ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2001 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6473
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2001 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ
1. Προς το εξωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς κατασκευάζουμε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με . Τα ευθύγραμμα τμήματα και προεκτεινόμενα τέμνονται στο σημείο
α) Να υπολογίσετε τη
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της πλευράς
γ) Να υπολογίσετε το μήκος του συναρτήσει του
2. Στο διαγωνισμό ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ της Ε.Μ.Ε. συμμετέχουν αγόρια και κορίτσια που χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στους "μικρούς" και τους μεγάλους".
Τα αγόρια που λαμβάνουν μέρος στον φετινό ΑΡΧΙΜΗΔΗ αποτελούν το αυτών που συμμετέχουν.
Ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μεγάλων" αγοριών ισούται με το λόγο του πλήθους των "μικρών" προς το πλήθος των "μεγάλων".
Να βρεθεί ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μικρών κοριτσιών".
3. Να προσδιορίσετε τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς με για τους οποίους ισχύει ότι :
4. Να αποδείξετε ότι
α) Να υπολογίσετε τη
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της πλευράς
γ) Να υπολογίσετε το μήκος του συναρτήσει του
2. Στο διαγωνισμό ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ της Ε.Μ.Ε. συμμετέχουν αγόρια και κορίτσια που χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στους "μικρούς" και τους μεγάλους".
Τα αγόρια που λαμβάνουν μέρος στον φετινό ΑΡΧΙΜΗΔΗ αποτελούν το αυτών που συμμετέχουν.
Ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μεγάλων" αγοριών ισούται με το λόγο του πλήθους των "μικρών" προς το πλήθος των "μεγάλων".
Να βρεθεί ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μικρών κοριτσιών".
3. Να προσδιορίσετε τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς με για τους οποίους ισχύει ότι :
4. Να αποδείξετε ότι
Θανάσης Κοντογεώργης
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2001 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ
εδώsocrates έγραψε:2. Στο διαγωνισμό ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ της Ε.Μ.Ε. συμμετέχουν αγόρια και κορίτσια που χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στους "μικρούς" και τους μεγάλους".
Τα αγόρια που λαμβάνουν μέρος στον φετινό ΑΡΧΙΜΗΔΗ αποτελούν το αυτών που συμμετέχουν.
Ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μεγάλων" αγοριών ισούται με το λόγο του πλήθους των "μικρών" προς το πλήθος των "μεγάλων".
Να βρεθεί ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μικρών κοριτσιών".
εδώsocrates έγραψε:4. Να αποδείξετε ότι
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2001 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ
α) Η γωνία είναι αφού ισούται με το άθροισμα των ορθής γωνίας με γωνία ισοσκελούςsocrates έγραψε:1. Προς το εξωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς κατασκευάζουμε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με . Τα ευθύγραμμα τμήματα και προεκτεινόμενα τέμνονται στο σημείο
α) Να υπολογίσετε τη
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της πλευράς
τριγώνου.Επίσης το τρίγωνο είναι ισοσκελές επειδή .
Άρα η γωνία είναι και η γωνία ισούται με .
β)Εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο βρίσκουμε πως το ύψος του είναι .
Άρα το εμβαδόν του είναι .
.
Η γωνία είναι παραπληρωματική της γωνίας ισοπλεύρου τριγώνου άρα είναι ίση με . Επίσης η
γωνία είναι συμπληρωματική της άρα ισούται με .
Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού σύμφωνα με τα δεδομένα και η γωνία θα είναι
.
Σχεδιάζουμε το ύψος του τριγώνου ,. Εφόσον η γωνία είναι
το ημίτονό της είναι ίσο με άρα αφού η υποτείνουσα είναι ίση με το ύψος
θα είναι .
Επιπλέον αφού το τρίγωνο είναι ορθογώνιο , το τετράγωνο της πλευράς είναι ίσο με
.Άρα η πλευρά είναι
.Επομένως αφού το ύψος σε ισοσκελές ισούται με τη διάμεσο η βάση του τριγώνου
είναι και το εμβαδόν του τριγώνου είναι
.
Συνεπώς το εμβαδόν όλου του σχήματος ισούται με:
.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2001 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ
Διακρίνουμε περιπτώσειςsocrates έγραψε: 3. Να προσδιορίσετε τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς με για τους οποίους ισχύει ότι : (1)
1)
2)
3)
4)
τότε
οπότε με πρόσθεση κατά μέλη
δλδ το πρόβλημα δεν έχει λύση
Αποστόλης
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2001 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ
μια αντιμετώπιση με επαγωγή από εδώsocrates έγραψε:4. Να αποδείξετε ότι
Prove that for integer we have:
Goutham έγραψε: I proved this result by induction on
Prove the base case.
Assume for
Consider
It suffices to prove that
which is Bernoulli's inequality.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4796
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2001 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ
Και λίγο διαφορετικά για το θέμα αυτό:socrates έγραψε:3. Να προσδιορίσετε τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς με για τους οποίους ισχύει ότι :
Αφού , άρα θα υπάρχουν ώστε , (και μάλιστα είναι , αφού μας δίνουν ότι )
Aντικαθιστώντας τα στην δοσμένη εξίσωση, παίρνουμε:
Aπό την σχέση αυτή , βλέπουμε ότι αν , τότε το πρώτο μέλος της είναι μη αρνητικός αριθμός , ενώ το δεύτερο είναι αρνητικός και άρα είναι αδύνατη. Συνεπώς θα πρέπει οπότε από εδώ η συνέχεια είναι απλή, παίρνοντας τις τρεις περιπτώσεις.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6473
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2001 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης