ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Σε παραλληλόγραμμο προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα .
Αν η τέμνει τη στο σημείο , να αποδείξετε ότι η περνάει από το μέσον της .
2. Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθμούς που είναι ίσοι με το γινόμενο που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα ψηφία τους αυξημένα κατά .
3. Αν η εξίσωση έχει δυο ρίζες στο διάστημα , να αποδείξετε ότι:
α)
β)
4. Δίνεται τετράγωνο . Τα σημεία κινούνται πάνω στις πλευρές , αντίστοιχα, έτσι ώστε .
Οι και τέμνουν τη στα σημεία και ,αντίστοιχα. Οι και τέμνονται στο και η τέμνει τη στο .
Να αποδείξετε ότι:
α) Η ευθεία είναι κάθετη προς τη .
β) Η γωνία είναι σταθερή, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της θέσης των πάνω στις πλευρές αντίστοιχα.
Αν η τέμνει τη στο σημείο , να αποδείξετε ότι η περνάει από το μέσον της .
2. Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθμούς που είναι ίσοι με το γινόμενο που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα ψηφία τους αυξημένα κατά .
3. Αν η εξίσωση έχει δυο ρίζες στο διάστημα , να αποδείξετε ότι:
α)
β)
4. Δίνεται τετράγωνο . Τα σημεία κινούνται πάνω στις πλευρές , αντίστοιχα, έτσι ώστε .
Οι και τέμνουν τη στα σημεία και ,αντίστοιχα. Οι και τέμνονται στο και η τέμνει τη στο .
Να αποδείξετε ότι:
α) Η ευθεία είναι κάθετη προς τη .
β) Η γωνία είναι σταθερή, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της θέσης των πάνω στις πλευρές αντίστοιχα.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αν δεν υπάρχει λάθος στο διπλό στο τέλος
παρόμοιαparmenides51 έγραψε:2. Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθμούς που είναι ίσοι με το γινόμενο που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα ψηφία τους αυξημένα κατά .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4796
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι:parmenides51 έγραψε:3. Αν η εξίσωση έχει δυο ρίζες στο διάστημα , να αποδείξετε ότι:
α)
β)
. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι: (δεδομένου ότι )
,ή αρκεί:
, ή αρκεί:
Δείχνω πρώτα ότι . Αυτό όμως είναι προφανές, αφού από την υπόθεση δίνεται ότι:
Δείχνω τώρα ότι . Αρκεί να δείξω ότι: , ή:
, ή , ή:
Αφού όμως . Όμοια .
Από τις δύο παραπάνω σχέσεις έπεται ότι και άρα έχουμε το ζητούμενο
Τέλος μένει να δείξω ότι: .
Αρκεί να δείξω ότι: , ή: , ή: .
Όμως : . Και ομοίως:
Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των παραπάνω σχέσεων, έχω:
Άρα: , οπότε έχουμε το ζητούμενο.
(β) Έχουμε:
, (αφού από το προηγούμενο ερώτημα, είχαμε:
)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4796
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Έστω , ο ζητούμενος διψήφιος. Τότε με βάση το πρόβλημα, έχουμε:parmenides51 έγραψε:2. Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθμούς που είναι ίσοι με το γινόμενο που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα ψηφία τους αυξημένα κατά .
. Αν ήταν , τότε η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη. Άρα
Τότε . Αφού ο είναι φυσικός αριθμός
(και μάλιστα ), θα πρέπει ο , να είναι διαιρέτης του .
Επίσης πρέπει:
Από εδώ προκύπτει ότι πρέπει να είναι και αφού πρέπει επί πλέον ο να διαιρεί τον , άρα
Αν , άρα έχουμε τον διψήφιο
Aν , άρα έχουμε τον
Aν , άρα έχουμε τον
Aν , άρα έχουμε τον
Αν , απορρίπτεται.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4796
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Έστω ότι η τέμνει την στο σημείο .parmenides51 έγραψε:1. Σε παραλληλόγραμμο προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα .
Αν η τέμνει τη στο σημείο , να αποδείξετε ότι η περνάει από το μέσον της .
Aπό τα όμοια τρίγωνα , τα , και , έχουμε:
Άρα: και αφού , θα έχουμε .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4796
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
(α) Aφού το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και αφούparmenides51 έγραψε:4. Δίνεται τετράγωνο . Τα σημεία κινούνται πάνω στις πλευρές , αντίστοιχα, έτσι ώστε .
Οι και τέμνουν τη στα σημεία και ,αντίστοιχα. Οι και τέμνονται στο και η τέμνει τη στο .
Να αποδείξετε ότι:
α) Η ευθεία είναι κάθετη προς τη .
β) Η γωνία είναι σταθερή, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της θέσης των πάνω στις πλευρές αντίστοιχα.
Επίσης αφού το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και αφού
Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι στο τρίγωνο , τα είναι δύο ύψη του και άρα το , θα είναι το τρίτο ύψος. Άρα η ευθεία είναι κάθετη στην .
(β) Από το εγγράψιμο , έχουμε:
Από το εγγράψιμο , έχουμε:
Με πρόσθεση κατά μέλη των δύο πιο πάνω σχέσεων, έχουμε:
(Θα ακολουθήσει το σχήμα από τον ακούραστο Parmenides)
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Έστω ο ζητούμενος αριθμός με και . Προφανώς .parmenides51 έγραψε:2. Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθμούς που είναι ίσοι με το γινόμενο που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα ψηφία τους αυξημένα κατά .
Έχουμε
(1)
Επειδή οι αριθμοί και είναι ακέραιοι ως άθροισμα ακεραίων και επειδή αφού
τότε λόγω της (1) ο αριθμός είναι θετικός διαιρέτης του δηλαδή
για , απορρίπτεται διότι
για , έχουμε από την (1) πως άρα ο αριθμός είναι ο .
για , έχουμε από την (1) πως άρα ο αριθμός είναι ο .
για , έχουμε από την (1) πως άρα ο αριθμός είναι ο .
για , έχουμε από την (1) πως άρα ο αριθμός είναι ο .
για , απορρίπτεται διότι
άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι και
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
parmenides51 έγραψε:1. Σε παραλληλόγραμμο προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα .
Αν η τέμνει τη στο σημείο , να αποδείξετε ότι η περνάει από το μέσον της .
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Έστω ότι η τέμνει την στο σημείο .
Aπό τα όμοια τρίγωνα , τα , και , έχουμε:
Άρα: και αφού , θα έχουμε .
parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται τετράγωνο . Τα σημεία κινούνται πάνω στις πλευρές , αντίστοιχα, έτσι ώστε .
Οι και τέμνουν τη στα σημεία και ,αντίστοιχα. Οι και τέμνονται στο και η τέμνει τη στο .
Να αποδείξετε ότι:
α) Η ευθεία είναι κάθετη προς τη .
β) Η γωνία είναι σταθερή, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της θέσης των πάνω στις πλευρές αντίστοιχα.
editΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:(α) Aφού το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και αφού
Επίσης αφού το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και αφού
Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι στο τρίγωνο , τα είναι δύο ύψη του και άρα το , θα είναι το τρίτο ύψος. Άρα η ευθεία είναι κάθετη στην .
(β) Από το εγγράψιμο , έχουμε:
Από το εγγράψιμο , έχουμε:
Με πρόσθεση κατά μέλη των δύο πιο πάνω σχέσεων, έχουμε:
Δημήτρη πολύ ωραία λύση έδωσες στο 4ο
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6473
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
parmenides51 έγραψε: ↑Παρ Οκτ 26, 2012 11:55 pm3. Αν η εξίσωση έχει δυο ρίζες στο διάστημα , να αποδείξετε ότι:
α)
β)
https://artofproblemsolving.com/communi ... 4bx__4c__0
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης