Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Ιούλ 27, 2013 9:38 pm

1. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι φυσικοί οι οποίοι γράφονται στην μορφή \displaystyle{\nu^4+4 } όπου \displaystyle{\nu \in \mathbb{N}}.


2. Δίνονται τρεις ασύμβατες ευθείες \displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3}. Να δειχτεί οτι :
α) υπάρχουν άπειρες ευθείες \displaystyle{\tau_i } που τέμνουν τις τρεις ασύμβατες \displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3}
και να κατασκευασθεί μια απο αυτές
β) οι ευθείες \displaystyle{\tau_i } είναι ανά δυο ασύμβατες.


3. Να δειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο ισχύει \displaystyle{\frac{U^2_{\alpha}}{\delta^2_{\alpha}}+ \frac{U^2_{\beta}}{\delta^2_{\beta}}+ \frac{U^2_{\gamma}}{\delta^2_{\gamma}}-1=2\frac{U_{\alpha}U_{\beta}U_{\gamma}}{\delta_{\alpha}\delta_{\beta}\delta_{\gamma}}}
όπου \displaystyle{U_{\alpha},U_{\beta},U_{\gamma}} ύψη του τριγώνου, αγόμενα από τις κορυφές \displaystyle{A,B,\Gamma} και \displaystyle{\delta_{\alpha},\delta_{\beta},\delta_{\gamma}} οι διχοτόμοι των γωνιών αυτών.


kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Σάβ Ιούλ 27, 2013 9:54 pm

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι φυσικοί οι οποίοι γράφονται στην μορφή \displaystyle{\nu^4+4 } όπου \displaystyle{\nu \in \mathbb{N}}.
\nu^4+4=\nu^4+4\nu^2+4-4\nu^2=\left(\nu^2+2\right)^2-\left(2\nu\right)^2=\left(\nu^2-2\nu+2\right)\left(\nu^2+2\nu+2\right).

Για να είναι φυσικός πρώτος πρέπει ο μικρότερος παράγοντας , δηλαδή ο \nu^2-2\nu+2 (αφού \nu\geq 0) , να είναι ίσος με 1.

Άρα \nu^2-2\nu+2=1 \iff \nu^2-2\nu+1=0 \iff \nu=1.

Επομένως \nu^4+4=5.


Κώστας Ζερβός
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 959
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Σάβ Ιαν 27, 2018 10:03 pm

parmenides51 έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2013 9:38 pm
3. Να δειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο ισχύει \displaystyle{\frac{U^2_{\alpha}}{\delta^2_{\alpha}}+ \frac{U^2_{\beta}}{\delta^2_{\beta}}+ \frac{U^2_{\gamma}}{\delta^2_{\gamma}}-1=2\frac{U_{\alpha}U_{\beta}U_{\gamma}}{\delta_{\alpha}\delta_{\beta}\delta_{\gamma}}}
όπου \displaystyle{U_{\alpha},U_{\beta},U_{\gamma}} ύψη του τριγώνου, αγόμενα από τις κορυφές \displaystyle{A,B,\Gamma} και \displaystyle{\delta_{\alpha},\delta_{\beta},\delta_{\gamma}} οι διχοτόμοι των γωνιών αυτών.
Η παρακάτω λύση δίνει μια ευρύτερη άποψη στο θέμα και διαφέρει από αυτήν που είναι τυπωμένη στο '' Παράρτημα του Δελτίου της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας '' του Σεπτεμβρίου-Οκτωβρίου 1967.

Θα αποδειχθεί ότι αν a+b+c=0 τότε \sigma \upsilon \nu ^{2}a+\sigma \upsilon \nu ^{2}b+\sigma \upsilon \nu ^{2}c-1=2\cdot \sigma \upsilon \nu a \cdot \sigma \upsilon \nu b\cdot \sigma \upsilon \nu c

Πράγματι

a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\Rightarrow \sigma \upsilon \nu\left ( a+b \right )=\sigma \upsilon \nu\left ( -c \right )\Rightarrow \sigma \upsilon \nu\left ( a+b \right )=\sigma \upsilon \nu c\Rightarrow

\sigma \upsilon \nu a\cdot \sigma \upsilon \nu b - \eta \mu  a \cdot \eta \mu b =\sigma \upsilon \nu c\Rightarrow\sigma \upsilon \nu a\cdot \sigma \upsilon \nu b -\sigma \upsilon \nu c= \eta \mu  a \cdot \eta \mu b \Rightarrow

 \left ( \sigma \upsilon \nu a\cdot \sigma \upsilon \nu b - \sigma \upsilon \nu c  \right )^{2}=\left (\eta \mu  a \cdot \eta \mu b   \right )^{2}\Rightarrow

\sigma \upsilon \nu ^{2}a\cdot \sigma \upsilon \nu ^{2}b-2\cdot \sigma \upsilon \nu a\cdot \sigma \upsilon \nu b\cdot \sigma \upsilon \nu c+\sigma \upsilon \nu ^{2}c=\eta \mu ^{2}a\cdot \eta \mu ^{2}b\Rightarrow

\sigma \upsilon \nu ^{2}a\cdot \sigma \upsilon \nu ^{2}b-2\cdot \sigma \upsilon \nu a\cdot \sigma \upsilon \nu b\cdot \sigma \upsilon \nu c+\sigma \upsilon \nu ^{2}c=\left ( 1-\sigma \upsilon \nu ^{2}a \right )\left ( 1-\sigma \upsilon \nu ^{2}b \right )\Rightarrow

\sigma \upsilon \nu ^{2}a\cdot \sigma \upsilon \nu ^{2}b-2\cdot \sigma \upsilon \nu a\cdot \sigma \upsilon \nu b\cdot \sigma \upsilon \nu c+\sigma \upsilon \nu ^{2}c=1-\sigma \upsilon \nu ^{2}a-\sigma \upsilon \nu ^{2}b+\sigma \upsilon \nu ^{2}a\cdot \sigma \upsilon \nu ^{2}b\Rightarrow

\sigma \upsilon \nu ^{2}a+\sigma \upsilon \nu ^{2}b+\sigma \upsilon \nu ^{2}c-1=2\cdot \sigma \upsilon \nu a \cdot \sigma \upsilon \nu b\cdot \sigma \upsilon \nu c


Aυτό που γράφεται στα σχολικά βιβλία γεωμετρίας , είτε ως εφαρμογή είτε ως άσκηση , είναι το εξής: Σε τρίγωνο AB\Gamma δίνεται ότι \hat{B}> \hat{\Gamma }. H γωνία του ύψους και της διχοτόμου που αντιστοιχούν στην πλευρά a είναι ίση με \displaystyle \frac{\hat{B}- \hat{\Gamma }}{2}. Aν ήταν \hat{B}< \hat{\Gamma } τότε η γωνία αυτή είναι ίση με \displaystyle \frac{\hat{\Gamma}- \hat{B }}{2}.
Η απόδειξη υπάρχει τυπωμένη στα σχολικά βιβλία , δεν είναι δυσνόητη και γι' αυτό την παραλείπω.Αν ήμουν εξεταζόμενος του μακρινού 1967 θα την έγραφα με κάθε λεπτομέρεια για να είμαι βέβαιος ότι θα τύχω δίκαιης διόρθωσης...
Σε κάθε περίπτωση πάντως μπορεί άφοβα να γραφεί ότι
 \displaystyle \sigma \upsilon \nu  \frac{\hat{B}- \hat{\Gamma }}{2}=\frac{\upsilon _{\alpha }}{\delta _{\alpha }}
όπως εύκολα προκύπτει από το σχηματιζόμενο ορθογώνιο τρίγωνο.

Για να μη γράφω πολλά και σας κουράζω , με αντίστοιχες σκέψεις προκύπτει ότι
 \displaystyle \sigma \upsilon \nu  \frac{\hat{\Gamma}- \hat{A }}{2}=\frac{\upsilon _{\beta }}{\delta _{ \beta}}
και ότι
 \displaystyle \sigma \upsilon \nu  \frac{\hat{A}- \hat{B }}{2}=\frac{\upsilon _{\gamma }}{\delta _{ \gamma}}

Είναι τελείως ευκολονόητο ότι

\displaystyle \frac{\hat{B}- \hat{\Gamma }}{2}+\frac{\hat{\Gamma}- \hat{A }}{2}+\frac{\hat{A}- \hat{B }}{2}=0

Έτσι μπορεί να γραφεί ότι

\displaystyle\sigma \upsilon \nu^{2}  \frac{\hat{B}- \hat{\Gamma }}{2}+\sigma \upsilon \nu ^{2} \frac{\hat{\Gamma}- \hat{A }}{2}+\sigma \upsilon \nu^{2}  \frac{\hat{A}- \hat{B }}{2}-1=2\cdot \sigma \upsilon \nu  \frac{\hat{B}- \hat{\Gamma }}{2}\cdot \sigma \upsilon \nu  \frac{\hat{\Gamma}- \hat{A }}{2}\cdot\sigma \upsilon \nu  \frac{\hat{A}- \hat{B }}{2}

και πλέον η ζητούμενη ισότητα

\displaystyle{\frac{U^2_{\alpha}}{\delta^2_{\alpha}}+ \frac{U^2_{\beta}}{\delta^2_{\beta}}+ \frac{U^2_{\gamma}}{\delta^2_{\gamma}}-1=2\frac{U_{\alpha}U_{\beta}U_{\gamma}}{\delta_{\alpha}\delta_{\beta}\delta_{\gamma}}}

προκύπτει εύκολα με αντικαταστάσεις...

Η παραπάνω ιδέα μου ήλθε την πρώτη ώρα της Τετάρτης 24 Ιανουαρίου 2018 , όπου δεν είχα μάθημα και ήμουν στο γραφείο των καθηγητών...
Είχα πάει στο σχολείο πριν τις οκτώ , όπως πάντα , και είδα το θέμα μετά την προσευχή καθώς είχα ησυχία αφού οι πιο πολλοί συνάδελφοι είχαν πάει για μάθημα...


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1926
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τρί Ιαν 30, 2018 10:14 am

parmenides51 έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2013 9:38 pm
1........

2. Δίνονται τρεις ασύμβατες ευθείες \displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3}. Να δειχτεί οτι :
α) υπάρχουν άπειρες ευθείες \displaystyle{\tau_i } που τέμνουν τις τρεις ασύμβατες \displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3}
και να κατασκευασθεί μια απο αυτές
β) οι ευθείες \displaystyle{\tau_i } είναι ανά δυο ασύμβατες.


3........
Τηλέμαχε καλημέρα!

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Τρείς ασύμβατες 1.png
Τρείς ασύμβατες 1.png (65.52 KiB) Προβλήθηκε 930 φορές
Θεωρούμε τις ασύμβατες ευθείες \displaystyle{e_1,e_2,e_3}(τις κόκκινες), οι οποίες τέμνουν για καλύτερη απεικόνιση ένα επίπεδο
\displaystyle{(p)}, αντίστοιχα στα σημεία \displaystyle{A,B,C}

α) Αν θεωρήσουμε ένα τυχαίο σημείο \displaystyle{M} επί της \displaystyle{e_1} και λάβουμε το επίπεδο \displaystyle{(p_1)} το οποίο ορίζεται από
το σημείο αυτό και την \displaystyle{(e_2)}, τότε το επίπεδο αυτό θα τέμνει γενικά την \displaystyle{(e_3)} σε ένα σημείο \displaystyle{N}.

Αν ενώσουμε στη συνέχεια τα σημεία \displaystyle{M,N} τότε προκύπτει μια ευθεία, η \displaystyle{(\tau_M)} (η πράσινη), η οποία θα τέμνει γενικά την
\displaystyle{(e_2)} σε ένα σημείο, έστω το \displaystyle{S}, διότι τα σημεία αυτά και η \displaystyle{(e_2)} ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, το \displaystyle{(p_1)}.
Έτσι λοιπόν βρέθηκε μια ευθεία που τέμνει τις τρεις αυτές ασύμβατες. Μεταβάλλοντας τώρα το σημείο \displaystyle{M} επί της ευθείας \displaystyle{(e_1)}
έχουμε απειρία τέτοιων ευθειών.

β) Οι ευθείες \displaystyle{\tau_M} είναι ανά δύο ασύμβατεες διότι αν δύο από αυτές, έστω η \displaystyle{\tau_{M_1}} που θα περιείχε τα σημεία \displaystyle{M_1,N_1,S_1}
και η \displaystyle{\tau_{M_2}} η οποία θα περιείχε τα σημεία \displaystyle{M_2,N_2,S_2}, ήταν συνεπίπεδες τότε και τα σημεία \displaystyle{M_1,M_2,N_1,N_2,S_1,S_2}
θα ήταν συνεπίπεδα και συνεπώς και οι \displaystyle{e_1,e_2,e_3} θα ήταν συνεπίπεδες, δηλαδή άτοπο.

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Τρί Ιαν 30, 2018 1:05 pm

KDORTSI έγραψε:
Τρί Ιαν 30, 2018 10:14 am
parmenides51 έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2013 9:38 pm
1........

2. Δίνονται τρεις ασύμβατες ευθείες \displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3}. Να δειχτεί οτι :
α) υπάρχουν άπειρες ευθείες \displaystyle{\tau_i } που τέμνουν τις τρεις ασύμβατες \displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3}
και να κατασκευασθεί μια απο αυτές
β) οι ευθείες \displaystyle{\tau_i } είναι ανά δυο ασύμβατες.


3........
Τηλέμαχε καλημέρα!

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Τρείς ασύμβατες 1.png
Θεωρούμε τις ασύμβατες ευθείες \displaystyle{e_1,e_2,e_3}(τις κόκκινες), οι οποίες τέμνουν για καλύτερη απεικόνιση ένα επίπεδο
\displaystyle{(p)}, αντίστοιχα στα σημεία \displaystyle{A,B,C}

α) Αν θεωρήσουμε ένα τυχαίο σημείο \displaystyle{M} επί της \displaystyle{e_1} και λάβουμε το επίπεδο \displaystyle{(p_1)} το οποίο ορίζεται από
το σημείο αυτό και την \displaystyle{(e_2)}, τότε το επίπεδο αυτό θα τέμνει γενικά την \displaystyle{(e_3)} σε ένα σημείο \displaystyle{N}.

Αν ενώσουμε στη συνέχεια τα σημεία \displaystyle{M,N} τότε προκύπτει μια ευθεία, η \displaystyle{(\tau_M)} (η πράσινη), η οποία θα τέμνει γενικά την
\displaystyle{(e_2)} σε ένα σημείο, έστω το \displaystyle{S}, διότι τα σημεία αυτά και η \displaystyle{(e_2)} ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, το \displaystyle{(p_1)}.
Έτσι λοιπόν βρέθηκε μια ευθεία που τέμνει τις τρεις αυτές ασύμβατες. Μεταβάλλοντας τώρα το σημείο \displaystyle{M} επί της ευθείας \displaystyle{(e_1)}
έχουμε απειρία τέτοιων ευθειών.

β) Οι ευθείες \displaystyle{\tau_M} είναι ανά δύο ασύμβατεες διότι αν δύο από αυτές, έστω η \displaystyle{\tau_{M_1}} που θα περιείχε τα σημεία \displaystyle{M_1,N_1,S_1}
και η \displaystyle{\tau_{M_2}} η οποία θα περιείχε τα σημεία \displaystyle{M_2,N_2,S_2}, ήταν συνεπίπεδες τότε και τα σημεία \displaystyle{M_1,M_2,N_1,N_2,S_1,S_2}
θα ήταν συνεπίπεδα και συνεπώς και οι \displaystyle{e_1,e_2,e_3} θα ήταν συνεπίπεδες, δηλαδή άτοπο.

Κώστας Δόρτσιος
Θα μπορούσαμε αντί να μεταβάλλουμε το σημείο Μ, να κάνουμε μια πλήρη περιστροφή του επιπέδου (p_1) με σταθερό άξονα την ευθεία (e_2) .Έτσι από κάθε σημείο M' επί της ευθείας (e_1) διέρχεται μοναδική ευθεία \displaystyle{(\tau_{M'})}
ομοίως για κάθε σημείο N' επί της (e_3) διέρχεται μοναδική \displaystyle{(\tau_{N'})}
Θεωρώντας επίπεδο (p_2) με την e_1 (ή την e_2) να ανήκει σε αυτό κάνουμε πλήρη περιστροφή όπως παραπάνω.
Έτσι θα προκύψει ο γεωμετρικός τόπος των ζητούμενων ευθειών.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1926
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τρί Ιαν 30, 2018 5:38 pm

mikemoke έγραψε:
Τρί Ιαν 30, 2018 1:05 pm
KDORTSI έγραψε:
Τρί Ιαν 30, 2018 10:14 am
parmenides51 έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2013 9:38 pm
1........

2. Δίνονται τρεις ασύμβατες ευθείες \displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3}. Να δειχτεί οτι :
α) υπάρχουν άπειρες ευθείες \displaystyle{\tau_i } που τέμνουν τις τρεις ασύμβατες \displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3}
και να κατασκευασθεί μια απο αυτές
β) οι ευθείες \displaystyle{\tau_i } είναι ανά δυο ασύμβατες.


3........
Τηλέμαχε καλημέρα!


.............
Θα μπορούσαμε αντί να μεταβάλλουμε το σημείο Μ, να κάνουμε μια πλήρη περιστροφή του επιπέδου (p_1) με σταθερό άξονα την ευθεία (e_2) .Έτσι από κάθε σημείο M' επί της ευθείας (e_1) διέρχεται μοναδική ευθεία \displaystyle{(\tau_{M'})}
ομοίως για κάθε σημείο N' επί της (e_3) διέρχεται μοναδική \displaystyle{(\tau_{N'})}
Θεωρώντας επίπεδο (p_2) με την e_1 (ή την e_2) να ανήκει σε αυτό κάνουμε πλήρη περιστροφή όπως παραπάνω.
Έτσι θα προκύψει ο γεωμετρικός τόπος των ζητούμενων ευθειών.
Ναί. Αν έτσι περίπου εργαστούμε τότε προκύπτει
η ακόλουθη ευθειογενής επιφάνεια, πάνω στην οποία
κινούνται οι ζητούμενες ευθείες.

Ασύμβατες4.png
Ασύμβατες4.png (160.24 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές
Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1926
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Φεβ 01, 2018 12:11 am

KDORTSI έγραψε:
Τρί Ιαν 30, 2018 5:38 pm
mikemoke έγραψε:
Τρί Ιαν 30, 2018 1:05 pm
KDORTSI έγραψε:
Τρί Ιαν 30, 2018 10:14 am
parmenides51 έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2013 9:38 pm
1........

2. Δίνονται τρεις ασύμβατες ευθείες \displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3}. Να δειχτεί οτι :
α) υπάρχουν άπειρες ευθείες \displaystyle{\tau_i } που τέμνουν τις τρεις ασύμβατες \displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3}
και να κατασκευασθεί μια απο αυτές
β) οι ευθείες \displaystyle{\tau_i } είναι ανά δυο ασύμβατες.


3........
Τηλέμαχε καλημέρα!


.............
Θα μπορούσαμε αντί να μεταβάλλουμε το σημείο Μ, να κάνουμε μια πλήρη περιστροφή του επιπέδου (p_1) με σταθερό άξονα την ευθεία (e_2) .Έτσι από κάθε σημείο M' επί της ευθείας (e_1) διέρχεται μοναδική ευθεία \displaystyle{(\tau_{M'})}
ομοίως για κάθε σημείο N' επί της (e_3) διέρχεται μοναδική \displaystyle{(\tau_{N'})}
Θεωρώντας επίπεδο (p_2) με την e_1 (ή την e_2) να ανήκει σε αυτό κάνουμε πλήρη περιστροφή όπως παραπάνω.
Έτσι θα προκύψει ο γεωμετρικός τόπος των ζητούμενων ευθειών.
Ναί. Αν έτσι περίπου εργαστούμε τότε προκύπτει
η ακόλουθη ευθειογενής επιφάνεια, πάνω στην οποία
κινούνται οι ζητούμενες ευθείες.




Κώστας Δόρτσιος
Επανέρχομαι στο ανωτέρω πρόβλημα θέτοντας ένα νέο ερώτημα.

Όπως φαίνεται από το σχήμα της προηγούμενης ανάρτησης η επιφάνεια πάνω στην οποία
ανήκουν όλες οι ευθείες που τέμνουν τις τρεις δοθείσες ασύμπτωτες ανα δύο ευθείες \displaystyle{e_1,e_2, e_3}
είναι μια ευθειογενής επιφάνεια και μάλιστα ένα μονόχωνο υπερβολοειδές.
Από τα αποτελέσματα του λογισμικού παρατηρείται ότι πάνω στην επιφάνεια αυτή ανήκουν και οι τρείς
δοθείσες ασύμβατες.
Έτσι πειραματίστηκα παίρνοντας πάνω σε ένα τέτοιο υπερβολοειδές τις τρείς ασύμβατες ευθείες(τις κόκκινες), όπως φαίνονται στο
ακόλουθο σχήμα.
ασύμβατες 5.png
ασύμβατες 5.png (61.28 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές
Τότε το λογισμικό μου έδωσε την τέμνουσα αυτών \displaystyle{MSN} να ανήκει στο ίδιο υπερβολοειδές!
Όλα αυτά όμως είναι παρατηρήσεις και μάλιστα χρήσιμες. Όχι αποδείξεις!
Το ερώτημα λοιπόν είναι:
"Μπορούμε να δείξουμε ότι πάντα τρεις ασύμβατες ανά δύο ευθείς ανήκουν σε ένα μονόχωνο υπερβολοειδές, και μάλιστα
να προδιορίσουμε την αναλυτική ή άλλη μορφή αυτού;"

Αν απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό τότε πρέπει να δείξουμε ακόμα ότι και η κοινή τους τέμνουσα \displaystyle{MSN} θα ανήκει στο ίδιο υπερβολοειδές.
Αναμένεται απάντηση...

Κώστας Δόρτσιος


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 959
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Μαρ 16, 2020 10:54 am

parmenides51 έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2013 9:38 pm

3. Να δειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο ισχύει \displaystyle{\frac{U^2_{\alpha}}{\delta^2_{\alpha}}+ \frac{U^2_{\beta}}{\delta^2_{\beta}}+ \frac{U^2_{\gamma}}{\delta^2_{\gamma}}-1=2\frac{U_{\alpha}U_{\beta}U_{\gamma}}{\delta_{\alpha}\delta_{\beta}\delta_{\gamma}}}
όπου \displaystyle{U_{\alpha},U_{\beta},U_{\gamma}} ύψη του τριγώνου, αγόμενα από τις κορυφές \displaystyle{A,B,\Gamma} και \displaystyle{\delta_{\alpha},\delta_{\beta},\delta_{\gamma}} οι διχοτόμοι των γωνιών αυτών.
Το θέμα αυτό προτάθηκε για λύση στο 1ο τεύχος των Mathematical Reflections του 2020 ως S 508. Το πρότεινε ο Nguyen Viet Hung από το Hanoi University of Science του Βιετνάμ.
Τα θέματα που δέχονται οι Reflections για δημοσίευση τα θέλουν πρωτότυπα...
Πώς να ξέρουν ότι στην μακρινή Ελλάδα του 1967 κάτι τέτοιο είχε πέσει στον διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας;
Πως να ξέρει κάτι τέτοιο ο Nguyen Viet Hung;
Είναι αδύνατον...
Μέσα στους ωκεανούς των θεμάτων θα ξεφύγει κάποια σταγόνα...
Ωραίο θέμα πάντως...


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 959
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Μάιος 04, 2020 6:11 pm

page10_1.png
page10_1.png (1.37 MiB) Προβλήθηκε 151 φορές
Oι λύσεις του πρώτου τεύχους του Mathematical Reflections δημοσιεύτηκαν χθες 3-5-2020.
Νομίζω ότι είναι καλό να δείτε την λύση τους στο συγκεκριμένο θέμα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες