ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5269
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Ιαν 17, 2015 9:30 am

Τα θέματα !!!

Καλά αποτελέσματα !!!

Μπάμπης
Συνημμένα
Θέματα 2015-Ευκλείδης.pdf
(213.07 KiB) Μεταφορτώθηκε 1449 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Σάβ Ιαν 17, 2015 12:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1379
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Ιαν 17, 2015 9:56 am

Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Έστω n ο αριθμός των μαθημάτων και \displaystyle{0 \le {x_1} < {x_2} <  \cdots  < {x_n} \le 100} οι βαθμοί του υποψήφιου. Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ότι:

\displaystyle{\frac{{{x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n}}}{n} = 50 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n} = 50n} \bf \color{red} \left(1 \right)

\displaystyle{\frac{{{x_2} + {x_3} +  \cdots  + {x_n}}}{{n - 1}} = 56 \Leftrightarrow {x_2} + {x_3} +  \cdots  + {x_n} = 56\left( {n - 1} \right)} \bf \color{red} \left(2 \right)

\displaystyle{\frac{{{x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_{n - 1}}}}{{n - 1}} = 40 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_{n - 1}} = 40\left( {n - 1} \right)} \bf \color{red} \left(3 \right)

\displaystyle{\frac{{{x_2} + {x_3} +  \cdots  + {x_{n - 1}}}}{{n - 2}} = 45 \Leftrightarrow {x_2} + {x_3} +  \cdots  + {x_{n - 1}} = 45\left( {n - 2} \right)} \bf \color{red} \left(4 \right).

Από τις σχέσεις \bf \color{red} \left(1 \right), \bf \color{red} \left(2 \right), \bf \color{red} \left(3 \right) και \bf \color{red} \left(4 \right) προκύπτει το σύστημα:

\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{50n - {x_1} = 56\left( {n - 1} \right)}\\ 
{50n - {x_n} = 40\left( {n - 1} \right)}\\ 
{50n - {x_1} - {x_n} = 45\left( {n - 2} \right)} 
\end{array}} \right\}}

από τη λύση του οποίου εύκολα προκύπτει ότι \displaystyle{n = 6,} \displaystyle{{{x_1} = 20}} και \displaystyle{{{x_n} = 100}}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2593
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 17, 2015 10:04 am

Α λυκείου -ΘΕΜΑ 2

Έστω n ο αριθμός των μαθημάτων και \displaystyle{0 \le {x_1} < {x_2} <  \cdots  < {x_n} \le 100} οι βαθμοί του υποψήφιου. Είναι

x_1+x_2+\cdots +x_{n}=40n

x_2+\cdots +x_{n}=46(n-1)

x_1+\cdots +x_{n-1}=28(n-1)

x_2+x_3+\cdots +x_{n-1}=32(n-2)

Συνεπώς,

\displaystyle{46(n-1)+28(n-1)=(x_1+x_2+\cdots +x_{n})+(x_2+x_3+\cdots +x_{n-1})=40n+32(n-2)},

απ'οπου παίρνουμε n=5.

x_1=28(n-1)-32(n-2)=4(9-n)=16 και x_n=46(n-1)-32(n-2)=14n+18=88


Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 17, 2015 1:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6147
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 17, 2015 10:35 am

Πρόβλημα 3
Ευκλείδης_75_Α_λυκείου.png
Ευκλείδης_75_Α_λυκείου.png (23.24 KiB) Προβλήθηκε 6007 φορές
Επειδή \Delta {\rm A} = \Delta {\rm Z}\,\,\,(1) ( η \Delta {\rm E} μεσοκάθετος στο {\rm A}{\rm Z} ) και \Delta {\rm A} = {\rm B}\Gamma , το τετράπλευρο {\rm B}{\rm Z}\Delta \Gamma ισοσκελές τραπέζιο .

Έτσι \widehat \theta  = \widehat \Gamma  = \widehat \phi  = \widehat \omega συνεπώς \boxed{\widehat x = \widehat y} ( παραπληρώματα ίσων γωνιών)

Τα τρίγωνα {\rm A}\Lambda \Delta \,\,\,\kappa \alpha \iota \;\,\,{\rm Z}{\rm K}\Delta είναι ίσα γιατί έχουν

1. \Delta {\rm A} = \Delta {\rm Z} ( Λόγω της (1) )

2. {\rm A}\Lambda  = {\rm A}{\rm B} = \Delta {\rm B} = \Gamma {\rm Z} = {\rm Z}{\rm K} ( {\rm B}\Delta  = {\rm Z}\Gamma ως διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου)

3. \widehat x = \widehat y

Άρα είναι ίσα και θα έχουν : \Delta {\rm K} = \Delta \Lambda .
Ευκλείδης_75_Β_λυκείου.png
Ευκλείδης_75_Β_λυκείου.png (24.7 KiB) Προβλήθηκε 5872 φορές
Στην ειδική περίπτωση (πρόβλημα 3 Β λυκείου) που η γωνία \boxed{{\rm A} = {{75}^0}}

Πάλι το τρίγωνο DKL είναι ισοσκελές και τα τρίγωνα DKL\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DAZ είναι όμοια συνεπώς K\widehat DL = Z\widehat AD = {30^0}



Νίκος
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Ιαν 17, 2015 12:00 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1379
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Ιαν 17, 2015 10:42 am

Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Θέτουμε \displaystyle{x = \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}} > 0,} οπότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

\displaystyle{\frac{1}{{{x^3} + 1}} + x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 + 2x\left( {{x^3} + 1} \right) = 3\left( {{x^3} + 1} \right) \Leftrightarrow 2{x^4} - 3{x^3} + 2x - 1 = 0} \bf \color{red} \left(1 \right)

Χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner βρίσκουμε ότι

\displaystyle{2{x^4} - 3{x^3} + 2x - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - {x^2} - x + 1} \right).}

Αλλά για κάθε x>0 είναι

\displaystyle{2{x^3} - {x^2} - x + 1 = {x^3} + {x^3} - {x^2} - x + 1 = {x^3} + {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) > 0,}

οπότε η εξίσωση \bf \color{red} \left(1 \right) έχει τη μοναδική θετική λύση x = 1 και άρα a=b.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2593
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 17, 2015 10:47 am

ΘΕΜΑ 3¨

Έστω AB=B\Delta=\Gamma\Delta=a.

Τα τρίγωνα Z\Gamma\Delta και AB\Deltaείναι ίσα

(αφού εύκολα βλέπουμε ότι Z\Delta=A\Delta, \Gamma\Delta=B\Delta και Z\widehat{\Delta}\Gamma=B\widehat{\Delta}A )

κι άρα Z\Gamma=B\Delta=a)

Συνεπώς,

K\Gamma=2a=B\Lambda,

οπότε τα τρίγωνα \Lambda B\Delta και K\Gamma\Delta είναι ίσα,

αφού έχουν ακόμη \Gamma\Delta=a=B\Delta και \Lambda \widehat{B}\Delta=K\widehat{\Gamma}\Delta
Συνημμένα
3_euclid_a.png
3_euclid_a.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 5991 φορές
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 17, 2015 10:53 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1379
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Ιαν 17, 2015 10:53 am

Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Πρέπει \displaystyle{x \ne 1,} \displaystyle{x \ne 2} και \displaystyle{x \ne 3.}

Θέτουμε y = x-2, οπότε \displaystyle{y \ne -1,} \displaystyle{y \ne 0} και \displaystyle{y \ne 1.} Η δοσμένη εξίσωση τότε γράφεται ισοδύναμα:

\displaystyle{\frac{1}{{y - 1}} + \frac{2}{y} + \frac{3}{{y + 1}} = 3 \Leftrightarrow y\left( {y + 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 3y\left( {y - 1} \right) = 3y\left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow }

\displaystyle{ \Leftrightarrow 3{y^3} - 6{y^2} - y + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\left( {3{y^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow }

\displaystyle{ \Leftrightarrow y \in \left\{ {2, - \frac{{\sqrt 3 }}{3},\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right\},}

οπότε τελικά η αρχική εξίσωση έχει τις λύσεις \displaystyle{x \in \left\{ {4,2 - \frac{{\sqrt 3 }}{3},2 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right\}.}


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3858
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Ιαν 17, 2015 11:03 am

Θέμα 2 Β Λυκείου

Έστω a-3k, a-2k, a-k, a, a+k, a+2k, a+3k οι αριθμοί. Από τα δεδομένα έχουμε 7a=r^3 για κάποιο ακέραιο r, και 5a=s^2 για κάποιο ακέραιο s.

Αφού 5a=s^2 άρα 5|s^2 δηλαδή 5|s οπότε s=5s_1 συνεπώς a=5s_1^2 οπότε αρκεί να βρούμε την ελάχιστη τιμή του s_1 λαμβάνοντας όμως υπόψιν τη σχέση 7a=r^3.

Αφού 7a=r^3 άρα 35s_1^2=r^3 δηλαδή 5|r και 7|r άρα τελικά βγάζουμε s_1^2=35^2s_2^3. Η ελάχιστη τιμή του s_2 είναι το 1 άρα η ελάχιστη τιμή του s_1^2 είναι το 35^2.

Συνεπώς a_{\min}=5\cdot 35^2 = 6125

Αλεξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1379
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Ιαν 17, 2015 11:16 am

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4

Υποθέτουμε ότι k, m \in \mathbb{Z}. Επειδή το τριώνυμο έχει διακεκριμένες ρίζες, θα είναι:

\displaystyle{\Delta  > 0 \Leftrightarrow {k^2} > 16m} \bf \color{red} \left(1 \right).

Έστω \displaystyle{{x_1},{x_2} \in \left( {0,1} \right)} οι ρίζες του τριωνύμου. Από τους τύπους του Vieta έχουμε ότι

\displaystyle{0 < {x_1} + {x_2} < 2 \Leftrightarrow 0 <  - \frac{k}{4} < 2 \Leftrightarrow  - 8 < k < 0 \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1} \right\}}

και

\displaystyle{0 < {x_1}{x_2} < 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{m}{4} < 1 \Leftrightarrow 0 < m < 4 \Leftrightarrow m \in \left\{ {1,2,3} \right\}.}

Λόγω της \bf \color{red} \left(1 \right), τα πιθανά ζεύγη \displaystyle{\left( {k,m} \right)} είναι τα ακόλουθα:

\bullet \displaystyle{\left( {k,m} \right) = \left( { - 5,1} \right),} οπότε \displaystyle{f\left( x \right) = 4{x^2} - 5x + 1,} που έχει ρίζα το x=1, πράγμα άτοπο.

\bullet \displaystyle{\left( {k,m} \right) = \left( { - 6,1} \right),} οπότε \displaystyle{f\left( x \right) = 4{x^2} - 6x + 1,} που έχει ρίζα το \displaystyle{\frac{{3 + \sqrt 5 }}{4} > 1,} πράγμα άτοπο.

\bullet \displaystyle{\left( {k,m} \right) = \left( { - 6,2} \right),} οπότε \displaystyle{f\left( x \right) = 4{x^2} - 6x + 2,} που έχει ρίζα το x=1, πράγμα άτοπο.

\bullet \displaystyle{\left( {k,m} \right) = \left( { - 7,1} \right),} οπότε \displaystyle{f\left( x \right) = 4{x^2} - 7x + 1,} που έχει ρίζα το \displaystyle{\frac{{7 + \sqrt 33 }}{8} > 1,} πράγμα άτοπο.

\bullet \displaystyle{\left( {k,m} \right) = \left( { - 7,2} \right),} οπότε \displaystyle{f\left( x \right) = 4{x^2} - 7x + 2,} που έχει ρίζα το \displaystyle{\frac{{7 + \sqrt 17 }}{8} > 1,} πράγμα άτοπο.

\bullet \displaystyle{\left( {k,m} \right) = \left( { - 7,3} \right),} οπότε \displaystyle{f\left( x \right) = 4{x^2} - 7x + 3,} που έχει ρίζα το x=1, πράγμα άτοπο.

Επομένως, ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς k και m δεν είναι ακέραιος.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7473
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 17, 2015 11:26 am

Πρόβλημα 4 (Γ' Γυμνασίου)
Θεωρούμε τρίγωνο AB\Gamma με \widehat A=90^0 ,\widehat \Gamma=60^0 και υποτείνουσα B\Gamma=a . Η μεσοκάθετη στο
μέσον M της B\Gamma τέμνει τη διχοτόμο B\Delta (το \Delta είναι σημείο της A\Gamma ) στο σημείο K και
την ευθεία A\Gamma στο σημείο N. Έστω \Lambda είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος K\Delta .
1. Nα αποδείξετε ότι: N\Lambda ⊥ B\Delta .
2. Θεωρούμε τον κύκλο \omega με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα BN , ο οποίος δίνεται ότι
περνάει από τα σημείαA,\Lambda και M. Έστω E το χωρίο που έχει πλευρές τις M\Gamma, A\Gamma και
το τόξο AM του κύκλου \omega . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου
Eσυναρτήσει της B\Gamma=a.
Σημείωση: Το χωρίο E είναι στο εσωτερικό του τριγώνου AB\Gamma και εξωτερικά του κύκλου \omega.

Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 2015.png
Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 2015.png (15.86 KiB) Προβλήθηκε 5930 φορές
1. \boxed{N\widehat \Lambda B=90^0} επειδή είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο(*).

2. O, A, M είναι τα μέσα των πλευρών του ισοπλεύρου B\Gamma N, άρα το OA\Gamma M είναι ρόμβος με πλευρά \displaystyle{\frac{\alpha }{2}}. Αν από το εμβαδόν του ρόμβου αφαιρέσουμε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα OAM θα βρούμε το ζητούμενο.

\displaystyle{{{\rm E}_{{\rm O}{\rm A}\Gamma {\rm M}}} = 2({\rm O}{\rm A}{\rm M}) = 2{\left( {\frac{\alpha }{2}} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{\alpha ^2}\sqrt 3 }}{8}}

\displaystyle{{{\rm E}_{\kappa .\tau }} = \frac{{\pi {{\left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}^2}{{60}^0}}}{{{{360}^0}}} = \frac{{\pi {\alpha ^2}}}{{24}}}

\displaystyle{{\rm E} = \frac{{{\alpha ^2}\sqrt 3 }}{8} - \frac{{\pi {\alpha ^2}}}{{24}} = \frac{{3{\alpha ^2}\sqrt 3  - \pi {\alpha ^2}}}{{24}} \Leftrightarrow } \boxed{{\rm E} = \frac{{{\alpha ^2}}}{{24}}\left( {3\sqrt 3  - \pi } \right)}

(*) Έχω μια ένσταση σ' αυτό το θέμα. Δίνεται στο δεύτερο ερώτημα ότι το \Lambda είναι σημείο του κύκλου με διάμετρο BN. Αν κάποιος μαθητής απαντούσε όπως εγώ, τι θα γινόταν;
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Ιαν 21, 2015 9:22 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2593
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 17, 2015 11:39 am

Α λυκείου -ΘΕΜΑ 4

Έστω s=x+y+z+w.

Παίρνοντας modulo 9 τη διαφορά της

1000w+100z+10y+x=227s+16 (1)

από τη σχέση

1000x+100y+10z+w=327s+14 (2)

παίρνουμε (2)- (1):

100s-2=999x+90y-90z-999w \equiv 0\pmod{9}

κι άρα είναι s\equiv 2\pmod{9},

όποτε οι δυνατές τιμές του s είναι 2, 11, 20, 29.

Η περίπτωση s=2 απορρίπτεται εύκολα διότι δίνει 3ψήφιο.

Με απλούς υπολογισμούς, βάζοντας s=11, 20, 29 στις (1) και (2), βλέπουμε μόνο στην περίπτωση όπου

s=20 παίρνουμε αριθμούς της δοθείσας μορφής:

327\cdot 20 +14= 6554 και 227\cdot 20 +16=4556

Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 6554.

Φιλικα,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 17, 2015 1:18 pm, έχει επεξεργασθεί 7 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7996
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 17, 2015 11:43 am

Γ' Λυκείου - Πρόβλημα 3

Έχουμε \displaystyle{ \sum_{k=-14}^{14} k^2 = \frac{14 \times 15 \times 29}{3} = 2030 > 2018} οπότε ο αριθμός 2018 είναι άθροισμα το πολύ 28 τετραγώνων διαφορετικών ακεραίων.

Επειδή \displaystyle{ \left(\sum_{k=-15}^{15} k^2\right) - 2018 = 12 + 15^2 + 15^2 = 462,} και επειδή 462 = 1^2 + 10^2 + 19^2, τότε έχουμε

\displaystyle{ \sum_{n \in A} n^2 = 2018} όπου το A = \{-15,-14,\ldots,15\} \setminus \{1,10,19\} έχει 28 στοιχεία.

Άρα το 2018 γράφεται ως άθροισμα 28 τετραγώνων διαφορετικών ακεραίων, αλλά όχι περισσότερων.

Όπως σωστά έχει επισημανθεί το πιο πάνω είναι λάθος αφού το 19 δεν περιέχεται στο αρχικό σύνολο

Σαν άθροισμα με 27 στοιχεία μπορούμε να γράψουμε

\displaystyle{ \sum_{n \in A} n^2 = 2018} όπου A = \{-13,\ldots,15\} \setminus \{4,5\}.

Σαν άθροισμα με 28 στοιχεία νομίζω πως δεν γίνεται αλλά ο μόνος τρόπος που έχω είναι μια κάπως μακροσκελής ανάλυση περιπτώσεων. Θα δω αν μπορώ να την συντομέψω πριν να γράψω κάτι επιπλέον.

Εν τέλει γίνεται και με 28 στοιχεία. Δείτε π.χ. την ανάρτηση του Σιλουανού πιο κάτω. Ας πρόσεχα περισσότερο όταν έκανα την ανάλυση περιπτώσεων.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Δευ Ιαν 19, 2015 9:12 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3149
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Ιαν 17, 2015 11:56 am

Β’ Λυκείου – Πρόβλημα 3
p3.png
p3.png (39.66 KiB) Προβλήθηκε 5882 φορές
B-Lykeioy-Problem3.png
B-Lykeioy-Problem3.png (27.16 KiB) Προβλήθηκε 5882 φορές
Το ZBCD είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα ZC = BD και \triangleleft BAD({30^ \circ }{,75^ \circ }{,75^ \circ }).

Ισχύει \triangleleft KCD\mathop  = \limits^{\Pi  - \Gamma  - \Pi }  \triangleleft LBD \Rightarrow D\widehat KC = D\widehat LB \Rightarrow LKZD εγγράψιμο, συνεπώς K\widehat DL = K\widehat ZL\mathop  = \limits^{LB//CD} {30^ \circ }.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Κώστας Παππέλης
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Παππέλης » Σάβ Ιαν 17, 2015 12:07 pm

Γ' Λυκείου Γεωμετρία συνοπτικά:

Κατ΄ αρχάς εύκολα <AED=90. Αν τώρα οι MN, DE τέμνονται στο H τότε παρατηρούμε ότι αυτό είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AND (αφού HN κάθετη στην AD και HD κάθετη στην AN)

Έστω ότι η DN τέμνει την AH στο Z'. Λόγω του ορθοκέντρου, το Z' ανήκει στον κύκλο με κέντρο το K. Μένει να αποδείξουμε ότι ανήκει και τον περιγεγραμμένο του KME. Αρκεί νδο <MZ'E=180-<MKE ή ισοδύναμα ότι <MZ'E=2<A . Το οποίο είναι αληθές λόγω της βασικής ιδιότητας του ορθικού τριγώνου να διχοτομούνται οι κορυφές του από τα ύψη.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7473
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 17, 2015 12:26 pm

Πρόβλημα 2 (Γ' Γυμνασίου)
Οι πραγματικοί αριθμοί a,b είναι τέτοιοι ώστε ab(a + b)(a −b) ≠ 0 και
\displaystyle{\frac{{b(a - b)}}{{a(a + b)}} + \frac{{b(a + b)}}{{a(a - b)}} = \frac{{3ab - {b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}}}

(α) Να αποδείξετε ότι: a^2=b(a+2b)
(β) Να βρείτε την τιμή του λόγου \displaystyle{\frac{a}{b}}


(α) \displaystyle{\frac{{b(a - b)}}{{a(a + b)}} + \frac{{b(a + b)}}{{a(a - b)}} = \frac{{3ab - {b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} \Leftrightarrow }

\displaystyle{\frac{{b\left[ {{{(a - b)}^2} + {{(a + b)}^2}} \right]}}{{a({a^2} - {b^2})}} = \frac{{b(3a - b)}}{{{a^2} - {b^2}}} \Leftrightarrow 2({a^2} + {b^2}) = 3a - b \Leftrightarrow }

\displaystyle{2{a^2} + 2{b^2} = 3{a^2} - ab \Leftrightarrow } \boxed{a^2=b(a+2b)}

Σημείωση: Όλες οι απλοποιήσεις έγιναν με βάση τον περιορισμό της υπόθεσης.

(β) \displaystyle{{a^2} - ab - 2{b^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{b \ne 0} \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} - \frac{a}{b} - 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} - \frac{a}{b} - 2 = 0}

Θέτω \displaystyle{x = \frac{a}{b}}. Η εξίσωση \displaystyle{{x^2} - x - 2 = 0} έχει λύσεις x=2,x=-1. Η λύση x=-1, απορρίπτεται γιατί τότε a=-b, που αντίκειται στην υπόθεση. Άρα \boxed{\frac{a}{b} = 2}


GMANS
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Σάβ Ιαν 17, 2015 12:37 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 (Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ)

Έστω S=x+ y+ z τότε:
100x+10y+z=43\cdot S+9 (1) και
100z+10y+x=30\cdot S+6 (2)
Από (1)-(2)\rightarrow 99\cdot(x-z)=13\cdot S+3 όμως
9<S\leq 27 τότε:
\frac{120}{99}<\frac{13\cdot  S+3 }{99}\leq \frac{354}{99}
επομένως x-z=2 ή x-z=3
ανx-z=2\rightarrow x=2+z τότεS=15 οπότε y=13-2z
αντικαθιστόντας στην (2)\rightarrow z=4 οπότε x=6,y=5
οπότε ο αριθμός είναι 654
αν x-z=3 \rightarrow S=\frac{294}{13} άτοπο


Γ. Μανεάδης
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5269
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Ιαν 17, 2015 12:57 pm

Οι λύσεις
Συνημμένα
Λύσεις Ευκλείδης 2015.pdf
(439.6 KiB) Μεταφορτώθηκε 1129 φορές


nikolaos p.
Δημοσιεύσεις: 263
Εγγραφή: Δευ Φεβ 14, 2011 11:44 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolaos p. » Σάβ Ιαν 17, 2015 1:05 pm

Ευχαριστούμε πολύ! :)


ΕικόναΕικόνα
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 271
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Ιαν 17, 2015 1:09 pm

θεωρω απαραδεκτο να εχει λαθος η ασκηση στη β γυμνασιου και να δωθει η διευκρινιση μετα απο το περας μιαμιση ωρας.....τα παιδια κολισαν και φαγαν μια ωρα στο θεμα δευτερο και αγχωθηκαν χωρις λογο...


nickthegreek
Δημοσιεύσεις: 399
Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Τοποθεσία: Oxford

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickthegreek » Σάβ Ιαν 17, 2015 1:11 pm

Ας δώσω κι εγώ μια διαφορετική λύση στο 2ο της Γ' Λυκείου:

Θέτω x=\frac{b}{a} και αρκεί να δείξω ότι \frac{1}{x+1} +x^{1/3} =\frac{3}{2} έχει μοναδική λύση το x=1

Θέτω f(x) την παραπάνω συνάρτηση και παίρνω f'(x)= -\frac{1}{(x+1)^2} +\frac{1}{3 x^{2/3}}.

Όμως (x+1)^2 =x^2+2x+1=x^2+(x+x+1) \geq x^2 +3 x^{2/3} > 3 x^{2/3} και άρα η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}^{+}. Συνεπώς η τιμή x=1 που είναι λύση είναι και η μοναδική.


Κατά τ' άλλα όμορφα σχετικά τα θέματα, καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που συμμετέχουν!

Νίκος
τελευταία επεξεργασία από nickthegreek σε Σάβ Ιαν 17, 2015 1:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Νίκος Αθανασίου
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Math Enthusiast, R BORIS και 1 επισκέπτης