Μια ακόμα λύση της γεωμετρίας της Α Λυκείου
ΘΕΜΑ 3- Α ΛΥΚΕΙΟΥ (Διαγωνισμός ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, 2013-2014) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο

με

. Ο κύκλος

(με κέντρο

και ακτίνα

) τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Ο κύκλος

(με κέντρο

και ακτίνα

) τέμνει την πλευρά

στο σημείο

και τον κύκλο

στο σημείο

. Ο περιγεγραμμένος κύκλος

του τριγώνου

τέμνει την ευθεία

στο σημείο

.
(α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία

βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.
(β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία

είναι μεσοκάθετη της πλευράς
Λύση (α) Αρκεί να δείξουμε ότι
(*).
(1ος τρόπος) Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα

και

είναι ίσα (από (ΠΠΠ)) κι άρα
Αφού τα τρίγωνα

και

είναι ισοσκελή έχουμε
Επίσης, τα τρίγωνα

και

είναι ίσα, κι άρα
όπως θέλαμε.
(2ος τρόπος) Έχουμε
όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από το ότι η εγγεγραμμένη γωνία

βαίνει στο ίδιο τόξο με την επίκεντρη
(β) Αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία

και

είναι συνευθειακά.
Πράγματι, παρατηρούμε ότι το

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και τα ισοσκελή τρίγωνα

και

είναι ίσα. Έτσι, έχουμε
Άρα, τα σημεία

και

είναι συνευθειακά.