mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 12:22 am**

Ανοίγω αυτό το θέμα προκειμένου να συζητηθούν τα θέματα του αυριανού διαγωνισμού. Καλή επιτυχία σε όλους!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 7:05 am**

Καλή επιτυχία σε όλους!!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 8:07 am**

Καλή επιτυχία και από εμενα!!!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 9:56 am**

Τα θέματα συνημμένα !

Καλή επιτυχία και καλή συνέχεια !

Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 10:04 am**

ΘΕΜΑ 1/Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Με $a=\dfrac{9x^2+3x+1}{x}>0$

η δοθείσα γράφεται ισοδύναμα

$a-\dfrac{27}{a}\geq 6\iff (a-3)^2\geq 36 \iff |a-3|\geq 6$

Αλλά

$|a-3|=\Big|\dfrac{9x^2+3x+1}{x}-3\Big|=\dfrac{9x^2+1}{x}\geq 6\iff (3x-1)^2\geq 0$

με το "=" ανν x=1/3

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 10:13 am**

Αργύρη, μέσα στην αναμπουμπούλα ( 300 μαθητές στο Θαλή στο κέντρο μας!) και στη βιασύνη να βάλω τα θέματα, δεν πρόσεξα ότι έχεις ανοίξει το θέμα.
Χίλια συγγνώμην !

Μπ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 10:18 am**

ΘΕΜΑ 3/Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Είναι x^2-x+2>0

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Επιπλέον,

$\displaystyle{\dfrac{2x^2+x-4}{x^2-x+2}<3 \iff 3x^2-3x+6>2x^2+x-4\iff x^2-4x+10>0\iff (x-2)^2+6>0}$

που ισχύει.

Άρα οι θετικές ακέραιες τιμές που μπορεί να ληφθούν είναι οι

και

.

Είναι

$\dfrac{2x^2+x-4}{x^2-x+2}=2+\dfrac{3x-8}{x^2-x+2}=2\iff x=8/3$

ενώ

$\displaystyle{\dfrac{2x^2+x-4}{x^2-x+2}=1+ \dfrac{x^2+2x-6}{x^2-x+2}=1\iff x^2+2x-6=0\iff (x+1)^2=7\iff x=-1\pm \sqrt{7}}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 10:30 am**

ΘΕΜΑ 2/Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Από τύπους Vieta έχουμε

$-\dfrac{\beta}{\alpha}=1+\beta$ και $\dfrac{\gamma}{\alpha}=1\cdot \beta=\beta$ .

Συνεπώς,

$\alpha=\dfrac{-\beta}{1+\beta}=\dfrac{1}{1+\beta}-1$ ,

ο οποίος είναι ακέραιος ανν $1+\beta= \pm 1$ .

Αλλά $\beta\ne 0$ αφού $\alpha \ne 0$ , οπότε παίρνουμε $\beta=-2$ και $\alpha=-2$ και $\gamma=4$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 10:42 am**

Καλή επιτυχία και καλή συνέχεια στους Διαγωνιζόμενους.
Θεωρώ ότι τα θέματα του Θαλή-2013 είναι πολύ καλά και με στόχευση θέματα. Προσωπικά μου άρεσαν ιδιαίτερα το θέμα της Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου και το τρίτο θέμα της Γ΄Λυκείου.
Πολλά-πολλά εύσημα σε όλους εκείνους που συντελούν, ώστε οι διαγωνισμοί αυτοί αιχμής όπως οι διαγωνισμοί της Ε.Μ.Ε. να αποτελούν μία ηχηρή απάντηση στην πρόκληση της εποχής.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 10:59 am**

3/Α' λυκείου

εκφώνηση
Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{x}$ για τους οποίους οι αριθμοί $\displaystyle{A=8x+1}$ και $\displaystyle{B=2x-3}$ είναι και οι δυο τέλεια τετράγωνα ακεραίων.

λύση
Έστω ότι οι ακέραιοι $\displaystyle{m,n }$ τέτοιοι ώστε

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} m^2=A =8x+1\\ n^2 =B=2x-3 \end{array}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} m^2=A =8x+1\\ 4n^2 =4B=8x-12 \end{array}} }$

οπότε

$\displaystyle{( m-2n)(m+2n) = {m^2} - {4n^2} = 8 x+1- (8x+12)=8x+1-8x+12=1+12=13}$ πρώτος

$\bullet$ $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m-2n =1}\\ {m+2n= 13} \end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 7}\\ {n= 3} \end{array}} \Rightarrow \ x=\frac{m^2-1}{8}=\frac{49-1}{8}=\frac{48}{8}=6 }$

$\bullet$ $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m-2n =-1}\\ {m+2n=- 13} \end{array}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = -7}\\ {n= -3} \end{array}} \Rightarrow \ x=\frac{48}{8}=6}$

$\bullet$ $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m-2n =13}\\ {m+2n=1} \end{array}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 7}\\ {n= -3} \end{array}} \Rightarrow x=\frac{48}{8}=6}$

$\bullet$ $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m-2n =-13}\\ {m+2n=-1} \end{array}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m =- 7}\\ {n=3} \end{array}} \Rightarrow \ x=\frac{48}{8}=6 }$

άρα $\displaystyle{x=6}$

edit
Διόρθωση κώδικα $\LaTeX$ στην σειρά που αφαιρούμε κατά μέλη, ευχαριστώ το μέλος Karanus που το πρόσεξε

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 11:14 am**

2 της Γ Λυκείου

Έστω a^2+2b=k^2

. Τότε

Τότε οι αριθμοί a,k

είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί.

$\blacksquare$ Αν a=2a_1

και

τότε

άρα

Τελικά

B=4k_1^2-(2k_1^2-2a_1^2)=2a_1^2+2k_1^2=(a_1+k_1)^2+(a_1-k_1)^2

$\blacksquare$ Αν a=2a_1+1

και

τότε

άρα

Τελικά
$\begin{aligned} B &= 4k_1^2+4k_1+1-(2k_1^2+2k_1-2a_1^2-2a_1)=2a_1^2+2a_1+2k_1^2+2k_1+1 \\ &= (a_1+k_1+1)^2+(a_1-k_1)^2\end{aligned}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 11:21 am**

1ο/ Γ’ Λυκείου

Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση $2{x^2} - 5x - 2x\sqrt {{x^2} - 5x} = 1$

Λύση

Με ${x^2} - 5x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 0\;\dot \eta \;x \ge 5$ η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

${x^2} - 5x - 2x\sqrt {{x^2} - 5x} + {x^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x^2} - 5x} - x} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow$

$\sqrt {{x^2} - 5x} - x = 1\;\left( 1 \right)\;\dot \eta \;\sqrt {{x^2} - 5x} - x = - 1\;\left( 2 \right)$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x} - x = 1\; \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x} = x + 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ge - 1}$

$\displaystyle {x^2} - 5x = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{7}$ δεκτή

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x} - x = - 1\; \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x} = x - 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ge 1}$

$\displaystyle {x^2} - 5x = {x^2} - 2x + 1 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}$ απορρίπτεται

Τελικά η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η $\displaystyle x = - \frac{1}{7}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 11:22 am**

achilleas έγραψε:ΘΕΜΑ 1/Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Με $a=\dfrac{9x^2+3x+1}{x}>0$

η δοθείσα γράφεται ισοδύναμα

$a-\dfrac{27}{a}\geq 6\iff (a-3)^2\geq 36 \iff |a-3|\geq 6$

Αλλά

$|a-3|=\Big|\dfrac{9x^2+3x+1}{x}-3\Big|=\dfrac{9x^2+1}{x}\geq 6\iff (3x-1)^2\geq 0$

με το "=" ανν .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ελάχιστα διαφορετικά από τη λύση του Αχιλλέα

Είναι $a=9x+3+\dfrac{1}{x}=3+9x+\dfrac{1}{x}\geq 3+2\sqrt{9x\dfrac{1}{x}}=9$ άρα $|a-3|\geq 6$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 11:24 am**

2/Α' λυκείου

εκφώνηση
Για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, y

και

ισχύει ότι: $\displaystyle{z=2(x+y)}$ και $\displaystyle{z=3(x-y)}$ .
(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{y < x < z}$ .
(β) Να βρείτε την τριάδα $\displaystyle{(x, y, z)}$ για την οποία: $\displaystyle{x^2+y^2+z^2=680}$ .

λύση
$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} z=2(x+y)\\ z=3(x-y) \end{array}}}$ οπότε $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \displaystyle x+y=\frac{z}{2}=\frac{3z}{6}\\ \\ \displaystyle x-y=\frac{z}{3}=\frac{2z}{6} \end{array}}}$

Αφαιρώντας , προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \displaystyle 2x=\frac{5z}{6}\\ \\ \displaystyle 2y=\frac{z}{6} \end{array}} \Leftrightarrow {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \displaystyle x=\frac{5z}{12}\\ \\ \displaystyle y=\frac{z}{12} \end{array}}}$

επειδή $\displaystyle{\frac{1}{12}<\frac{5}{12}<\frac{12}{12}}$ και $\displaystyle{z>0}$ έχουμε

$\displaystyle{\frac{z}{12}<\frac{5z}{12}<\frac{12z}{12}=z}$ οπότε $\displaystyle{y<x<z}$

$\displaystyle{x^2+y^2+z^2=680 \Rightarrow \left(\frac{5z}{12}\right)^2+\left(\frac{z}{12}\right)^2+z^2=680 }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow z^2\left(\frac{25}{12^2}+\frac{1}{12^2}+\frac{144}{12^2}\right)=680 \Leftrightarrow \frac{170}{12^2}z^2=680 \Leftrightarrow z^2=\frac{680 \cdot 12^2}{170} \Leftrightarrow z^2=4 \cdot 12^2 \Leftrightarrow z=24}$ γιατί z>0

τελικά $\displaystyle{(x,y,z)=\left(\frac{5z}{12},\frac{z}{12},z\left)=\left(\frac{5 \cdot 24}{12},\frac{24}{12},24\left)=(10,2,24)}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 11:34 am**

: Γεωμετρία Γ ΛΥΚ.png (24.44 KiB) Προβλήθηκε 6026 φορές

Εν τέλει μιλάμε για τις διαμέσους του τριγώνου KNT

... (Υπόδειξη , όχι πλήρης λύση )

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 11:49 am**

: Γεωμετρία B ΛΥΚ.png (19.18 KiB) Προβλήθηκε 5987 φορές

Ας δούμε την υπέροχη συμμετρία του σχήματος ... (Υπόδειξη , όχι πλήρης λύση )

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 11:51 am**

Πολύ καλά όλα τα θέμετα φέτος! Καλή συνέχεια σε όλους!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 12:02 pm**

ΘΕΜΑ 3/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Η δοθείσα γράφεται

$\displaystyle{4x^4+(8+4a)x^3+(a^2+8a+4)x^2+(a^3+8)x+a^2= (4x^2+8x+a^2)(x^2+ax+1)=0,}$

η οποία έχει μόνο πραγματικές ρίζες ανν οι διακρίνουσες και των δυο τριωνύμων είναι μη αρνητικές, δηλ.

ανν $64-16a^2\geq 0$ και $a^2-4\geq 0$ , δηλ. ανν $4\leq a^2\leq 4$ .

Συνεπώς, a^2=4

, οπότε $a=\pm 2$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 12:10 pm**

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά και ιδιαίτερα στα μέλη του

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 19, 2013 12:13 pm**

: Γεωμετρία A ΛΥΚ.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 5882 φορές

Το ισόπλευρο - γιατί ;- DEZ

, μπορεί άνετα να αποτελέσει το κλειδί της λύσης ...

mathematica.gr

Θαλής 2013

Θαλής 2013

Re: Θαλής 2013

Re: Θαλής 2013

ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014

Re: Θαλής 2013

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις