ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014 - Σελίδα 5

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 81 δημοσιεύσεις

achilleas: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 2602; Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014

Παράθεση

#81

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Ιαν 10, 2019 1:36 pm

Μια ακόμα λύση της γεωμετρίας της Α Λυκείου

ΘΕΜΑ 3- Α ΛΥΚΕΙΟΥ (Διαγωνισμός ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, 2013-2014) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB=A\Gamma>B\Gamma$ . Ο κύκλος $c_1(\Gamma,B\Gamma)$ (με κέντρο $\Gamma$ και ακτίνα $B\Gamma$ ) τέμνει την πλευρά

στο σημείο $\Delta$ . Ο κύκλος $c_2(A,A\Delta)$ (με κέντρο

και ακτίνα $A\Delta$ ) τέμνει την πλευρά $A\Gamma$ στο σημείο

και τον κύκλο $c_1(\Gamma,B\Gamma)$ στο σημείο

. Ο περιγεγραμμένος κύκλος c_3

του τριγώνου $A\Delta Z$ τέμνει την ευθεία

στο σημείο

.

(α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία B, E, Z

βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.
(β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία

είναι μεσοκάθετη της πλευράς $B\Gamma.$

Λύση (α) Αρκεί να δείξουμε ότι $\Delta \widehat{B}E=\Delta\widehat{B}Z$ (*).

(1ος τρόπος) Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $A\Delta \Gamma$ και $AZ\Gamma$ είναι ίσα (από (ΠΠΠ)) κι άρα $\Delta\widehat{\Gamma}E=\frac{\Delta\widehat{\Gamma}Z}{2}.$

Αφού τα τρίγωνα $B\Gamma Z$ και $B\Gamma \Delta$ είναι ισοσκελή έχουμε
$\begin{aligned} Z\widehat{B}\Gamma&=90^\circ-\frac{B\widehat{\Gamma}Z}{2} \\ &=90^\circ-\frac{B\widehat{\Gamma}\Delta}{2}-\Delta\widehat{\Gamma}E\\ &=\Delta\widehat{B}\Gamma-\Delta\widehat{\Gamma}E\\ \end{aligned}$

Επίσης, τα τρίγωνα ABE

και $A\Gamma \Delta$ είναι ίσα, κι άρα

$\Delta\widehat{B}E=\Delta\widehat{\Gamma}E =\Delta\widehat{B}\Gamma-Z\widehat{B}\Gamma =\Delta\widehat{B}Z$

όπως θέλαμε.

(2ος τρόπος) Έχουμε

$\Delta\widehat{B}E&=\Delta\widehat{\Gamma}E =\frac{\Delta\widehat{\Gamma}Z}{2} =\Delta\widehat{B}Z$

όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από το ότι η εγγεγραμμένη γωνία $\Delta\widehat{B}Z$ βαίνει στο ίδιο τόξο με την επίκεντρη $\Delta\widehat{\Gamma}Z.$

(β) Αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία $\Delta, M$ και $\Gamma$ είναι συνευθειακά.

Πράγματι, παρατηρούμε ότι το $M\Delta AZ$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και τα ισοσκελή τρίγωνα $\Delta AE$ και EAZ

είναι ίσα. Έτσι, έχουμε

$B\widehat{\Delta}M=A\widehat{Z}E =A\widehat{\Delta}E =90^\circ - \frac{\Delta\widehat{A}E}{2} =\Delta\widehat{B}\Gamma =B\widehat{\Delta}\Gamma$

Άρα, τα σημεία $\Delta, M$ και $\Gamma$ είναι συνευθειακά.

Συνημμένα

: figure_euclid_A_2013_sol.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές

Απάντηση

81 δημοσιεύσεις

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: WLOG και 4 επισκέπτες