ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Δεκ 15, 2012 9:39 am

1. Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακεραίου n για τις οποίες ο αριθμός \displaystyle{A = \sqrt {\frac {9n - 1}{n + 7}}} είναι ρητός.


2. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} με περίκεντρο \displaystyle{O} και \displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1} τα μέσα των πλευρών \displaystyle{B\Gamma ,\Gamma A,AB} αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία \displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2} έτσι ώστε \displaystyle{\vec{OA_2} = \lambda\vec{OA_1},\vec{OB_2} = \lambda\vec{OB_1}} και \displaystyle{\vec{O\Gamma_2} = \lambda\vec{O\Gamma_1}} και με \displaystyle{\lambda > 0}.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \displaystyle{AA_2, BB_2, \Gamma\Gamma_2} συντρέχουν.


3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί \displaystyle{x,y,z} έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + xyz\le1}.
Για ποιες τιμές των \displaystyle{x,y,z} ισχύει η ισότητα;


4. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί \displaystyle{z_1,z_2,z_3,z_4,z_5,z_6} των οποίων οι εικόνες \displaystyle{A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6}
είναι διαδοχικά σημεία του κύκλου με κέντρο \displaystyle{O(0,0)} και ακτίνα \displaystyle{r > 0}.
Αν w είναι μια λύση της εξίσωσης \displaystyle{z^2 + z + 1 = 0} και ισχύουν οι σχέσεις:
\displaystyle{z_1w^2 + z_3w + z_5 = 0} (Ι)
\displaystyle{z_2w^2 + z_4w + z_6 = 0} (ΙΙ)
να αποδείξετε ότι:
α)το τρίγωνο \displaystyle{A_1,A_3,A_5} είναι ισόπλευρο,
β) \displaystyle{\mid z_1-z_2\mid+\mid z_2-z_3\mid+\mid z_3-z_4\mid+\mid z_4-z_5\mid+\mid z_5-z_6\mid+\mid z_6-z_1\mid =3\mid z_1-z_4\mid = 3\mid z_2-z_5\mid = 3\mid z_3-z_6\mid}


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Δεκ 15, 2012 9:43 am

parmenides51 έγραψε:3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί \displaystyle{x,y,z} έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + xyz\le1}.
Για ποιες τιμές των \displaystyle{x,y,z} ισχύει η ισότητα;
από εδώ
new_member έγραψε: Πρώτα από όλα χρησιμοποιώντας AM-GM έχουμε:

\displaystyle{(xy)^2 \leq \frac {1}{4} xy(x + y)^2 = \frac {1}{4}xy(2 - z)^2} άρα:

\displaystyle{LHS\leq xy+yz+zx-3xyz+\frac{1}{4}xyz(x+y+z)+xyz = xy+yz+zx-\frac{3}{2}xyz\leq (2-z)z+xy(1-\frac{3}{2}z)}

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο \displaystyle{z} θα είναι ο μεγαλύτερος εκ των \displaystyle{x,y,z}. Οπότε \displaystyle{z \geq \frac{2}{3}}

οπότε \displaystyle{LHS \leq (2 - z)z \leq 1}


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Δεκ 15, 2012 9:15 pm

parmenides51 έγραψε:3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί \displaystyle{x,y,z} έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + xyz\le1}.
Για ποιες τιμές των \displaystyle{x,y,z} ισχύει η ισότητα;
μια λύση με Lagrange εδώ (aops)


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2145
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Δεκ 19, 2012 10:12 am

4. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί \displaystyle{z_1,z_2,z_3,z_4,z_5,z_6} των οποίων οι εικόνες \displaystyle{A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6}
είναι διαδοχικά σημεία του κύκλου με κέντρο \displaystyle{O(0,0)} και ακτίνα \displaystyle{r > 0}.
Αν w είναι μια λύση της εξίσωσης \displaystyle{z^2 + z + 1 = 0} και ισχύουν οι σχέσεις:
\displaystyle{z_1w^2 + z_3w + z_5 = 0} (Ι)
\displaystyle{z_2w^2 + z_4w + z_6 = 0} (ΙΙ)
να αποδείξετε ότι:
α)το τρίγωνο \displaystyle{A_1,A_3,A_5} είναι ισόπλευρο,
β) \displaystyle{\mid z_1-z_2\mid+\mid z_2-z_3\mid+\mid z_3-z_4\mid+\mid z_4-z_5\mid+\mid z_5-z_6\mid+\mid z_6-z_1\mid =3\mid z_1-z_4\mid = 3\mid z_2-z_5\mid = 3\mid z_3-z_6\mid}
\displaystyle{w^2+w+1=0\Rightarrow w^3=1\Rightarrow |w|=1}
\displaystyle{z_1w^2+z_3w+z_5=0\Rightarrow -(w+1)z_1+z_3w+z_5=0\Rightarrow |z_5-z_1|=|w||z_1-z_3|=|z_1-z_3|\Rightarrow A_5A_1=A_1A_3} και κυκλικά άρα \displaystyle{A_1A_3A_5} ισόπλευρο ομοίως το \displaystyle{A_2A_4A_6}
που έχει ίσες πλευρές με το προηγούμενο αφού έχουν ίδιο r.


είναι γνωστή άσκηση ότι αν \displaystyle{ABC} ισόπλευρο και \displaystyle{M} σημείο του μικρού τόξου \displaystyle{BC} του περιγεγραμμένου κύκλου τότε \displaystyle{AM=MB+BC} που σημαίνει ότι \displaystyle{|z_1-z_4|=|z_4-z_3|+|z_4-z_5|}
Ακόμη \displaystyle{|z_1-z_2|=|z_3-z_4|=|z_5-z_6|,|z_2-z_3|=|z_4-z_5|=|z_6-z_1|} χορδές με ίσες αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες άρα \displaystyle{|z_1-z_2|+|z_3-z_4|+|z_5-z_6|+|z_2-z_3|+|z_4-z_5|+|z_6-z_1|=3|z_3-z_4|+3|z_4-z_5|=3|z_1-z_4|} και κυκλικά το ζητούμενο


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2145
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Δεκ 21, 2012 8:29 am

size=150]2.[/size] Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} με περίκεντρο \displaystyle{O} και \displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1} τα μέσα των πλευρών \displaystyle{B\Gamma ,\Gamma A,AB} αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία \displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2} έτσι ώστε \displaystyle{\vec{OA_2} = \lambda\vec{OA_1},\vec{OB_2} = \lambda\vec{OB_1}} και \displaystyle{\vec{O\Gamma_2} = \lambda\vec{O\Gamma_1}} και με \displaystyle{\lambda > 0}.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \displaystyle{AA_2, BB_2, \Gamma\Gamma_2} συντρέχουν.
Αν \displaystyle{H} το ορθόκεντρο του \displaystyle{ABC} η \displaystyle{AA_2} τέμνει την \displaystyle{OH} στο \displaystyle{K:\frac{OK}{KH}=\frac{OA_2}{AH}=\frac{\lambda OA_1}{2OA_1}=\lambda /2 } και κυκλικά για τις \displaystyle{BB_2 , CC_2}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8058
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Δεκ 24, 2012 11:24 pm

parmenides51 έγραψε:1. Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακεραίου n για τις οποίες ο αριθμός \displaystyle{A = \sqrt {\frac {9n - 1}{n + 7}}} είναι ρητός.
Έχουμε (n+7,9n-1) = (n+7, 9n-1 - 9(n+7)) = (n+7,64) το οποίο είναι δύναμη του 2. Επομένως, για να είναι ο A ρητός πρέπει να υπάρχουν φυσικοί s,t ώστε να συμβαίνει ένα από τα πιο κάτω

(1) 9n-1 = s^2 και n+7 = t^2
(2) 9n-1 = 2s^2 και n+7 = 2t^2.

Το (1) απορρίπτεται αφού 9n - 1 \equiv 2 \bmod 3 αλλά s^2 \not \equiv 2 \bmod 3. Πρέπει λοιπόν 9n-1 = 2s^2 και n+7 = t^2. Τότε ο n περιττός, έστω n = 2m+1. Άρα 9m+4 = s^2 και m+4 = t^2 το οποίο δίνει 9t^2 - s^2 = 32. Τότε (3t - s)(3t+s) = 32 και επειδή 3t+s > 3t-s πρέπει να ισχύει ένα από τα πιο κάτω:

(α) 3t+s = 32,3t-s = 1
(β) 3t+s = 16,3t-s = 1
(γ) 3t+s = 8,3t-s = 4.

Το (α) απορρίπτεται αφού δεν δίνει ακέραιες λύσεις. Το (β) δίνει t=3,s=7 που δίνουν n=11 και το (γ) δίνει t=s=2 που δίνουν n=1. Και στις δύο περιπτώσεις ο Α είναι ρητός. (A = 7/2 στην πρώτη περίπτωση και A = 1 στην δεύτερη.)


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Δεκ 31, 2012 8:56 pm

parmenides51 έγραψε:3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί \displaystyle{x,y,z} έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + xyz\le1}.
Για ποιες τιμές των \displaystyle{x,y,z} ισχύει η ισότητα;
άλλες λύσεις εδώ (aops) και Lagrange πάλι εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί \displaystyle{z_1,z_2,z_3,z_4,z_5,z_6} των οποίων οι εικόνες \displaystyle{A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6}
είναι διαδοχικά σημεία του κύκλου με κέντρο \displaystyle{O(0,0)} και ακτίνα \displaystyle{r > 0}.
Αν w είναι μια λύση της εξίσωσης \displaystyle{z^2 + z + 1 = 0} και ισχύουν οι σχέσεις:
\displaystyle{z_1w^2 + z_3w + z_5 = 0} (Ι)
\displaystyle{z_2w^2 + z_4w + z_6 = 0} (ΙΙ)
να αποδείξετε ότι:
α)το τρίγωνο \displaystyle{A_1,A_3,A_5} είναι ισόπλευρο,
β) \displaystyle{\mid z_1-z_2\mid+\mid z_2-z_3\mid+\mid z_3-z_4\mid+\mid z_4-z_5\mid+\mid z_5-z_6\mid+\mid z_6-z_1\mid =3\mid z_1-z_4\mid = 3\mid z_2-z_5\mid = 3\mid z_3-z_6\mid}
άλλες ιδέες εδώ κι εδώ (aops)


Teh
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 11, 2017 11:53 pm

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Teh » Δευ Ιαν 14, 2019 1:48 pm

2. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} με περίκεντρο \displaystyle{O} και \displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1} τα μέσα των πλευρών \displaystyle{B\Gamma ,\Gamma A,AB} αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία \displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2} έτσι ώστε \displaystyle{\vec{OA_2} = \lambda\vec{OA_1},\vec{OB_2} = \lambda\vec{OB_1}} και \displaystyle{\vec{O\Gamma_2} = \lambda\vec{O\Gamma_1}} και με \displaystyle{\lambda > 0}.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \displaystyle{AA_2, BB_2, \Gamma\Gamma_2} συντρέχουν.
Μπορεί κάποιος να δώσει μία λύση με ομοιοθεσία; Φτάνω στο σημείο που δείχνεις ότι οι πλευρές των ομοιόθετων και του τριγώνου είναι παράλληλες αλλά δεν βλέπω πώς μπορώ να συνεχίσω.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1712
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Ιαν 14, 2019 2:24 pm

Teh έγραψε:
Δευ Ιαν 14, 2019 1:48 pm
2. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} με περίκεντρο \displaystyle{O} και \displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1} τα μέσα των πλευρών \displaystyle{B\Gamma ,\Gamma A,AB} αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία \displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2} έτσι ώστε \displaystyle{\vec{OA_2} = \lambda\vec{OA_1},\vec{OB_2} = \lambda\vec{OB_1}} και \displaystyle{\vec{O\Gamma_2} = \lambda\vec{O\Gamma_1}} και με \displaystyle{\lambda > 0}.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \displaystyle{AA_2, BB_2, \Gamma\Gamma_2} συντρέχουν.
Μπορεί κάποιος να δώσει μία λύση με ομοιοθεσία; Φτάνω στο σημείο που δείχνεις ότι οι πλευρές των ομοιόθετων και του τριγώνου είναι παράλληλες αλλά δεν βλέπω πώς μπορώ να συνεχίσω.
Με ομοιοθεσία ή θα βρεις το κέντρο της (σε παραπάνω μήνυμα έχει βρεθεί) ή απλούστερα θα κοιτάξεις σύνθεση ομοιοθεσιών.

Πάντως μπορούμε να πούμε, εκμεταλλευόμενοι την παραλληλία που έδειξες, ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά ως προς άξονα ( την ευθεία στο άπειρο), άρα είναι προοπτικά και ως προς σημείο. (αυτό είναι το σημείο συντρέχειας)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες