ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2610
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014

#81

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Ιαν 10, 2019 1:36 pm

Μια ακόμα λύση της γεωμετρίας της Α Λυκείου

ΘΕΜΑ 3- Α ΛΥΚΕΙΟΥ (Διαγωνισμός ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, 2013-2014) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma με AB=A\Gamma>B\Gamma . Ο κύκλος c_1(\Gamma,B\Gamma) (με κέντρο \Gamma και ακτίνα B\Gamma) τέμνει την πλευρά AB στο σημείο \Delta. Ο κύκλος c_2(A,A\Delta) (με κέντρο A και ακτίνα A\Delta) τέμνει την πλευρά A\Gamma στο σημείο E και τον κύκλο c_1(\Gamma,B\Gamma) στο σημείο Z. Ο περιγεγραμμένος κύκλος c_3 του τριγώνου A\Delta Z τέμνει την ευθεία BE στο σημείο M.

(α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία B, E, Z βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.
(β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία AM είναι μεσοκάθετη της πλευράς B\Gamma.

Λύση (α) Αρκεί να δείξουμε ότι \Delta \widehat{B}E=\Delta\widehat{B}Z (*).

(1ος τρόπος) Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα A\Delta \Gamma και AZ\Gamma είναι ίσα (από (ΠΠΠ)) κι άρα \Delta\widehat{\Gamma}E=\frac{\Delta\widehat{\Gamma}Z}{2}.

Αφού τα τρίγωνα B\Gamma Z και B\Gamma \Delta είναι ισοσκελή έχουμε
 
\begin{aligned} 
Z\widehat{B}\Gamma&=90^\circ-\frac{B\widehat{\Gamma}Z}{2} \\ 
&=90^\circ-\frac{B\widehat{\Gamma}\Delta}{2}-\Delta\widehat{\Gamma}E\\ 
&=\Delta\widehat{B}\Gamma-\Delta\widehat{\Gamma}E\\ 
\end{aligned}

Επίσης, τα τρίγωνα ABE και A\Gamma \Delta είναι ίσα, κι άρα

 
\Delta\widehat{B}E=\Delta\widehat{\Gamma}E 
=\Delta\widehat{B}\Gamma-Z\widehat{B}\Gamma 
=\Delta\widehat{B}Z

όπως θέλαμε.

(2ος τρόπος) Έχουμε

 
\Delta\widehat{B}E&=\Delta\widehat{\Gamma}E 
=\frac{\Delta\widehat{\Gamma}Z}{2} 
=\Delta\widehat{B}Z

όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από το ότι η εγγεγραμμένη γωνία \Delta\widehat{B}Z βαίνει στο ίδιο τόξο με την επίκεντρη \Delta\widehat{\Gamma}Z.

(β) Αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία \Delta, M και \Gamma είναι συνευθειακά.

Πράγματι, παρατηρούμε ότι το M\Delta AZ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και τα ισοσκελή τρίγωνα \Delta AE και EAZ είναι ίσα. Έτσι, έχουμε

 
B\widehat{\Delta}M=A\widehat{Z}E 
=A\widehat{\Delta}E 
=90^\circ - \frac{\Delta\widehat{A}E}{2} 
=\Delta\widehat{B}\Gamma 
=B\widehat{\Delta}\Gamma

Άρα, τα σημεία \Delta, M και \Gamma είναι συνευθειακά.
Συνημμένα
figure_euclid_A_2013_sol.png
figure_euclid_A_2013_sol.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες