασκευής και στην υπόθεση εντός της εκφώνησης διάμετρος του. Ο λύτης λοιπόν έχει σαν μοναδική του στόχευση να αποδείξει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμμο, οπότε αναφέρει απλά ότι το σημείο ταυτίζεται με το . Η εγγραψιμμότητα του γίνεται στοιχειωδώς με απλό υπολογισμό (ή για όποιον γνωρίζει ευρύτερη θεωρία χωρίς καμιά πράξη αλλά με απλή αναφορά στον κύκλο του Euler, όπως δηλαδή έκανε ευφυώς στη παρέμβαση του ο Nick1990).
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Χαρά μου να βλέπω εναλλακτικές λύσες που αποφευγουν την φλυαρία και μόνο να βελτιώσουν τη σκέψη μας μπορούνΑρχιμήδης 6 έγραψε:Καλησπέρα Κώστα.kostas232 έγραψε:Συμμετείχα φέτος στον Ευκλείδη της Α' Λυκείου. Πολύ ενδιαφέροντα θέματα. Τα έλυσα όλα εκτός από το τέταρτο(σε αυτό έβγαλα μονάχα μία "ταπεινή" ισότητα). Θα δώσω εδώ τη δική μου "περιπετειώδη" λύση του β) ερωτήματος του πρώτου προβλήματος, απλά και μόνο ως μία παραλλαγή.
Σκέφτομαι ως εξής: Έστω ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο. Τότε θα ήταν
δηλαδή
Δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το και η διακρίνουσα είναι
οπότε έχουμε ακέραιες λύσεις εάν και
δηλαδή
Από εκεί έβγαλα τις περιπτώσεις
Α) ,οπότε άτοπο γιατί βγάζει και είναι και
Β) , οπότε , πάλι άτοπο για τον ίδιο λόγο.
Συμπεραίνω έτσι ότι δεν είναι δυνατόν ο να είναι τέλειο τετράγωνο.
Εφόσον το είναι θετικός τότε ,
Εδώ στο αριστερό μέλος της εξίσωσης έχουμε τον πρώτο παράγοντα θετικό και τον δεύτερο παράγοντα ίσο με
Συνεπώς δεν έχει λύσεις.
Carpe Diem
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Για το 3ο θέμα της Γ Γυμνασίου.
Όπως το λύσαμε στον Όμιλο Μαθηματικών του Π.Π.Σ.Π.Θ. την Δευτέρα 19/1/2015 το απόγευμα.
Η πρώτη εξίσωση που προκύπτει από τα δεδομένα είναι η: , (1)
και η δεύτερη είναι η: , (2).
Η ευφυής παρατήρηση που απλοποιεί το πρόβλημα αφορά την εξίσωση (2).
Από το αριστερό μέλος προκύπτει ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το , αφού το υπόλοιπο μέρος είναι πολλαπλάσιο του .
Από το δεξί μέλος προκύπτει ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το 6, αφού το υπόλοιπο μέρος είναι πολλαπλάσιο του 10.
Άρα, .
Οπότε οι εξισώσεις (1) και (2) ξαναγράφονται ως , (3)
και , (4).
Η επίλυση του γραμμικού συστήματος 2x2 των (3) και (4) με αγνώστους , μας δίνει τη λύση , .
Ανδρέας Πούλος
Όπως το λύσαμε στον Όμιλο Μαθηματικών του Π.Π.Σ.Π.Θ. την Δευτέρα 19/1/2015 το απόγευμα.
Η πρώτη εξίσωση που προκύπτει από τα δεδομένα είναι η: , (1)
και η δεύτερη είναι η: , (2).
Η ευφυής παρατήρηση που απλοποιεί το πρόβλημα αφορά την εξίσωση (2).
Από το αριστερό μέλος προκύπτει ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το , αφού το υπόλοιπο μέρος είναι πολλαπλάσιο του .
Από το δεξί μέλος προκύπτει ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το 6, αφού το υπόλοιπο μέρος είναι πολλαπλάσιο του 10.
Άρα, .
Οπότε οι εξισώσεις (1) και (2) ξαναγράφονται ως , (3)
και , (4).
Η επίλυση του γραμμικού συστήματος 2x2 των (3) και (4) με αγνώστους , μας δίνει τη λύση , .
Ανδρέας Πούλος
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Ψάχνω εικονίδιο που να βγάζει το καπέλο!
Άλλη μια παρατήρηση που προκύπτει από την εξίσωση (2) είναι ότι zyx πολλαπλάσιο του 3, άρα x+y+z (άθροισμα ψηφίων) θα είναι πολλαπλάσιο του 3.
Άλλη μια παρατήρηση που προκύπτει από την εξίσωση (2) είναι ότι zyx πολλαπλάσιο του 3, άρα x+y+z (άθροισμα ψηφίων) θα είναι πολλαπλάσιο του 3.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Ξέρετε πότε θα βγουν τα αποτελέσματα; (Μήπως έχουμε και σχέδιο βαθμολόγησης του Ευκλείδη 2015)
τελευταία επεξεργασία από matha σε Παρ Φεβ 06, 2015 9:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Τονισμός κειμένου!
Λόγος: Τονισμός κειμένου!
-
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Η βάση φέτος πού περίπου θα κυμανθεί;
Κυρίως ρωτάω για Β' και Γ' Γυμνασίου
Κυρίως ρωτάω για Β' και Γ' Γυμνασίου
Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
-
- Δημοσιεύσεις: 2
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 06, 2015 10:47 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Κατά κανόνα με 2.5 θέματα σωστά περνας (στο Λύκειο). Στο Γυμνάσιο περνάς σιγουρα αν έχεις 3 θέματα σωστά, μπορει και 2.5.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Το πιο πιθανό μέσα στην άλλη βδομάδα .Λείπουν διορθώσεις, αλλά η διαδικασία άρχισε.vivikas έγραψε:Ξέρετε πότε θα βγουν τα αποτελέσματα;
Μπ
-
- Δημοσιεύσεις: 551
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:46 pm
- Τοποθεσία: Κόρινθος
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Βγήκαν τα αποτελέσματα του Ευκλείδη: http://www.hms.gr/node/920
Σ τ α ύ ρ ο ς Σ τ α υ ρ ό π ο υ λ ο ς
-
- Δημοσιεύσεις: 6
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2015 1:28 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Ξέρει κανείς πόσο ήταν η βάση; Κυρίως για λύκειο (β και γ λυκείου)
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Φεβ 14, 2015 4:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Τονισμός κειμένου!
Λόγος: Τονισμός κειμένου!
-
- Δημοσιεύσεις: 2
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 06, 2015 10:47 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Συγχαρητήρια σε όλους τους διαγωνιζόμενους και κυρίως στους επιτυχόντες! Καλή επιτυχία στον Αρχιμήδη!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 44 επισκέπτες