ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6239
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Οκτ 26, 2012 11:55 pm

1. Σε παραλληλόγραμμο \displaystyle{AB\Gamma\Delta} προεκτείνουμε την πλευρά \displaystyle{A\Delta} κατά τμήμα \displaystyle{\Delta E = A\Delta} .
Αν η \displaystyle{A\Gamma} τέμνει τη \displaystyle{BE} στο σημείο \displaystyle{Z}, να αποδείξετε ότι η \displaystyle{\Delta Z} περνάει από το μέσον της \displaystyle{B\Gamma}.


2. Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθμούς που είναι ίσοι με το γινόμενο που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα ψηφία τους αυξημένα κατά \displaystyle{2}.


3. Αν η εξίσωση \displaystyle{\alpha x^2 - 4\beta x + 4\gamma = 0, \alpha > 0} έχει δυο ρίζες στο διάστημα \displaystyle{[2,3]}, να αποδείξετε ότι:
α)\displaystyle{ \alpha  \le \beta \le \gamma < \alpha + \beta}
β) \displaystyle{\frac{\alpha }{\alpha +\gamma }+ \frac{\beta }{\beta +\alpha } > \frac{\gamma }{\gamma +\beta }}


4. Δίνεται τετράγωνο \displaystyle{AB\Gamma\Delta} . Τα σημεία \displaystyle{E,Z} κινούνται πάνω στις πλευρές \displaystyle{B\Gamma,\Gamma\Delta} , αντίστοιχα, έτσι ώστε \displaystyle{\widehat{EAZ}= 45^o}.
Οι \displaystyle{AE} και \displaystyle{AZ} τέμνουν τη \displaystyle{B\Delta} στα σημεία \displaystyle{K} και \displaystyle{\Lambda },αντίστοιχα. Οι \displaystyle{E\Lambda } και \displaystyle{ZK} τέμνονται στο \displaystyle{H} και η \displaystyle{AH} τέμνει τη \displaystyle{ZE} στο \displaystyle{M}.
Να αποδείξετε ότι:
α) Η ευθεία \displaystyle{AM} είναι κάθετη προς τη \displaystyle{ZE}.
β) Η γωνία \displaystyle{\widehat{BM\Delta}} είναι σταθερή, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της θέσης των \displaystyle{E,Z} πάνω στις πλευρές \displaystyle{B\Gamma,\Gamma\Delta} αντίστοιχα.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6239
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Οκτ 28, 2012 12:57 am

Αν δεν υπάρχει λάθος στο διπλό στο τέλος
parmenides51 έγραψε:2. Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθμούς που είναι ίσοι με το γινόμενο που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα ψηφία τους αυξημένα κατά \displaystyle{2}.
παρόμοια


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4796
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Οκτ 28, 2012 5:55 pm

parmenides51 έγραψε:3. Αν η εξίσωση \displaystyle{\alpha x^2 - 4\beta x + 4\gamma = 0, \alpha > 0} έχει δυο ρίζες στο διάστημα \displaystyle{[2,3]}, να αποδείξετε ότι:
α)\displaystyle{ \alpha  \le \beta \le \gamma < \alpha + \beta}
β) \displaystyle{\frac{\alpha }{\alpha +\gamma }+ \frac{\beta }{\beta +\alpha } > \frac{\gamma }{\gamma +\beta }}
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι:

\displaystyle{a\leq \beta \leq \gamma <a+\beta}. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι: (δεδομένου ότι \displaystyle{a>0})

\displaystyle{1\leq \frac{\beta}{a}\leq \frac{\gamma}{a}<1+\frac{\beta}{a}} ,ή αρκεί:

\displaystyle{4\leq \frac{4\beta}{a}\leq \frac{4\gamma}{a}<4+\frac{4\beta}{a}}, ή αρκεί:

\displaystyle{4\leq x_1 +x_2 \leq x_1 x_2 <4+x_1 +x_2}

Δείχνω πρώτα ότι \displaystyle{4\leq x_1 +x_2}. Αυτό όμως είναι προφανές, αφού από την υπόθεση δίνεται ότι:

\displaystyle{x_1 \geq 2 , x_2 \geq 2}

Δείχνω τώρα ότι \displaystyle{x_1 +x_2 \leq x_1 x_2}. Αρκεί να δείξω ότι: \displaystyle{x_1 x_2 -x_1 -x_2\geq 0} , ή:

\displaystyle{x_1 (x_2 -1)-x_2 \geq 0}, ή \displaystyle{x_1 (x_2 -1)-x_2+1\geq 1}, ή: \displaystyle{(x_2 -1)(x_1 -1)\geq 1}

Αφού όμως \displaystyle{x_1 \geq 2\Rightarrow x_1 -1\geq 1}. Όμοια \displaystyle{x_2 -1\geq 1} .

Από τις δύο παραπάνω σχέσεις έπεται ότι \displaystyle{(x_1 -1)(x_2 -1)\geq 1} και άρα έχουμε το ζητούμενο

Τέλος μένει να δείξω ότι: \displaystyle{x_1 x_2 <4+x_1 +x_2}.

Αρκεί να δείξω ότι: \displaystyle{x_1 x_2 -x_1 -x_2 <4} , ή: \displaystyle{x_1 (x_2 -1)-x_2 +1 <5}, ή: \displaystyle{(x_2 -1)(x_1 -1)<5}.

Όμως : \displaystyle{2\leq x_1 \leq 3 \Rightarrow 1\leq x_1 -1\leq 2}. Και ομοίως: \displaystyle{1\leq x_2 -1\leq 2}

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των παραπάνω σχέσεων, έχω: \displaystyle{1\leq (x_1 -1)(x_2 -1)\leq 4}

Άρα: \displaystyle{(x_1 -1)(x_2 -1)\leq 4<5\Rightarrow (x_1 -1)(x_2 -1)<5}, οπότε έχουμε το ζητούμενο.

(β) Έχουμε:

\displaystyle{\frac{a}{a+\gamma}+\frac{\beta}{\beta +a}\geq\frac{a}{\beta +\gamma}+\frac{\beta}{\beta +\gamma}=}

\displaystyle{=\frac{a+\beta}{\beta +\gamma}>\frac{\gamma}{\beta +\gamma}} , (αφού από το προηγούμενο ερώτημα, είχαμε:

\displaystyle{a\leq \beta \leq \gamma <a+\beta})


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4796
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Οκτ 29, 2012 5:28 pm

parmenides51 έγραψε:2. Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθμούς που είναι ίσοι με το γινόμενο που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα ψηφία τους αυξημένα κατά \displaystyle{2}.
Έστω \displaystyle{\bar{xy}}, ο ζητούμενος διψήφιος. Τότε με βάση το πρόβλημα, έχουμε:

\displaystyle{\bar{xy}=(x+2)(y+2)\Rightarrow 10x +y=xy+2x+2y+4\Rightarrow xy-8x=-y-4\Rihgtarrow}

\displaystyle{(y-8)x=-(y+4)}. Αν ήταν \displaystyle{y=8}, τότε η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη. Άρα \displaystyle{y\neq 8}

Τότε \displaystyle{x=-\frac{y+4}{y-8}\Rightarrow x=-\frac{y-8+12}{y-8}=-1 -\frac{12}{y-8}}. Αφού ο \displaystyle{x} είναι φυσικός αριθμός

(και μάλιστα \displaystyle{0\leq x\leq 9}), θα πρέπει ο \displaystyle{y-8}, να είναι διαιρέτης του \displaystyle{12}.

Επίσης πρέπει: \displaystyle{0\leq -1-\frac{12}{y-8}\leq 9\Rightarrow 1\leq -\frac{12}{y-8}\leq 10\Rightarrow }

\displaystyle{1\leq \frac{12}{8-y}\leq 10} Από εδώ προκύπτει ότι πρέπει να είναι \displaystyle{8-y>0\Rightarrow y<8} και αφού πρέπει επί πλέον ο \displaystyle{y-8} να διαιρεί τον 12, άρα \displaystyle{y\epsilon {2 , 4 , 5 , 6 , 7}}

Αν \displaystyle{y=2\Rightarrow x=1}, άρα έχουμε τον διψήφιο \displaystyle{12}

\displaystyle{y=4\Rightarrow x=2}, άρα έχουμε τον \displaystyle{24}

\displaystyle{y=5\Rightarrow x=3}, άρα έχουμε τον \displaystyle{35}

\displaystyle{y=6\Rightarrow x=5}, άρα έχουμε τον \displaystyle{56}

Αν \displaystyle{y=7\Rightarrow x=11}, απορρίπτεται.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4796
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Οκτ 29, 2012 6:30 pm

parmenides51 έγραψε:1. Σε παραλληλόγραμμο \displaystyle{AB\Gamma\Delta} προεκτείνουμε την πλευρά \displaystyle{A\Delta} κατά τμήμα \displaystyle{\Delta E = A\Delta} .
Αν η \displaystyle{A\Gamma} τέμνει τη \displaystyle{BE} στο σημείο \displaystyle{Z}, να αποδείξετε ότι η \displaystyle{\Delta Z} περνάει από το μέσον της \displaystyle{B\Gamma}.
Έστω ότι η \displaystyle{\Delta Z} τέμνει την \displaystyle{B\Gamma} στο σημείο \displaystyle{P}.
Aπό τα όμοια τρίγωνα \displaystyle{ZBP , \Delta EZ} , τα \displaystyle{ZB\Gamma , ZAE}, και \displaystyle{ZP\Gamma , Z\Delta A}, έχουμε:

\displaystyle{\frac{BP}{\Delta E}=\frac{BZ}{ZE}=\frac{Z\Gamma}{ZA}=\frac{\Gamma P}{A\Delta}}

Άρα: \displaystyle{\frac{BP}{\Delta E}=\frac{\Gamma P}{A\Delta}} και αφού \displaystyle{\Delta E =A\Delta}, θα έχουμε \displaystyle{PB=\Gamma P}.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4796
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Οκτ 29, 2012 7:01 pm

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται τετράγωνο \displaystyle{AB\Gamma\Delta} . Τα σημεία \displaystyle{E,Z} κινούνται πάνω στις πλευρές \displaystyle{B\Gamma,\Gamma\Delta} , αντίστοιχα, έτσι ώστε \displaystyle{\widehat{EAZ}= 45^o}.
Οι \displaystyle{AE} και \displaystyle{AZ} τέμνουν τη \displaystyle{B\Delta} στα σημεία \displaystyle{K} και \displaystyle{\Lambda },αντίστοιχα. Οι \displaystyle{E\Lambda } και \displaystyle{ZK} τέμνονται στο \displaystyle{H} και η \displaystyle{AH} τέμνει τη \displaystyle{ZE} στο \displaystyle{M}.
Να αποδείξετε ότι:
α) Η ευθεία \displaystyle{AM} είναι κάθετη προς τη \displaystyle{ZE}.
β) Η γωνία \displaystyle{\widehat{BM\Delta}} είναι σταθερή, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της θέσης των \displaystyle{E,Z} πάνω στις πλευρές \displaystyle{B\Gamma,\Gamma\Delta} αντίστοιχα.
(α) Aφού \displaystyle{\widehat{KAZ}=\widehat{K\Delta Z}\Rightarrow } το τετράπλευρο \displaystyle{A\Delta ZK} είναι εγγράψιμο και αφού

\displaystyle{\widehat{A\Delta Z}=90^{o}\Rightarrow \widehat{ZKE}=90^{o}}

Επίσης αφού \displaystyle{\widehat{\Lambda AE}=\widehat{\Lambda BE}\Rightarrow } το τετράπλευρο \displaystyle{ABE\Lambda} είναι εγγράψιμο και αφού \displaystyle{\widehat{ABE}=90^{o}\Rightarrow \widehat{E\Lambda A}=90^{o}}

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι στο τρίγωνο \displaystyle{ZAE}, τα \displaystyle{ZK , E\Lambda} είναι δύο ύψη του και άρα το \displaystyle{AM}, θα είναι το τρίτο ύψος. Άρα η ευθεία \displaystyle{AM} είναι κάθετη στην \displaystyle{ZE}.

(β) Από το εγγράψιμο \displaystyle{AMEB}, έχουμε: \displaystyle{\widehat{AMB}=\widehat{AEB}}

Από το εγγράψιμο \displaystyle{A\Delta ZM}, έχουμε: \displaystyle{\widehat{AM\Delta}=\widehat{AZ\Delta}}

Με πρόσθεση κατά μέλη των δύο πιο πάνω σχέσεων, έχουμε:

\displaystyle{\widehat{AMB}+\widehat{AM\Delta}=\widehat{AEB}+\widehat{AZ\Delta}\Rightarrow}

\displaystyle{\widehat{BM\Delta}=90^{o} -\widehat{EAB}+90^{0}- \widehat{\Delta AZ}=180^{o}-(\widehat{EAB}+\widehat{\Delta AZ})}

\displaystyle{=180^{o}-(90^{o}-45^{0})=135^{o}}

(Θα ακολουθήσει το σχήμα από τον ακούραστο Parmenides)


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6239
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Νοέμ 02, 2012 4:26 pm

parmenides51 έγραψε:2. Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθμούς που είναι ίσοι με το γινόμενο που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα ψηφία τους αυξημένα κατά \displaystyle{2}.
Έστω \displaystyle{\overline{xy}} ο ζητούμενος αριθμός με \displaystyle{x\in\{1,2,...,9\}} και \displaystyle{y\in\{0,1,2,...,9\}}. Προφανώς \displaystyle{\overline{xy}=10x+y}.

Έχουμε \displaystyle{\overline{xy}=(x+2)(y+2)\Leftrightarrow 10x+y=xy+2x+2y+4 \Leftrightarrow 10x-2x+y-2y-xy=4 }

\displaystyle{\Leftrightarrow 8x-xy-y=4\Leftrightarrow x(8-y)+8-y=8+4\Leftrightarrow (x+1)(8-y)=12} (1)

Επειδή οι αριθμοί \displaystyle{x+1} και \displaystyle{8-y} είναι ακέραιοι ως άθροισμα ακεραίων και επειδή \displaystyle{x+1>0} αφού \displaystyle{x\in\{1,2,...,9\}}

τότε λόγω της (1) ο αριθμός \displaystyle{x+1} είναι θετικός διαιρέτης του \displaystyle{12} δηλαδή \displaystyle{(x+1)\in\{1,2,3,4,6,12\}

\displaystyle{\bullet} για \displaystyle{x+1=1 \Leftrightarrow x=0} , απορρίπτεται διότι \displaystyle{x\in\{1,2,...,9\}}
\displaystyle{\bullet} για \displaystyle{x+1=2 \Leftrightarrow x=1} , έχουμε από την (1) πως \displaystyle{2 (8-y)=12\Leftrightarrow 8-y=6 \Leftrightarrow y=2} άρα ο αριθμός είναι ο \displaystyle{12}.
\displaystyle{\bullet} για \displaystyle{x+1=3 \Leftrightarrow x=2} , έχουμε από την (1) πως \displaystyle{3 (8-y)=12\Leftrightarrow 8-y=4 \Leftrightarrow y=4} άρα ο αριθμός είναι ο \displaystyle{24}.
\displaystyle{\bullet} για \displaystyle{x+1=4 \Leftrightarrow x=3} , έχουμε από την (1) πως \displaystyle{4 (8-y)=12\Leftrightarrow 8-y=3 \Leftrightarrow y=5} άρα ο αριθμός είναι ο \displaystyle{35}.
\displaystyle{\bullet} για \displaystyle{x+1=6 \Leftrightarrow x=5} , έχουμε από την (1) πως \displaystyle{6 (8-y)=12\Leftrightarrow 8-y=2 \Leftrightarrow y=6} άρα ο αριθμός είναι ο \displaystyle{56}.
\displaystyle{\bullet} για \displaystyle{x+1=12 \Leftrightarrow x=11} , απορρίπτεται διότι \displaystyle{x\in\{1,2,...,9\}}

άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι \displaystyle{12,24,35} και \displaystyle{56}


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6239
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Νοέμ 03, 2012 4:59 pm

parmenides51 έγραψε:1. Σε παραλληλόγραμμο \displaystyle{AB\Gamma\Delta} προεκτείνουμε την πλευρά \displaystyle{A\Delta} κατά τμήμα \displaystyle{\Delta E = A\Delta} .
Αν η \displaystyle{A\Gamma} τέμνει τη \displaystyle{BE} στο σημείο \displaystyle{Z}, να αποδείξετε ότι η \displaystyle{\Delta Z} περνάει από το μέσον της \displaystyle{B\Gamma}.
8alis 2002 1o.png
8alis 2002 1o.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 1266 φορές
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Έστω ότι η \displaystyle{\Delta Z} τέμνει την \displaystyle{B\Gamma} στο σημείο \displaystyle{P}.
Aπό τα όμοια τρίγωνα \displaystyle{ZBP , \Delta EZ} , τα \displaystyle{ZB\Gamma , ZAE}, και \displaystyle{ZP\Gamma , Z\Delta A}, έχουμε:

\displaystyle{\frac{BP}{\Delta E}=\frac{BZ}{ZE}=\frac{Z\Gamma}{ZA}=\frac{\Gamma P}{A\Delta}}

Άρα: \displaystyle{\frac{BP}{\Delta E}=\frac{\Gamma P}{A\Delta}} και αφού \displaystyle{\Delta E =A\Delta}, θα έχουμε \displaystyle{PB=\Gamma P}.
parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται τετράγωνο \displaystyle{AB\Gamma\Delta} . Τα σημεία \displaystyle{E,Z} κινούνται πάνω στις πλευρές \displaystyle{B\Gamma,\Gamma\Delta} , αντίστοιχα, έτσι ώστε \displaystyle{\widehat{EAZ}= 45^o}.
Οι \displaystyle{AE} και \displaystyle{AZ} τέμνουν τη \displaystyle{B\Delta} στα σημεία \displaystyle{K} και \displaystyle{\Lambda },αντίστοιχα. Οι \displaystyle{E\Lambda } και \displaystyle{ZK} τέμνονται στο \displaystyle{H} και η \displaystyle{AH} τέμνει τη \displaystyle{ZE} στο \displaystyle{M}.
Να αποδείξετε ότι:
α) Η ευθεία \displaystyle{AM} είναι κάθετη προς τη \displaystyle{ZE}.
β) Η γωνία \displaystyle{\widehat{BM\Delta}} είναι σταθερή, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της θέσης των \displaystyle{E,Z} πάνω στις πλευρές \displaystyle{B\Gamma,\Gamma\Delta} αντίστοιχα.
8alis 2002 4ob.png
8alis 2002 4ob.png (27.76 KiB) Προβλήθηκε 1266 φορές
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:(α) Aφού \displaystyle{\widehat{KAZ}=\widehat{K\Delta Z}\Rightarrow } το τετράπλευρο \displaystyle{A\Delta ZK} είναι εγγράψιμο και αφού

\displaystyle{\widehat{A\Delta Z}=90^{o}\Rightarrow \widehat{ZKE}=90^{o}}

Επίσης αφού \displaystyle{\widehat{\Lambda AE}=\widehat{\Lambda BE}\Rightarrow } το τετράπλευρο \displaystyle{ABE\Lambda} είναι εγγράψιμο και αφού \displaystyle{\widehat{ABE}=90^{o}\Rightarrow \widehat{E\Lambda A}=90^{o}}

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι στο τρίγωνο \displaystyle{ZAE}, τα \displaystyle{ZK , E\Lambda} είναι δύο ύψη του και άρα το \displaystyle{AM}, θα είναι το τρίτο ύψος. Άρα η ευθεία \displaystyle{AM} είναι κάθετη στην \displaystyle{ZE}.

(β) Από το εγγράψιμο \displaystyle{AMEB}, έχουμε: \displaystyle{\widehat{AMB}=\widehat{AEB}}

Από το εγγράψιμο \displaystyle{A\Delta ZM}, έχουμε: \displaystyle{\widehat{AM\Delta}=\widehat{AZ\Delta}}

Με πρόσθεση κατά μέλη των δύο πιο πάνω σχέσεων, έχουμε:

\displaystyle{\widehat{AMB}+\widehat{AM\Delta}=\widehat{AEB}+\widehat{AZ\Delta}\Rightarrow}

\displaystyle{\widehat{BM\Delta}=90^{o} -\widehat{EAB}+90^{0}- \widehat{\Delta AZ}=180^{o}-(\widehat{EAB}+\widehat{\Delta AZ})}

\displaystyle{=180^{o}-(90^{o}-45^{0})=135^{o}}
edit
Δημήτρη πολύ ωραία λύση έδωσες στο 4ο :clap2:


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6473
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Οκτ 31, 2024 2:37 am

parmenides51 έγραψε:
Παρ Οκτ 26, 2012 11:55 pm
3. Αν η εξίσωση \displaystyle{\alpha x^2 - 4\beta x + 4\gamma = 0, \alpha > 0} έχει δυο ρίζες στο διάστημα \displaystyle{[2,3]}, να αποδείξετε ότι:
α)\displaystyle{ \alpha  \le \beta \le \gamma < \alpha + \beta}
β) \displaystyle{\frac{\alpha }{\alpha +\gamma }+ \frac{\beta }{\beta +\alpha } > \frac{\gamma }{\gamma +\beta }}

https://artofproblemsolving.com/communi ... 4bx__4c__0


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης