Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Ιουν 14, 2014 3:53 pm

1. Δίνεται το με τρεις αγνώστους \displaystyle{x,y,z} σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
x^2+y^2=z  \\  
x+y+z=\alpha 
\end{cases}} όπου \displaystyle{\alpha} πραγματικός αριθμός.
Να ορισθεί ο \displaystyle{\alpha} ώστε το προηγούμενο σύστημα να έχει μια μοναδική λύση \displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)} όπου \displaystyle{x_0,y_0,z_0} είναι πραγματικοί αριθμοί.


2. Αν \displaystyle{\Delta} είναι το συμμετρικό του κέντρου \displaystyle{K} του περιγεγραμμένου κύκλου ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle{AB\Gamma} (με κορυφή το \displaystyle{A}) ως προς την \displaystyle{AB} και η παράλληλη από το \displaystyle{\Delta} προς την \displaystyle{A\Gamma} τέμνει την \displaystyle{B\Gamma} στο σημείο \displaystyle{E}, να αποδείξετε οτι ισχύει \displaystyle{\widehat{\Delta K E}=90^o}.


3. Εαν για κάθε γωνία \displaystyle{x} ισχύει \displaystyle{\alpha\eta\mu^2x+\beta\eta\mu x\sigma\upsilon\nu x+\gamma \sigma\upsilon\nu^2x+\delta=0}, όπου \displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta} πραγματικοί αριθμοί, τι συμπεραίνετε γι΄αυτούς τους αριθμούς;


gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1032
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Σάβ Ιουν 14, 2014 5:08 pm

parmenides51 έγραψε:2. Αν \displaystyle{\Delta} είναι το συμμετρικό του κέντρου \displaystyle{K} του περιγεγραμμένου κύκλου ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle{AB\Gamma} (με κορυφή το \displaystyle{A}) ως προς την \displaystyle{AB} και η παράλληλη από το \displaystyle{\Delta} προς την \displaystyle{A\Gamma} τέμνει την \displaystyle{B\Gamma} στο σημείο \displaystyle{E}, να αποδείξετε οτι ισχύει \displaystyle{\widehat{\Delta K E}=90^o}.
Καλησπέρα σε όλους.
Γεωμετρια mathematica_69.PNG
Γεωμετρια mathematica_69.PNG (15.47 KiB) Προβλήθηκε 1146 φορές
Το \displaystyle{K} ως περίκεντρο βρίσκεται στη μεσοκάθετο της \displaystyle{AB}.Επομένως το συμμετρικό του ως προς αυτήν βρίσκεται επίσης στη μεσοκάθετό της.Η \displaystyle{AK} είναι μεσοκάθετος της \displaystyle{B\Gamma} και διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{\hat{A}} λόγω του ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε αρχικά ότι το τετράπλευρο \displaystyle{AKB\Delta} είναι ρόμβος,αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και τέμνονται κάθετα.Επομένως θα διχοτομούν και τις γωνίες του κι έτσι \displaystyle{\hat{\Delta AK}=\hat{\Delta BK}=\hat{BA\Gamma}}.

Το τρίγωνο \displaystyle{\Delta KB} είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής ίση με την \displaystyle{\hat{BA\Gamma}=\hat{A}}.Επομένως \displaystyle{\hat{\Delta KB}=\frac{180-\hat{A}}{2}=90-\frac{\hat{A}}{2} \ (1)}.

Ακόμη \displaystyle{\hat{\Delta EB}=\hat{\Gamma}=90-\frac{\hat{A}}{2}} \ (2)} λόγω της παραλληλίας κι έτσι από \displaystyle{(1),(2)} παίρνουμε ότι το τετράπλευρο \displaystyle{\Delta BEK} είναι εγγράψιμο.

Όμως \displaystyle{\hat{\Delta BE}=\hat{\Delta BA}+\hat{AB\Gamma}=\frac{\hat{A}}{2}+90^{\circ}-\frac{\hat{A}}{2}=90^{\circ}} κι έτσι \displaystyle{\boxed{\hat{\Delta KE}=90^{\circ}}} όπως θέλαμε.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1032
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Κυρ Ιουν 15, 2014 5:30 pm

parmenides51 έγραψε:3. Εαν για κάθε γωνία \displaystyle{x} ισχύει \displaystyle{\alpha\eta\mu^2x+\beta\eta\mu x\sigma\upsilon\nu x+\gamma \sigma\upsilon\nu^2x+\delta=0}, όπου \displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta} πραγματικοί αριθμοί, τι συμπεραίνετε γι΄αυτούς τους αριθμούς;
Η συνθήκη ισχύει για κάθε γωνία άρα και για γωνία \displaystyle{0^{\circ}}.Επομένως \displaystyle{a\eta \mu ^{2} 0^{\circ}+\beta \eta \mu 0^{\circ}\sigma \upsilon \nu 0^{\circ}+\gamma \sigma \upsilon \nu ^{2} 0^{\circ}+\delta=0\overset{\eta \mu 0^{\circ}=0}\Leftrightarrow \gamma \sigma \upsilon \nu ^{2} 0^{\circ}+\delta=0\Leftrightarrow \gamma +\delta=0}.

Για γωνία \displaystyle{\frac{\pi}{2}} αντικαθιστούμε και παίρνουμε \displaystyle{a+\delta =0} επομένως \displaystyle{a=\gamma}.

Τελικά η αρχική γράφεται \displaystyle{a\eta \mu ^{2} x+\beta \eta \mu x\sigma \upsilon \nu x+a \sigma \upsilon \nu ^{2} x+\delta=0 \Leftrightarrow a(\eta \mu ^{2}x+\sigma \upsilon \nu ^{2}x)+\beta \eta \mu x\sigma \upsilon \nu x+\delta=0}.

Ισχύει όμως \displaystyle{\eta \mu ^{2}x+\sigma \upsilon \nu ^{2}x=1} επομένως \displaystyle{a+\delta +\beta \eta \mu x\sigma \upsilon \nu x=0\overset{a+\delta =0}\Leftrightarrow \beta \eta \mu x\sigma \upsilon \nu x=0} κι έτσι \displaystyle{\beta =0}.

Τελικά \displaystyle{(a,\beta,\gamma,\delta)=(a,0,a,-a)}.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 938
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Μαρ 25, 2018 11:03 pm

parmenides51 έγραψε:
Σάβ Ιουν 14, 2014 3:53 pm
1. Δίνεται το με τρεις αγνώστους \displaystyle{x,y,z} σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
x^2+y^2=z  \\  
x+y+z=\alpha 
\end{cases}} όπου \displaystyle{\alpha} πραγματικός αριθμός.
Να ορισθεί ο \displaystyle{\alpha} ώστε το προηγούμενο σύστημα να έχει μια μοναδική λύση \displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)} όπου \displaystyle{x_0,y_0,z_0} είναι πραγματικοί αριθμοί.
Mία σύντομη λύση , αύριο έχουμε σχολείο , πρέπει να πάω για ύπνο...

Η πρώτη εξίσωση γράφεται με τη βοήθεια της δεύτερης ως εξής:

\displaystyle x^{2}+y^{2}=a-x-y\Leftrightarrow x^{2}+x+y^{2}+y=a\Leftrightarrow x^{2}+x+\frac{1}{4}+y^{2}+y+\frac{1}{4}=a+\frac{1}{2}

που ισοδυναμεί με την \displaystyle \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{2} \right )^{2}=a+\frac{1}{2}

Για να μη γράφω πολλά και σας κουράζω , η ζητουμένη τιμή είναι \displaystyle a=-\frac{1}{2} , αλλιώς υπάρχουν ή άπειρες λύσεις ή δεν υπάρχουν λύσεις.
H μοναδική λύση είναι \displaystyle x_{0}=-\frac{1}{2} ,y_{0}=-\frac{1}{2},z_{0}=\frac{1}{2}

Ας δούμε το θέμα από την άποψη της Αναλυτικής Γεωμετρίας του χώρου.
Η εξίσωση x+y+z=a παριστάνει μεταβλητό επίπεδο , η εξίσωση x^{2}+y^{2}=z παριστάνει κυκλικό παραβολοειδές.
Ζητάμε εκείνη την τιμή του a έτσι ώστε το επίπεδο να εφάπτεται του παραβολοειδούς καθώς και το σημείο επαφής.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1876
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Μαρ 26, 2018 10:21 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Κυρ Μαρ 25, 2018 11:03 pm
parmenides51 έγραψε:
Σάβ Ιουν 14, 2014 3:53 pm
1. Δίνεται το με τρεις αγνώστους \displaystyle{x,y,z} σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
x^2+y^2=z  \\  
x+y+z=\alpha 
\end{cases}} όπου \displaystyle{\alpha} πραγματικός αριθμός.
Να ορισθεί ο \displaystyle{\alpha} ώστε το προηγούμενο σύστημα να έχει μια μοναδική λύση \displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)} όπου \displaystyle{x_0,y_0,z_0} είναι πραγματικοί αριθμοί.
Mία σύντομη λύση , αύριο έχουμε σχολείο , πρέπει να πάω για ύπνο...

Η πρώτη εξίσωση γράφεται με τη βοήθεια της δεύτερης ως εξής:

\displaystyle x^{2}+y^{2}=a-x-y\Leftrightarrow x^{2}+x+y^{2}+y=a\Leftrightarrow x^{2}+x+\frac{1}{4}+y^{2}+y+\frac{1}{4}=a+\frac{1}{2}

που ισοδυναμεί με την \displaystyle \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{2} \right )^{2}=a+\frac{1}{2}

Για να μη γράφω πολλά και σας κουράζω , η ζητουμένη τιμή είναι \displaystyle a=-\frac{1}{2} , αλλιώς υπάρχουν ή άπειρες λύσεις ή δεν υπάρχουν λύσεις.
H μοναδική λύση είναι \displaystyle x_{0}=-\frac{1}{2} ,y_{0}=-\frac{1}{2},z_{0}=\frac{1}{2}

Ας δούμε το θέμα από την άποψη της Αναλυτικής Γεωμετρίας του χώρου.

Η εξίσωση x+y+z=a παριστάνει μεταβλητό επίπεδο , η εξίσωση x^{2}+y^{2}=z παριστάνει κυκλικό παραβολοειδές.
Ζητάμε εκείνη την τιμή του a έτσι ώστε το επίπεδο να εφάπτεται του παραβολοειδούς καθώς και το σημείο επαφής.
Τηλέμαχε καλησπέρα!

Με χαρά υλοποιώ την επιθυμία σου να εμφανιστεί σχηματικά η γεωμετρική ερμηνεία της ανωτέρω πρότασης.


Σχήμα 1
Π.Μ.Δ.Μ. 1975-7(1).png
Π.Μ.Δ.Μ. 1975-7(1).png (35.84 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
Στο σχήμα αυτό φαίνεται το κυκλικό παραβολοειδές με εξίσωση:

\displaystyle{x^2+y^2=z \  \ (1) }

και το επίπεδο:

\displaystyle{x+y+z=a, \   \  a\in R \  \ (2)}

Αυτά τα δύο τέμνονται γενικώς κατά μια καμπύλη \displaystyle{(C)}, η οποία, όπως θα δούμε,
είναι μια έλλειψη.

Αν μεταξύ των (1) και (2) απαλείψουμε τη μεταβλητή \displaystyle{z} τότε προκύπτει η εξίσωση:

\displaystyle{x^2+y^2+x+y-a=0, \  \ a \in R \  \ (3)}

η οποία στο επίπεδο \displaystyle{xOy} παριστά γενικώς έναν κύκλο \displaystyle{(C_o)}, όμως στο χώρο των τριών διαστάσεων
παριστά μια κυκλική κυλινδρική επιφάνεια \displaystyle{(E_e)}, όπως αυτή που φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:
Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 (2).png
Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 (2).png (40.03 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
Ο κύκλος \displaystyle{(C_o)} είναι η προβολή της καμπύλης \displaystyle{(C)} στο επίπεδο \displaystyle{xOy} κατά συνέπεια η καμπύλη
αυτή \displaystyle{(C)} είναι η τομή της κυλινδρικής επιφάνειας \displaystyle{(E_e)} με το δοθέν επίπεδο. Άρα η καμπύλη
\displaystyle{(C)} είναι μια έλλειψη. Έτσι ουσιαστικά μπορούμε να λέμε ότι η τομή ενός επιπέδου με μια κυκλική
παραβολική επιφάνεια(παραβολοειδές) μπορεί κάποιες φορές να είναι μια έλλειψη.
Αυτό φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα:
Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 (3).png
Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 (3).png (19.59 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
Μια οριακή θέση του τέμνοντος επιπέδου με το παραβολοειδές είναι και η περίπτωση της επαφής αυτών
όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:
Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 (4).png
Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 (4).png (32.94 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
το οποίο συμφωνεί απόλυτα με τα συμπεράσματά σου.

Κώστας Δόρτσιος


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 938
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τρί Μαρ 27, 2018 9:36 am

Ένα τεράστιο ευχαριστώ στον Κώστα Δόρτσιο για ό,τι έκανε...
Τα σχέδια δείχνουν τα πάντα...
Ένα θέμα διαγωνισμού έδωσε αφορμή για αναφορά στην Αναλυτική Γεωμετρία του χώρου , κάτι που ξεφεύγει από τα μαθηματικά της μέσης εκπαίδευσης.
Ευχαριστώ και πάλι Κώστα...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες