ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς . Αν αντικαταστήσουμε τους με τους αριθμούς , τότε είναι .
Αν αντικαταστήσουμε τους με τους αριθμούς ,
πόσο θα είναι το άθροισμα ;
2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε .
3. Δίνεται τετράγωνο πλευράς . Γράφουμε τον κύκλο . Από τυχαίο σημείο του τόξου που βρίσκεται μέσα στο τετράγωνο φέρνουμε κάθετη προς την ακτίνα , η οποία τέμνει την στο και την στο . Να δειχτεί ότι:
α) .
β) .
4. Οι αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι με . Να προσδιορίσετε τη μικρότερη δυνατή θετική τιμή του αριθμού .
Αν αντικαταστήσουμε τους με τους αριθμούς ,
πόσο θα είναι το άθροισμα ;
2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε .
3. Δίνεται τετράγωνο πλευράς . Γράφουμε τον κύκλο . Από τυχαίο σημείο του τόξου που βρίσκεται μέσα στο τετράγωνο φέρνουμε κάθετη προς την ακτίνα , η οποία τέμνει την στο και την στο . Να δειχτεί ότι:
α) .
β) .
4. Οι αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι με . Να προσδιορίσετε τη μικρότερη δυνατή θετική τιμή του αριθμού .
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
εδώparmenides51 έγραψε:1. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς . Αν αντικαταστήσουμε τους με τους αριθμούς , τότε είναι .
Αν αντικαταστήσουμε τους με τους αριθμούς ,
πόσο θα είναι το άθροισμα ;
-
- Δημοσιεύσεις: 711
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Κλασικό θέμα.Βλέπουμε με πράξεις ότι για κάθε .Άρα δεν μπορεί ο αριθμός αυτός να είναι τέλειο τετράγωνο.parmenides51 έγραψε:
2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε .
.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
α) Είναι και , έτσι (1) γιατί είναι εφαπτόμενα τμήματα ( ακτίνες του τεταρτοκυκλίου).parmenides51 έγραψε: 3. Δίνεται τετράγωνο πλευράς . Γράφουμε τον κύκλο . Από τυχαίο σημείο του τόξου που βρίσκεται μέσα στο τετράγωνο φέρνουμε κάθετη προς την ακτίνα , η οποία τέμνει την στο και την στο . Να δειχτεί ότι:
α) .
β) .
Επίσης και , έτσι (2) για τον ίδιο λόγο.
Είναι:
β) Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο είναι:
(3)
Ισχύει (4)
Από τις σχέσεις (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι
Ηλίας Καμπελής
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1515
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4. Οι αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι με . Να προσδιορίσετε τη μικρότερη δυνατή θετική τιμή του αριθμού .
Η ζητούμενη τιμή είναι .
Είναι οπότε . Οι είναι ακέραιοι, άρα .
Ακόμα , άρα . Επομένως .
Τελικά .
Η ισότητα πιάνεται για και .
Η ζητούμενη τιμή είναι .
Είναι οπότε . Οι είναι ακέραιοι, άρα .
Ακόμα , άρα . Επομένως .
Τελικά .
Η ισότητα πιάνεται για και .
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 6:38 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Μια διαφορετική λύση:parmenides51 έγραψε:4. Οι αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι με . Να προσδιορίσετε τη μικρότερη δυνατή θετική τιμή του αριθμού .
Παρατηρούμε, αφού θετικοί, ότι
Επίσης, παρατηρούμε ότι η ελάχιστη θετική τιμή του παίρνεται όταν το παίρνει την μέγιστη τιμή του. Άρα, πρέπει
Η παράσταση γίνεται:
Ακόμη, παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή του είναι το , επομένως έχουμε την εξίσωση:
Άρα, η ελάχιστη τιμή του για
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Διαφορετικα, αν υποθεσουμε οτι , θα προκυψει διακρινουσα που θα πρεπει κι αυτη να ειναι τελειο τετραγωνο. Εστω απ'το οποιο συστημα θα παρω , για το οποιο η παραπανω εξισωση θα μου δωσει που δεν ειναι φυσικες τιμες.parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 19, 2012 5:04 pm2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε .
-
- Δημοσιεύσεις: 1333
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Mια λύση ακόμα...parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 19, 2012 5:04 pm
2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε .
Όλοι καταλαβαίνουν ότι
για κάθε φυσικό
Δηλαδή ισχύει
για κάθε φυσικό
Συνεπώς η ποσότητα ουδέποτε είναι τέλειο τετράγωνο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6473
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 19, 2012 5:04 pm4. Οι αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι με . Να προσδιορίσετε τη μικρότερη δυνατή θετική τιμή του αριθμού .
https://artofproblemsolving.com/communi ... 54p2068402
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες