Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Ιουν 14, 2014 4:27 pm

1. Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
\displaystyle 2x_2=x_1+\frac{2}{x_1}  \\  
 
\displaystyle 2x_3=x_2+\frac{2}{x_2}  \\  
... \\  
\displaystyle 2x_{\nu}=x_{\nu-1}+\frac{2}{x_{\nu-1}}  \\  
\displaystyle 2x_1=x_{\nu}+\frac{2}{x_{\nu}}  \ 
\end{cases}} όπου οι \displaystyle{x_1,x_2,...,x_{\nu}} είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός.


2. Θεωρούμε ευθύγραμμα τμήμα \displaystyle{B\Gamma}, μήκους \displaystyle{\alpha} και ημιευθεία \displaystyle{Ox}, από το μέσον \displaystyle{O} του \displaystyle{B\Gamma}, που σχηματίζει με την \displaystyle{O\Gamma} γωνία \displaystyle{\omega} με \displaystyle{\left( 0< \omega<\frac{\pi}{2}\right)}.
i) Να ορισθούν τα σημεία της \displaystyle{Ox}, για τα οποία ισχύει \displaystyle{\frac{A\Gamma}{AB}=\lambda} (1) (με \displaystyle{0<\lambda<1}). Διερεύνηση.
ii) Ας είναι \displaystyle{A } και \displaystyle{A_1} τα σημεία της \displaystyle{ Ox } που πληρούν την προηγούμενη σχέση (1).
Θεωρούμε τους κύκλους \displaystyle{(K)} και \displaystyle{(\Lambda)} τους περιγεγραμμένους στα τρίγωνα \displaystyle{AA_1B} και \displaystyle{AA_1\Gamma} αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί οτι \displaystyle{\alpha^2=4(OA)(OA_1)} και
να ορισθούν οι τόποι των κέντρων \displaystyle{K } και \displaystyle{\Lambda}, όταν ο λόγος \displaystyle{ \lambda} μένει σταθερός, ενώ η γωνία \displaystyle{\omega} μεταβάλλεται.
iii) Αν ο κύκλος διαμέτρου \displaystyle{B\Gamma} τέμνει τέμνει πάλι τον κύκλο \displaystyle{(K)} στο \displaystyle{\Delta} και τον κύκλο \displaystyle{(\Lambda)} στο \displaystyle{Z},
να αποδειχθεί οτι οι ευθείες \displaystyle{B\Delta} και \displaystyle{\Gamma Z} τέμνονται πάνω στην \displaystyle{Ox}.


3. Δίνεται η εξίσωση \displaystyle{z^3-9z-9=0} (1).
Να θέσετε \displaystyle{z=x\sqrt3} και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει.
Να συμπεράνετε μετά οτι η (1) έχει δυο αρνητικές ρίζες, έστω τις \displaystyle{ p_1,p_2} (\displaystyle{p_1<p_2 })
και να αποδείξετε οτι ισχύει \displaystyle{p_1+7=(p_2-1)^2}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Κυρ Ιούλ 20, 2014 12:37 am

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται η εξίσωση \displaystyle{z^3-9z-9=0} (1).
Να θέσετε \displaystyle{z=x\sqrt3} και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει.
Να συμπεράνετε μετά οτι η (1) έχει δυο αρνητικές ρίζες, έστω τις \displaystyle{ p_1,p_2} (\displaystyle{p_1<p_2 })
και να αποδείξετε οτι ισχύει \displaystyle{p_1+7=(p_2-1)^2}
\displaystyle{\left( * \right)\,\,\,{{z}^{3}}-9z-9=0\,\,\overset{z\,=\,x\sqrt{3}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\,\,3\sqrt{3}{{x}^{3}}-9\sqrt{3}x-9=0\Leftrightarrow 3\sqrt{3}\left( {{x}^{3}}-3x-\sqrt{3} \right)=0\Leftrightarrow }

\displaystyle{\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x-\sqrt{3}=0\,\,\,\left( ** \right)}

Η λύση της \left( ** \right) εδώ

Τότε οι αρνητικές ρίζες της \left( * \right) είναι οι: \displaystyle{{{\rho }_{1}}=-2\sqrt{3}\cos \frac{5\pi }{18},\,\,\,{{\rho }_{2}}=-2\sqrt{3}\cos \frac{7\pi }{18}}.

Από \displaystyle{\frac{5\pi }{18}=\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{9}\Rightarrow -2\sqrt{3}\cos \frac{5\pi }{18}+7=-2\sqrt{3}\sin \frac{2\pi }{9}+7\,\,\,\left( 1 \right)}

Επίσης \displaystyle{\frac{7\pi }{18}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{9}\Rightarrow {{\left( -2\sqrt{3}\cos \frac{7\pi }{18}-1 \right)}^{2}}={{\left( 2\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{9}+1 \right)}^{2}}=12{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{9}+4\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{9}+1=}

\displaystyle{=12\cdot \frac{1-\cos \frac{2\pi }{9}}{2}+4\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{9}+1=6\left( 1-\cos \frac{2\pi }{9} \right)+4\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{9}+1=}

=\left( 6-6\cos \frac{2\pi }{9} \right)+4\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{9}+1=7-6\cos \frac{2\pi }{9}+4\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{9}\,\,\,\left( 2 \right)

\displaystyle{{{\rho }_{1}}+7-{{\left( {{\rho }_{2}}-1 \right)}^{2}}\,\,\overset{\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)}{\mathop{=}}\,\,\,-2\sqrt{3}\sin \frac{2\pi }{9}+7-7+6\cos \frac{2\pi }{9}-4\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{9}=}

=-2\sqrt{3}\sin \frac{2\pi }{9}+6\cos \frac{2\pi }{9}-4\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{9}\,\,\,\left( 3 \right)

\displaystyle{\rho =\sqrt{{{\left( -2\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{6}^{2}}}=4\sqrt{3}}, \displaystyle{\cos \varphi =\frac{-2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=-\frac{1}{2},\,\,\,\sin \varphi =\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}, οπότε \displaystyle{\varphi =\frac{2\pi }{3}} και η \left( 3 \right) γίνεται:

\displaystyle{4\sqrt{3}\sin \left( \frac{2\pi }{9}+\frac{2\pi }{3} \right)-4\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{9}=4\sqrt{3}\left( \sin \frac{8\pi }{9}-\sin \frac{\pi }{9} \right)=}

\displaystyle{=8\sqrt{3}\sin \frac{\frac{8\pi }{9}-\frac{\pi }{9}}{2}\cos \frac{\frac{8\pi }{9}+\frac{\pi }{9}}{2}=0\Rightarrow {{\rho }_{1}}+7-{{\left( {{\rho }_{2}}-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow {{\rho }_{1}}+7={{\left( {{\rho }_{2}}-1 \right)}^{2}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης