ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6239
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Νοέμ 19, 2012 5:04 pm

1. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{x, y, z, w}. Αν αντικαταστήσουμε τους \displaystyle{x, y, z, w} με τους αριθμούς \displaystyle{x_1 = x + 10, y_1 = y + 10, z_1 = z + 10, w_1 = w + 10}, τότε είναι \displaystyle{x_1 + y_1 + z_1 + w_1 = 1040}.
Αν αντικαταστήσουμε τους \displaystyle{x, y, z, w} με τους αριθμούς \displaystyle{x_2 = 10- x ,  
y_2 = 20- y , z_2 = 30- z , w_2 = 40- w} ,
πόσο θα είναι το άθροισμα \displaystyle{x_2 + y_2 + z_2 + w_2} ;


2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{\nu ^2 + 5\nu + 5}, δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε \displaystyle{\nu \in \amthbb{N}}.


3. Δίνεται τετράγωνο \displaystyle{AB\Gamma\Delta} πλευράς \displaystyle{\alpha}. Γράφουμε τον κύκλο \displaystyle{(A, \alpha)}. Από τυχαίο σημείο \displaystyle{M} του τόξου \displaystyle{\overset{\frown }{B\Delta}} που βρίσκεται μέσα στο τετράγωνο φέρνουμε κάθετη προς την ακτίνα \displaystyle{AM}, η οποία τέμνει την \displaystyle{B\Gamma} στο \displaystyle{E} και την \displaystyle{\Gamma\Delta} στο \displaystyle{Z}. Να δειχτεί ότι:
α) \displaystyle{EZ = BE+ \Delta Z}.
β) \displaystyle{\frac{\alpha }{2} < EZ < \alpha}.


4. Οι αριθμοί \displaystyle{\mu, \nu} είναι θετικοί ακέραιοι με \displaystyle{\mu \le 6008}. Να προσδιορίσετε τη μικρότερη δυνατή θετική τιμή του αριθμού \displaystyle{A = 3 − \frac{\mu }{\nu }}.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6239
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Νοέμ 19, 2012 5:05 pm

parmenides51 έγραψε:1. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{x, y, z, w}. Αν αντικαταστήσουμε τους \displaystyle{x, y, z, w} με τους αριθμούς \displaystyle{x_1 = x + 10, y_1 = y + 10, z_1 = z + 10, w_1 = w + 10}, τότε είναι \displaystyle{x_1 + y_1 + z_1 + w_1 = 1040}.
Αν αντικαταστήσουμε τους \displaystyle{x, y, z, w} με τους αριθμούς \displaystyle{x_2 = 10- x ,  
y_2 = 20- y , z_2 = 30- z , w_2 = 40- w} ,
πόσο θα είναι το άθροισμα \displaystyle{x_2 + y_2 + z_2 + w_2} ;
εδώ


sokratis lyras
Δημοσιεύσεις: 711
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokratis lyras » Δευ Νοέμ 19, 2012 5:47 pm

parmenides51 έγραψε:

2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{\nu ^2 + 5\nu + 5}, δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε \displaystyle{\nu \in \amthbb{N}}.


.
Κλασικό θέμα.Βλέπουμε με πράξεις ότι (n+2)^2<n^2+5n+5<(n+3)^2 για κάθε n\in N.Άρα δεν μπορεί ο αριθμός αυτός να είναι τέλειο τετράγωνο.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 951
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Νοέμ 23, 2012 1:22 am

parmenides51 έγραψε: 3. Δίνεται τετράγωνο \displaystyle{AB\Gamma\Delta} πλευράς \displaystyle{\alpha}. Γράφουμε τον κύκλο \displaystyle{(A, \alpha)}. Από τυχαίο σημείο \displaystyle{M} του τόξου \displaystyle{\overset{\frown }{B\Delta}} που βρίσκεται μέσα στο τετράγωνο φέρνουμε κάθετη προς την ακτίνα \displaystyle{AM}, η οποία τέμνει την \displaystyle{B\Gamma} στο \displaystyle{E} και την \displaystyle{\Gamma\Delta} στο \displaystyle{Z}. Να δειχτεί ότι:
α) \displaystyle{EZ = BE+ \Delta Z}.
β) \displaystyle{\frac{\alpha }{2} < EZ < \alpha}.
α) Είναι {\rm Z}{\rm M} \bot {\rm A}{\rm M} και {\rm Z}\Delta  \bot {\rm A}\Delta, έτσι \displaystyle{{\rm M}{\rm Z} = \Delta {\rm Z}} (1) γιατί είναι εφαπτόμενα τμήματα ({\rm A}{\rm M},{\rm A}\Delta ακτίνες του τεταρτοκυκλίου).

Επίσης {\rm M}{\rm E} \bot {\rm A}{\rm M} και {\rm E}{\rm B} \bot {\rm A}{\rm B}, έτσι {\rm M}{\rm E} = {\rm B}{\rm E} (2) για τον ίδιο λόγο.

Είναι: {\rm E}{\rm Z} = {\rm M}{\rm Z} + {\rm M}{\rm E}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),(2)} {\rm E}{\rm Z} = \Delta {\rm Z} + {\rm B}{\rm E}

β) Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο {\rm E}\Gamma {\rm Z} είναι:

\displaystyle{{\rm E}{\rm Z} < \Gamma {\rm Z} + {\rm E}\Gamma  \Leftrightarrow {\rm E}{\rm Z} < \alpha  - \Delta {\rm Z} + \alpha  - {\rm B}{\rm E} \Leftrightarrow {\rm E}{\rm Z} < 2\alpha  - \left( {\Delta {\rm Z} + {\rm B}{\rm E}} \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( \alpha  \right)} }

{\rm E}{\rm Z} < 2\alpha  - {\rm E}{\rm Z} \Leftrightarrow {\rm E}{\rm Z} < \alpha (3)

Ισχύει \Delta {\rm B} < \Delta {\rm Z} + {\rm E}{\rm Z} + {\rm B}{\rm E}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( \alpha  \right)} \alpha \sqrt 2  < 2{\rm E}{\rm Z} \Rightarrow {\rm E}{\rm Z} > \frac{{\alpha \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {\rm E}{\rm Z} > \frac{\alpha }{2} (4)

Από τις σχέσεις (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι \frac{\alpha }{2} < {\rm E}{\rm Z} < 2\alpha
Τετραγωνο-τόξο.png
Τετραγωνο-τόξο.png (10.16 KiB) Προβλήθηκε 1753 φορές


Ηλίας Καμπελής
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1515
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Δεκ 01, 2012 7:07 pm

4. Οι αριθμοί \displaystyle{\mu, \nu} είναι θετικοί ακέραιοι με \displaystyle{\mu \le 6008}. Να προσδιορίσετε τη μικρότερη δυνατή θετική τιμή του αριθμού \displaystyle{A = 3 − \frac{\mu }{\nu }}.

Η ζητούμενη τιμή είναι \displaystyle{\frac{1}{2003}}.

Είναι \displaystyle{A=\frac{3n-m}{n}>0} οπότε 3n-m>0. Οι n,m είναι ακέραιοι, άρα 3n-m\geq 1.

Ακόμα \displaystyle{1\geq \frac{m}{6008}}, άρα \displaystyle{3n-m\geq \frac{m}{6008}}. Επομένως \displaystyle{3n\geq \frac{6009}{6008}m}.

Τελικά \displaystyle{3-\frac{m}{n}\geq\frac{1}{2003}}.

Η ισότητα πιάνεται για m=6008 και n=2003.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Νίκος Αϊνστάιν
Δημοσιεύσεις: 125
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 6:38 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Αϊνστάιν » Σάβ Ιαν 25, 2014 4:35 pm

parmenides51 έγραψε:4. Οι αριθμοί \displaystyle{\mu, \nu} είναι θετικοί ακέραιοι με \displaystyle{\mu \le 6008}. Να προσδιορίσετε τη μικρότερη δυνατή θετική τιμή του αριθμού \displaystyle{A = 3 − \frac{\mu }{\nu }}.
Μια διαφορετική λύση:
Παρατηρούμε, αφού A, \mu, \nu θετικοί, ότι \dfrac {\mu}{\nu} < 3 \Leftrightarrow  3\nu > \mu
Επίσης, παρατηρούμε ότι η ελάχιστη θετική τιμή του παίρνεται όταν το \mu παίρνει την μέγιστη τιμή του. Άρα, πρέπει max (m) = 3\nu - 1
Η παράσταση γίνεται: A =  3 − \dfrac {\mu}{\nu} = 3 − \dfrac {3\nu - 1}{\nu} = 3 - 3 - \dfrac {-1}{\nu} = \dfrac {1}{\nu}
Ακόμη, παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή του \mu είναι το 6008, επομένως έχουμε την εξίσωση: \mu = 3\nu - 1 \Leftrightarrow
6008 = 3\nu - 1 \Leftrightarrow 3\nu = 6009 \Leftrightarrow \nu = 2003
Άρα, η ελάχιστη τιμή του A = \dfrac {1}{2003} για (\mu, \nu) = (6008, 2003)


Orestisss
Δημοσιεύσεις: 52
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 06, 2024 6:47 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Orestisss » Πέμ Αύγ 08, 2024 5:25 pm

parmenides51 έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2012 5:04 pm
2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{\nu ^2 + 5\nu + 5}, δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε \displaystyle{\nu \in \amthbb{N}}.
Διαφορετικα, αν υποθεσουμε οτι n^2+5n+5=k^2, k \in \mathbb{N}, θα προκυψει διακρινουσα D=5+4k^2 που θα πρεπει κι αυτη να ειναι τελειο τετραγωνο. Εστω D=m^2, m \in \mathbb{N} \Rightarrow (m-2k)(m+2k)=5 απ'το οποιο συστημα θα παρω k=1, για το οποιο η παραπανω εξισωση θα μου δωσει n=-1,-4 που δεν ειναι φυσικες τιμες.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1333
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Αύγ 12, 2024 8:35 pm

parmenides51 έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2012 5:04 pm

2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{\nu ^2 + 5\nu + 5}, δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε \displaystyle{\nu \in \amthbb{N}}.
Mια λύση ακόμα...

Όλοι καταλαβαίνουν ότι

\nu ^{2} +4\nu +4< \nu ^{2} +5\nu  +5< \nu ^{2}+6\nu+9 για κάθε φυσικό \nu.

Δηλαδή ισχύει

\left ( \nu +2 \right )^{2}< \nu ^{2}+5\nu +5< \left ( \nu +3 \right )^{2} για κάθε φυσικό \nu.

Συνεπώς η ποσότητα \displaystyle{\nu ^2 + 5\nu + 5} ουδέποτε είναι τέλειο τετράγωνο.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6473
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Οκτ 31, 2024 1:46 am

parmenides51 έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2012 5:04 pm
4. Οι αριθμοί \displaystyle{\mu, \nu} είναι θετικοί ακέραιοι με \displaystyle{\mu \le 6008}. Να προσδιορίσετε τη μικρότερη δυνατή θετική τιμή του αριθμού \displaystyle{A = 3 − \frac{\mu }{\nu }}.

https://artofproblemsolving.com/communi ... 54p2068402


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες