Προκριματικός 2013

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

kleovoulos
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 02, 2012 3:12 pm
Τοποθεσία: Κολινδρός Πιερίας
Επικοινωνία:

Re: Προκριματικός 2013

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kleovoulos » Σάβ Απρ 20, 2013 6:03 pm

Broly έγραψε:
jim.jt έγραψε:Μικροί

Να βρεθεί ο κύβος του αριθμού N, όπου

N=\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3...}}}}}}

Έχουμε N^2=7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3...}}}}}} ή N^2=7\sqrt{3N} ή N^4=7^2*3N , άρα N^3=49*3=147 .

Δεν είμαι σίγουρος για την λύση.μπορεί να είναι και λάθος.
Σωστή είναι. Θεωρητικά έχουμε N^4=7^2*3N και N \neq 0. Άρα N^3=147


Κλεόβουλος Κοφονικόλας
Alex1994
Δημοσιεύσεις: 80
Εγγραφή: Τρί Μαρ 15, 2011 7:48 pm

Re: Προκριματικός 2013

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Alex1994 » Δευ Απρ 22, 2013 2:41 am

Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες ως εξής: μαύρα άμα και οι δύο συντεταγμένες είναι άρτιες και άσπρα σε κάθε άλλη περίπτωση. Έστω P ένα πολύγωνο (όχι απαραίτητα κυρτό, αλλά δεν τέμνει τον εαυτό του) με μαύρες κορυφές. Να δειχθεί ότι κάθε άσπρο σημείο στο εσωτερικό του P ή πάνω στις πλευρές του είναι το μέσο δύο μαύρων σημείων στο εσωτερικό του P ή πάνω στις πλευρές του.


kleovoulos
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 02, 2012 3:12 pm
Τοποθεσία: Κολινδρός Πιερίας
Επικοινωνία:

Re: Προκριματικός 2013

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kleovoulos » Παρ Απρ 26, 2013 2:03 pm

Αύριο ο Προκριματικός. Καλή επιτυχία από εμένα στους συμμετέχοντες!


Κλεόβουλος Κοφονικόλας
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8543
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Προκριματικός 2013

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Απρ 26, 2013 4:17 pm

Alex1994 έγραψε:Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες ως εξής: μαύρα άμα και οι δύο συντεταγμένες είναι άρτιες και άσπρα σε κάθε άλλη περίπτωση. Έστω P ένα πολύγωνο (όχι απαραίτητα κυρτό, αλλά δεν τέμνει τον εαυτό του) με μαύρες κορυφές. Να δειχθεί ότι κάθε άσπρο σημείο στο εσωτερικό του P ή πάνω στις πλευρές του είναι το μέσο δύο μαύρων σημείων στο εσωτερικό του P ή πάνω στις πλευρές του.
Παίρνοντας την κυρτή θήκη του P μπορώ να υποθέσω ότι το P είναι κυρτό. Επιπλέον, χωρίζοντάς το σε τρίγωνα με κορυφές τις κορυφές P, μπορώ να υποθέσω ότι είναι τρίγωνο. Αν το P περιέχει ένα μαύρο σημείο είτε στην κορυφή είτε στις ακμές του πέραν των κορυφών του, τότε μπορώ να το μοιράσω σε 4 ή 2 τρίγωνα αντίστοιχα με μαύρες κορυφές και να πάρω αυτό που περιέχει το σημείο. Επομένως μπορώ να υποθέσω πως τα μόνα μαύρα σημεία του P είναι οι κορυφές του.

Θεωρώντας το πολύγωνο P' που περιέχει το σημείο (x,y) αν και μόνο αν το P περιέχει το (x',y') παρατηρώ ότι το εμβαδόν του P ισούται με 4(0 + 3/2 - 1) = 2. Εφαρμόζοντας τώρα πάλι το θεώρημα του Pick αλλά στο P βλέπω ότι i+b/2 = 3, όπου i ο αριθμός των εσωτερικών και b ο αριθμός των περιμετρικών σημείων του P με ακέραιες συντεταγμένες. Επειδή όμως b \geqslant 6 αφού το P έχει τις τρεις μαύρες κορυφές και τα τρία άσπρα μέσα των πλευρών, πρέπει i=0,b=6. Τότε όμως τα μόνα άσπρα σημεία του P είναι τα μέσα των πλευρών τα οποία προφανώς είναι τα μέσα δύο μαύρων σημείων.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 789
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Προκριματικός 2013

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Νοέμ 21, 2020 7:54 pm

Antonis_Z έγραψε:
Δευ Απρ 01, 2013 1:51 am
Άσκηση 6:(μεγάλοι μάλλον)

Λύστε στους ακεραίους την εξίσωση x^3=y^2+1.
Επιτρέπεται και η αλγεβρική θεωρία αριθμών
Δίνω μία λύση για αυτή που από ότι βλέπω έμεινε άλυτη

Δουλεύω στο \mathbb{Z} [ i ] που είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποιήσης.
x^3=(y+i)(y-i).
Για αρχή θα δείξω ότι οι y+i,y-i είναι σχετικά πρώτοι.
Έστω d\in \mathbb{Z} [ i ] με d\mid y+i,y-i\Rightarrow d\mid 2y,d\mid 2i οπότε N(d)\mid 4y^2,4,y^2+1
Άρα N(d)=4,2,1 ,αν N(d)=4 τότε y^2=3\pmod 4 άτοπο.An N(d)=2 τότε 2|y^2+1 άρα y περιττός και η αρχική δίνει 2 |x .Η αρχική \pmod 4 τώρα δίνει 0=2\pmod 4 άτοπο!
Άρα N(d)=1 δηλαδή d είναι unit όπως θέλαμε.
Οπότε υπάρχουν a,b\in \mathbb{Z} με y+i=(a+bi)^3 και εξισώνοντας φανταστικό και πραγματικό μέρος παίρνω
3a^2b-b^3=1,a^3-3ab^2=y .Άρα b|1 δηλαδή b=\pm 1
Αν b=1 τότε 3a^2=2 άτοπο.Άρα b=-1 και 3a^2(-1)+1=1\Leftrightarrow a=0 άρα από την δεύτερη σχέση έχω y=0
Για y=0 η αρχική γίνεται x^3=1 άρα μόνη λύση η (x,y)=(1,0)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες