Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 ΣΤ' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 ΣΤ' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Ιούλ 21, 2013 11:45 am

1. Δίνεται η γωνία \displaystyle{\widehat{BA\Gamma}=\phi} και σημείο \displaystyle{O} επί της πλευράς \displaystyle{AB} που βρίσκεται σε απόσταση \displaystyle{(OH)=\upsilon} από την πλευρά \displaystyle{A\Gamma}.
Να βρεθεί πάνω στην \displaystyle{A\Gamma} σημείο \displaystyle{M} τέτοιο ώστε ο λόγος του τετραγώνου της απόστασης \displaystyle{(OM)} προς
την απόσταση \displaystyle{(MP)} του \displaystyle{M} από την \displaystyle{AB} να είναι ίσος με δεδομένο αριθμό \displaystyle{2\kappa}. (Διερεύνηση)


2. Να δειχτεί οτι ο όγκος τριγωνικής πυραμίδας ισούται με το \displaystyle{ \frac{1}{6}} του γινομένου της ελάχιστης απόστασης δυο απέναντι ακμών της
επί το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει πλευρές αντίστοιχα ίσες και παράλληλες προς τις δυο αυτές ακμές.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1138
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 ΣΤ' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Απρ 04, 2020 11:51 pm

parmenides51 έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2013 11:45 am

2. Να δειχτεί οτι ο όγκος τριγωνικής πυραμίδας ισούται με το \displaystyle{ \frac{1}{6}} του γινομένου της ελάχιστης απόστασης δυο απέναντι ακμών της
επί το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει πλευρές αντίστοιχα ίσες και παράλληλες προς τις δυο αυτές ακμές.
pmdm_1938_39_st_praktikou_pr2.png
pmdm_1938_39_st_praktikou_pr2.png (88.43 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές

Έστω ABCD η τριγωνική πυραμίδα. Σε επίπεδο παράλληλο προς την ακμή DA που περιέχει την ακμή BC κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο BCEZ, με EC=|| DA και EZ=||CB. Με δεδομένο αυτό το παραλληλόγραμμο και την πυραμίδα, κατασκευάζουμε το παραλληλελεπίπεδο BCEZHDAI και έστω V ο όγκος του.

Ο όγκος της πρυαμίδας DABC θα είναι V_{DABC} = \dfrac{1}{6} V = S_{BCEZ} \cdot h όπου h το ύψος του παραλληλεπιπέδου. Όμως από την κατασκευή μας h=KL, όπου KL το τμήμα ελάχιστης απόστασης. Το τμήμα αυτό είναι κάθετο στις δυο απένταντι έδρες του παραλληλεπιπεδου.

Δηλαδή V_{DABC}= \dfrac{1}{6} S_{BCEZ} \cdot KL, που είναι το ζητούμενο. Να σημειώσουμε ότι η σχέση αυτή για τον όγκο τριγωνικής πυραμίδας (τετράεδρου) αναφέρεται συχνά ως σχέση Servois.


Ας δούμε άλλη μια σχέση για τον όγκο τετρέδρου. Θα προσπαθήσουμε να την εξάγουμε από την παραπάνω σχέση. Προκύπτει εύκολα αλλιώς, αλλά ως άσκηση ας το τολμήσουμε.

\displaystyle{6V_{DABC} = |\overrightarrow{KL}| \cdot | \left (\overrightarrow{EC} \times \overrightarrow{CB} \right )|=|\overrightarrow{KL}| \cdot |\overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB}|=\left (\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DK}-\overrightarrow{LC} \right )\cdot \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB} \right )=}

=\overrightarrow{DC} \cdot \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB}\right ) - \overrightarrow{DK} \cdot \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB}\right ) - \overrightarrow{LC} \cdot \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB}\right )  ,

όμως \overrightarrow{DK} \perp \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB} \right ) και \overrightarrow{LC} \perp  \left (\overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB} \right ). Οπότε έχουμε

6V_{DABC} = \overrightarrow{DC} \cdot \left ( \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{CB}\right ) =

= \overrightarrow{DA} \cdot \left ( \overrightarrow{CB} \times \overrightarrow{DC} \right ) =

= \overrightarrow{DA} \cdot \left (\left ( \overrightarrow{DB} -\overrightarrow{DC} \right ) \times \overrightarrow{DC} \right ) =

= \overrightarrow{DA} \cdot \left (-\overrightarrow{DC} \times \left ( \overrightarrow{DB} -\overrightarrow{DC}\right ) \right) =

= \overrightarrow{DA} \cdot \left ( -\overrightarrow{DC} \times \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} \times \overrightarrow{DC} \right) =

=\overrightarrow{DA} \cdot \left ( \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC} \right ) \Rightarrow

\displaystyle{V_{DABC}= \dfrac{1}{6} \overrightarrow{DA} \cdot \left ( \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC} \right ) \Rightarrow }

Δηλαδή ο όγκος ενός τετράεδρου είναι ίσος με το υποεξαπλάσιο του τριπλού γινομένου των διανυσμάτων με αρχή μια κορυφή αυτού και πέρας τις υπόλοιπες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες