Σελίδα 1 από 1

Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιουν 14, 2014 8:10 pm
από parmenides51
1. Εαν \displaystyle{x_1,x_2 } είναι ακέραιοι αριθμοί και \displaystyle{P(x)=\alpha_0x^{\nu}+\alpha_1x^{\nu-1}+...+\alpha_{\nu-1}x+\alpha_{\nu} } πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε να ισχύουν \displaystyle{P(x_1)=1=-P(x_2)} , να αποδείξετε οτι
α) εαν ισχύει και \displaystyle{|x_1-x_2|>2}, τότε το πολυώνυμο δεν έχει ρητή ρίζα
β) εαν ισχύει και \displaystyle{|x_1-x_2|\le 2}, τότε το πολυώνυμο, εαν έχει ρητή ρίζα, αυτή θα είναι ο αριθμός \displaystyle{\frac{1}{2}(x_1+x_2)}.
Υπόδειξη: Στηριχτείτε στην πρόταση (την οποία να αποδείξετε) :
εαν \displaystyle{\frac{p}{q}} ρητή ρίζα του πολυωνύμου \displaystyle{P(x)} και \displaystyle{m} ακέραιος, τότε ο ακέραιος \displaystyle{p-mq} διαιρεί τον ακέραιο \displaystyle{P(m)}.


2. Σε επίπεδο \displaystyle{(P)} θεωρούμε τραπέζιο \displaystyle{ΑΒ\Gamma\Delta} με \displaystyle{AB//\Gamma\Delta , (AB)=2\alpha, (B\Gamma)=(\Gamma\Delta)=(\Delta A)=\alpha} .
α) Έστω \displaystyle{M } το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος \displaystyle{AB}. Φέρνουμε την κάθετο του επιπέδου \displaystyle{(P)} στο σημείο \displaystyle{M} και πάνω της παίρνουμε το σημείο \displaystyle{ \Sigma} έτσι ώστε να είναι \displaystyle{(\Sigma M)=\alpha}. Έστω \displaystyle{ Z} το σημείο του ευθυγράμμου τμήματος \displaystyle{\Sigma A}, για το οποίο ισχύει \displaystyle{ \frac{\overline{SZ}}{\overline{SA}}=\frac{1}{3}} . Να ορισθεί επίπεδο \displaystyle{(\Pi)} από το σημείο \displaystyle{Z} τέτοιο ώστε η στερεά γωνία \displaystyle{\Sigma.AB\Gamma\Delta } να τέμνεται από αυτό κατά παραλληλόγραμμο. Αν \displaystyle{H,\Theta,K} είναι τα σημεία τομής του \displaystyle{(\Pi)} με τις \displaystyle{\Sigma B,\Sigma\Gamma,\Sigma\Delta} αντίστοιχα, να υπολογισθεί ο όγκος της πυραμίδας \displaystyle{ \Sigma.ZH\Theta K}.
β) Αν \displaystyle{Z,H} είναι τα σημεία των ευθυγράμμων τμημάτων \displaystyle{\Sigma A, \Sigma B} για τα οποία ισχύει οτι \displaystyle{\frac{\overline{SZ}}{\overline{SA}}= \frac{\overline{SH}}{\overline{SB}}=\frac{1}{3} } , να ορισθεί το επίπεδο δια της \displaystyle{ZH} που είναι τέτοιο ώστε εαν \displaystyle{\Theta,K} είναι τα σημεία τομής του με τις \displaystyle{\Sigma \Gamma,\Sigma\Delta} αντίστοιχα, η περίμετρος του τετραπλεύρου \displaystyle{ZH\Theta K} να είναι η ελάχιστη δυνατή.
γ) Να αποδείξετε οτι η πυραμίδα \displaystyle{\Sigma.AB\Gamma\Delta} είναι εγγράψιμη σε σφαίρα.


3. Να βρεθούν τα ζεύγη \displaystyle{(x,y) } που ικανοποιούν την εξίσωση \displaystyle{\varepsilon\phi^4x+\varepsilon\phi^4y+2\sigma \phi^2x\sigma \phi^2y=3+\eta\mu^2(x+y)}.