Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6239
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Δεκ 29, 2012 6:47 pm

1. Θεωρούμε τμήμα \displaystyle{AB} και σημείο του \displaystyle{\Gamma}. Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{B\Gamma M} (\displaystyle{\widehat{M}=90^o}).
Έστω \displaystyle{O} το σημείο που το τμήμα \displaystyle{AM} τέμνεται από την ευθεία που περνά από το \displaystyle{\Gamma} και είναι παράλληλη στην \displaystyle{BM}.
Να δείξετε οτι το σημείο \displaystyle{O} ανήκει σε σταθερό κύκλο, του οποίου να υπολογίσετε την ακτίνα.


2. Θεωρούμε \displaystyle{5}-γωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο που οι πλευρές του έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς, ενώ η περίμετρός του είναι άρτιος αριθμός.
Να δείξετε ότι τα τμήματα στα οποία οι πλευρές του χωρίζονται από τα σημεία επαφής, έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς.


3. Για ποίες τιμές του \displaystyle{\gamma} υπάρχει μια τουλάχιστον τιμή του \displaystyle{\alpha}, ώστε για κάθε τιμή του \displaystyle{\beta} το σύστημα \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\alpha x+ 3y=2\beta^2\\  
3 x+ \alpha y=\beta\gamma+2 
\end{matrix}\right}} να έχει λύση;


4. Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\left(\frac{x}{x+1}\right)^2+\left(\frac{x}{x-1}\right)^2= \nu (\nu -1)} όπου \displaystyle{\nu} φυσικός, \displaystyle{\nu \ge 2}.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15536
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 30, 2012 12:20 am

parmenides51 έγραψε:1. Θεωρούμε τμήμα \displaystyle{AB} και σημείο του \displaystyle{\Gamma}. Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{B\Gamma M} (\displaystyle{\widehat{M}=90^o}).
Έστω \displaystyle{O} το σημείο που το τμήμα \displaystyle{AM} τέμνεται από την ευθεία που περνά από το \displaystyle{\Gamma} και είναι παράλληλη στην \displaystyle{BM}.
Να δείξετε οτι το σημείο \displaystyle{O} ανήκει σε σταθερό κύκλο, του οποίου να υπολογίσετε την ακτίνα.
1986.png
1986.png (11.43 KiB) Προβλήθηκε 1119 φορές
Προφανώς το M κινείται σε κύκλο , διαμέτρου CB και κέντρου K (το μέσο της CB ) .
Φέρω τμήμα OL//MK . Είναι : \displaystyle\frac{AC}{AB}=\frac{AO}{AM}=\frac{OL}{MK}=k\Leftrightarrow OL=k\cdot MK=k\frac{CB}{2} .

(Κύκλος (ολόκληρος) με κέντρο L και ακτίνα \displaystyle k\frac{CB}{2} )


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6239
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Απρ 24, 2013 9:40 pm

parmenides51 έγραψε:4. Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\left(\frac{x}{x+1}\right)^2+\left(\frac{x}{x-1}\right)^2= \nu (\nu -1)} όπου \displaystyle{\nu} φυσικός, \displaystyle{\nu \ge 2}.
εδώ

΄
Υ.Γ. Άλλες άλυτες εδώ


kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Τετ Μάιος 01, 2013 12:33 am

Για να μην μένουν άλυτες...
Για το 2.
parmenides51 έγραψε:Θεωρούμε \displaystyle{5}-γωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο που οι πλευρές του έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς, ενώ η περίμετρός του είναι άρτιος αριθμός.
Να δείξετε ότι τα τμήματα στα οποία οι πλευρές του χωρίζονται από τα σημεία επαφής, έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς.
ask23.png
ask23.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 983 φορές
Αν a\;,\;b\;,\;c\;.\;,\;d\;,\;e\in Z τα μήκη των πλευρών του και a_1\;,\;1_2\;,\;b_1\;,\;b_2\;,\;c_1\;,\;c_2\;.\;,\;d_1\;,\;d_2\;,\;e_1\;,\;e_2 τα τμήματα στα οποία οι πλευρές του χωρίζονται από τα σημεία επαφής αντίστοιχα (όπως στο σχήμα) , τότε a_1=e_2\;,\;a_2=b_1\;,\;b_2=c_1\;,\;c_2=d_1\;,\;d_2=e_1 (1).

Είναι a+b+c+d+e=2k , όπου k\in Z , άρα , λόγω της (1) , 2a_1+2b_1+2c_1+2d_1+2e_1=2k \Leftrightarrow a_1+b_1+c_1+d_1+e_1=k (2).

Αλλά a_1+b_1=a_1+a_2=a και c_1+d_1=c_1+c_2=c , επομένως e_1=k-a-c\in Z . Όμοια και τα υπόλοιπα.


Κώστας Ζερβός
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6470
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Οκτ 03, 2024 11:17 pm

parmenides51 έγραψε:
Σάβ Δεκ 29, 2012 6:47 pm
3. Για ποίες τιμές του \displaystyle{\gamma} υπάρχει μια τουλάχιστον τιμή του \displaystyle{\alpha}, ώστε για κάθε τιμή του \displaystyle{\beta} το σύστημα \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\alpha x+ 3y=2\beta^2\\  
3 x+ \alpha y=\beta\gamma+2 
\end{matrix}\right}} να έχει λύση;
Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 16242
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1986

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 04, 2024 9:46 am

socrates έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2024 11:17 pm
parmenides51 έγραψε:
Σάβ Δεκ 29, 2012 6:47 pm
3. Για ποίες τιμές του \displaystyle{\gamma} υπάρχει μια τουλάχιστον τιμή του \displaystyle{\alpha}, ώστε για κάθε τιμή του \displaystyle{\beta} το σύστημα \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\alpha x+ 3y=2\beta^2\\  
3 x+ \alpha y=\beta\gamma+2 
\end{matrix}\right}} να έχει λύση;
Επαναφορά!
Ίσως χάνω κάτι ή το θέμα δεν έχει διατυπωθεί σωστά ή δεν έχει αποδοθεί σωστά: Αν πάρουμε \alpha τέτοιο ώστε η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική, π.χ. \alpha =1, τότε το \alpha αυτό κάνει για ΟΛΑ τα \gamma, και όλα τα \beta.

Με άλλα λόγια, για οποιοδήποτε \gamma υπάρχει \alpha, το \alpha = 1 κάνει για όλα, τέτοιο ώστε το σύστημα

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x+ 3y=2\beta^2\\  
3 x+  y=\beta\gamma+2 
\end{matrix}\right}}

έχει λύση για κάθε \displaystyle{\beta}.

Απόδειξη; Προφανής. Μπορώ άλλωστε να γράψω την λύση συναρτήσει των \beta, \gamma. Είναι (λύνω) η

x= \dfrac {-2\beta ^2 +3\beta \gamma +6}{8}, \, y= \dfrac {6\beta ^2 -\beta \gamma -2  }{8}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης