ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ όταν $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y=30\\ x\cdot \frac{\displaystyle\left\{\left[\left(5^3)^{12}:5^{\displaystyle 2^5}\right]-5^2\right\}:50}{\displaystyle\left(4+2^{192}:2^{188}\right):5}=y \end{matrix} \right\}}$

2. Να προσδιοριστούν τα ψηφία $\displaystyle{\alpha \in\{1, 2, ... , 9\} , \beta \in\{0, 1, 2, ... ,9 \} }$ , αν το κλάσμα $\displaystyle{K=\frac{10\alpha+ \beta}{\alpha+ \beta}}$ απλοποιείται με το $\displaystyle{6}$ .

3. Να προσδιοριστεί ο αριθμός $\displaystyle{x}$ αν είναι γνωστό ότι

$\displaystyle{2^{1997}−2^{1996}−1+\left\{\left[( 2^{80} :2^{78} ) :2^2\right]\cdot x−1−2^2\right\}( x+3^2)}$ $\displaystyle{=2^{1995}+2^{1994}+...+2^2+2+1}$ .

4. Μπορείτε να ζωγραφίσετε $\displaystyle{12}$ κύκλους, ώστε o καθένας από αυτούς να εφάπτεται σε $\displaystyle{5}$ ακριβώς από τους δοσμένους κύκλους;

#2

parmenides51 έγραψε:2. Να προσδιοριστούν τα ψηφία $\displaystyle{\alpha \in\{1, 2, ... , 9\} , \beta \in\{0, 1, 2, ... ,9 \} }$ , αν το κλάσμα $\displaystyle{K=\frac{10\alpha+ \beta}{\alpha+ \beta}}$ απλοποιείται με το $\displaystyle{6}$ .

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{K=\frac{10a+\beta}{a+\beta}}$ . Αφού το κλάσμα αυτό πρέπει να απλοποιείται με το

, άρα θα πρέπει ο

να διαιρεί και τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Αφού ο $\displaystyle{10a}$ είναι άρτιος, τότε για να διαιρείται με το

ο αριθμητής, θα πρέπει και ο $\displaystyle{\beta}$ , να είναι άρτιος. Άρα ο $\displaystyle{\beta}$ , θα παίρνει μία από τις τιμές 0 , 2 , 4 , 6 , 8

Αν $\displaystyle{\beta =0}$ , τότε $\displaystyle{K=\frac{10a}{a}}$ και για να απλοποιείται με το

, πρέπει $\displaystyle{a=6}$

Αν $\displaystyle{\beta =2}$ , τότε $\displaystyle{K=\frac{10a+2}{a+2}}$ και για να απλοποιείται με το

, πρέπει $\displaystyle{a=4}$

Aν $\displaystyle{\beta =4}$ , τότε $\displaystyle{K=\frac{10a+4}{a+4}}$ και άρα $\displaystyle{a=2}$ , ή $\displaystyle{a=8}$

Aν $\displaystyle{\beta =6}$ , τότε $\displaystyle{K=\frac{10a+6}{a+6}}$ και άρα $\displaystyle{a=0}$ , ή $\displaystyle{a=6}$

Tέλος, αν $\displaystyle{\beta =8}$ , τότε $\displaystyle{K=\frac{10a+8}{a+8}}$ και άρα $\displaystyle{a=4}$

#3

parmenides51 έγραψε:3. Να προσδιοριστεί ο αριθμός $\displaystyle{x}$ αν είναι γνωστό ότι $\displaystyle{2^{1997}−2^{1996}−1+\left\{\left[( 2^{80} :2^{78} ) :2^2\right]\cdot x−1−2^2\right\}( x+3^2)}$ $\displaystyle{=2^{1995}+2^{1994}+...+2^2+2+1}$ .

Η δυσκολία σε αυτό το θέμα είναι να μπορέσουμε να βρούμε το άθροισμα

$\displaystyle{S=2^{1995}+2^{1994}+2^{1993}+ . . . +2^{1}+1}$ , (φυσικά χωρίς να χρησιμοποιήσουμε προόδους, αφού δεν έχουν διδαχθεί στο Γυμνάσιο, ούτε και την ταυτότητα $\displaystyle{a^n -1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)}$ , για τον ίδιο λόγο.

Ο πιο κοντινός προς το Γυμνάσιο τρόπος υπολογισμού αυτού του αθροίσματος, είναι νομίζω αυτός που χρησιμοποιούμε για την απόδειξη του τύπου που δίνει το άθροισμα των όρων γεωμετρικής προόδου.

Έχουμε λοιπόν:

$\displaystyle{S=2^{1995}+2^{1994}+2^{1993}+ . . . +2^2 +2^1 +1}$ . Πολλαπλασιάζω τα μέλη της πιο πάνω ισότητας με το

και έχω:

$\displaystyle{2S=2^{1996}+2^{1995}+2^{1994}+ . . . +2^3 +2^2 +2}$

Από την δεύτερη σχέση, αφαιρούμε την πρώτη και έχουμε:

$\displaystyle{2S-S=2^{1996}-1\Rightarrow S=2^{1996}-1}$ .

Tώρα μπορούμε να λύσουμε την δοσμένη εξίσωση:

$\displaystyle{2^{1997}-2^{1996}-1+[(2^2 :2^2)x-1-2^2](x+9)=2^{1996}-1\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{2^{1997}-2^{1996}-1+(x-5)(x+9)=2^{1996}-1\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{2.2^{1996}-2^{1996}+(x-5)(x+9)=2^{1996}\Leftrightarrow 2^{1996}(2-1)+(x-5)(x+9)=2^{1996}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{2^{1996}+(x-5)(x+9)=2^{1996}\Leftrightarrow (x-5)(x+9)=0\Leftrightarrow x-5=0}$ , ή $\displaystyle{x+9=0}$

Άρα $\displaystyle{x=5}$ , ή $\displaystyle{x=-9}$

#4

parmenides51 έγραψε:4. Μπορείτε να ζωγραφίσετε $\displaystyle{12}$ κύκλους, ώστε o καθένας από αυτούς να εφάπτεται σε $\displaystyle{5}$ ακριβώς από τους δοσμένους κύκλους;

Θα ήθελα να δω απόψεις των συναδέλφων για το "περίεργο" αυτό θέμα. Έχω κάτι σκεφτεί, αλλά μόνο να το περιγράψω μπορώ (γιατί αδυνατώ ακόμα να κατασκευάζω σχήματα). Θα περιμένω μήπως κάποιος δώσει απάντηση.

tsaknakis · #5

parmenides51 έγραψε: 4. Μπορείτε να ζωγραφίσετε $\displaystyle{12}$ κύκλους, ώστε o καθένας από αυτούς να εφάπτεται σε $\displaystyle{5}$ ακριβώς από τους δοσμένους κύκλους;

ένα πρόχειρο σχήμα για το πως θα είναι οι κύκλοι

#6

Καλημέρα tsaknakis. Πράγματι, οι κύκλοι που μας έδωσες ικανοποιούν την απαίτηση της άσκησης . Δεν ξέρω αν ο θεματοδότης είχε αυτό το σχήμα στον νου του, γιατί μου φαίνεται ότι πολύ δύσκολα ένας μαθητής Β Γυμνασίου, θα μπορούσε με διαβήτη να το κατασκευάσει.
Φαντάζομαι ότι πρώτα θα κατασκευάσει τον μικρό στο κέντρο του σχεδίου που μας έδωσες κύκλο, με αυθαίρετη ακτίνα. Αλλά τους επόμενους

κύκλους που εφάπτονται με αυτόν, με τι ακτίνα θα έπρεπε να τους κατασκευάσει; Όμοια και για τους υπόλοιπυς, πως θα έβρισκε την ακτίνα; Γιατί με τυχαία ακτίνα δεν κατασκευάζεται το σχήμα. Ούτε μου φαίνεται λογικό να ήθελαν να ανοιγοκλείνει ο μαθητής τον διαβήτη στην τύχη μέχρι να πετύχει να κατασκευάσει το σχήμα που θα ε'ιχε φανταστεί.

#7

Είμαι σχεδόν βέβαιος ότι αυτό το σχήμα είχε υπόψη ο θεματοθέτης. Βάζω και μια διαφορετική απάντηση που δείχνει πως μπορούμε να σκεφτούμε αλλά που ξεφεύγει από την ύλη των διαγωνισμών, πόσω μάλλον από την ύλη της Β' Γυμνασίου.

Παίρνουμε ένα κανονικό δωδεκάεδρο εγγεγραμμένο στην μονανιαία σφαίρα και εγγράφουμε κύκλους σε κάθε μία από τις δώδεκα έδρες του. (Εδώ εννοώ σφαιρικούς κύκλους, δηλαδή παίρνουμε την τομή του επιπέδου που περιέχει το πεντάγωνο με την σφαίρα.) Παρατηρούμε ότι αφού οι έδρες είναι κανονικά πεντάγωνα και κάθε ένας από τους κύκλους είναι εγγεγραμμένος σε ένα από αυτά τότε κάθε κύκλος εφάπτεται με ακριβώς πέντε άλλους κύκλους. Τώρα παίρνουμε οποιοδήποτε σημείο της σφαίρας που δεν ανήκει πάνω στους κύκλους και μέσω αυτού το προβάλλουμε στερεογραφικά στο επίπεδο. Είναι γνωστό ότι οι κύκλοι που δεν παιρνούν από το σημείο προβάλλονται σε κύκλους. Επίσης γνωστό είναι ότι η προβολή διατηρεί τις γωνίες οπότε οι κύκλοι εξακολουθούν να είναι εφαπτόμενοι. Άρα έχουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα.

S.E.Louridas · #8

parmenides51 έγραψε: ...4. Μπορείτε να ζωγραφίσετε $\displaystyle{12}$ κύκλους, ώστε o καθένας από αυτούς να εφάπτεται σε $\displaystyle{5}$ ακριβώς από τους δοσμένους κύκλους;

Ναι προφανώς αυτό είναι το σχήμα (άμεσα πάνω).
Μία λογική είναι εκείνη που απορρέει από το εξής θεωρητικό Ντοκουμέντο:
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο με κέντρα τις κορυφές του και ακτίνα το μισό της πλευράς του γράφονται ν-εφαπτόμενοι κύκλοι. Όλοι αυτοί εφάπτονται σε έναν κύκλο εσωτερικά αλλά και σε έναν μικρότερο κύκλο εξωτερικά. Αυτό το «φαινόμενο» «επεκτείνεται» ή «συρρικνώνεται» χωρίς χάσιμο των επαφών (λόγω της κανονικότητας που υπάρχει) κατά το δοκούν με βάση απλή σύνθεση των μετασχηματισμών ομοιοθεσίας και στροφής.

parmenides51 · #9

parmenides51 έγραψε:4. Μπορείτε να ζωγραφίσετε $\displaystyle{12}$ κύκλους, ώστε o καθένας από αυτούς να εφάπτεται σε $\displaystyle{5}$ ακριβώς από τους δοσμένους κύκλους;

παρόμοια

parmenides51 · #10

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ όταν $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y=30\\ x\cdot \frac{\displaystyle\left\{\left[(5^3)^{12}:5^{\displaystyle 2^5}\right]-5^2\right\}:50}{\displaystyle\left(4+2^{192}:2^{188}\right):5}=y \end{matrix} \right\}}$

$\displaystyle{ \frac{\displaystyle\left\{\left[(5^3)^{12}:5^{\displaystyle 2^5}\right]-5^2\right\}:50}{\displaystyle\left(4+2^{192}:2^{188}\right):5}=}$

$\displaystyle{= \frac{\left[(5^{3\cdot 12}:5^{ 32})-5^2\right]:50}{\left(4+2^{192-188}\right):5}}$

$\displaystyle{= \frac{\left[(5^{36}:5^{ 32})-5^2\right]:50}{\left(4+2^{4}\right):5}}$

$\displaystyle{= \frac{\left(5^{36- 32}-5^2\right):50}{\left(4+16\right):5}}$

$\displaystyle{= \frac{(5^4-5^2):50}{20:5}}$

$\displaystyle{= \frac{(625-25):50}{4}}$

$\displaystyle{= \frac{600:50}{4}}$

$\displaystyle{= \frac{12}{4}}$
$\displaystyle{=3}$

οπότε $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y=30\\ 3x=y \end{matrix} \right}$

αντικαθιστώντας στην εξίσωση $\displaystyle{x+y=30}$ όπου $\displaystyle{y=3x}$ έχω

$\displaystyle{x+3x=30 \Leftrightarrow 4x=30 \Leftrightarrow \frac{4x}{4}=\frac{30}{4} \Leftrightarrow x=7,5}$

οπότε $\displaystyle{y=3x=3\cdot 7,5=22,5}$

sakito · #11

26 χρόνια μετά κι ακόμη απορώ γιατί ποιον λόγο μου πήραν λάθος (όπως με ενημέρωσαν) την παρακάτω λύση στο 4ο θέμα.
https://ibb.co/4prtxN9

#12

sakito έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 18, 2023 4:59 am
26 χρόνια μετά κι ακόμη απορώ γιατί ποιον λόγο μου πήραν λάθος (όπως με ενημέρωσαν) την παρακάτω λύση στο 4ο θέμα.

Sakito, το σχήμα σου δεν φαίνεται. Έχεις την καλοσύνη να το διορθώσεις; Είναι αυτονόητο ότι όταν φορτώνουμε ένα σχήμα, κάνουμε και έναν έλεγχο να δούμε αν φορτώθηκε σωστά.

sakito · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 18, 2023 1:16 pm

sakito έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 18, 2023 4:59 am
26 χρόνια μετά κι ακόμη απορώ γιατί ποιον λόγο μου πήραν λάθος (όπως με ενημέρωσαν) την παρακάτω λύση στο 4ο θέμα.

Sakito, το σχήμα σου δεν φαίνεται. Έχεις την καλοσύνη να το διορθώσεις; Είναι αυτονόητο ότι όταν φορτώνουμε ένα σχήμα, κάνουμε και έναν έλεγχο να δούμε αν φορτώθηκε σωστά.

sorry, δεν βρήκα τρόπο πώς να ανεβάσω φωτο. Την ανέβασα στο imgbb κι αφησα το link, αλλά είχα ξεχάσει τα img tags γύρω από το link.
Διόρθωσα το παραπάνω post

#14

sakito έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 18, 2023 4:59 am
26 χρόνια μετά κι ακόμη απορώ γιατί ποιον λόγο μου πήραν λάθος (όπως με ενημέρωσαν) την παρακάτω λύση στο 4ο θέμα.
https://ibb.co/4prtxN9

Για εμένα η λύση σου παίρνει

Δεν υπάρχει δικαιολογία να μην την εκλάβουν ως σωστή. Αν πράγματι την πήραν λάθος, πρόκειται για αστοχία τους.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση