ΘΑΛΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6239
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΘΑΛΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Οκτ 05, 2012 7:52 pm

1. Το τετράγωνο ενός αριθμού ισούται με τον αριθμό αυξημένο κατά \displaystyle{72}. Επιπλέον, αν από το \displaystyle{60} αφαιρέσουμε το διπλάσιο του αριθμού, λαμβάνουμε αριθμό μικρότερο του \displaystyle{52}. Να βρεθεί ο αριθμός.

2. Αν \displaystyle{x, y, \alpha, \beta} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε \displaystyle{x\ne y, x\ne 2y, y\ne 2x, \alpha \ne \pm 3\beta } και \displaystyle{\frac{2x-y}{\alpha +3\beta }=\frac{2y-x}{\alpha -3\beta }= \lambda} , να αποδείξετε ότι:
α) \displaystyle{x + y = 2\lambda \alpha} και \displaystyle{x − y = 2\lambda \beta }
β) \displaystyle{\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}\ge  1}.

3. Σε τραπέζιο \displaystyle{AB\Gamma\Delta } (\displaystyle{AB//\Gamma\Delta}) οι διαγώνιες τέμνονται στο \displaystyle{E}. Αν είναι \displaystyle{(ABE) = 72 m^2} και \displaystyle{(\Gamma\Delta E) = 50 m^2},
να υπολογίσετε το εμβαδό του τραπεζίου \displaystyle{AB\Gamma\Delta } .

4. Να βρεθούν οι ακέραιοι \displaystyle{\alpha ,\beta} για τους οποίους ισχύει η ισότητα \displaystyle{\alpha\beta^2 + 2\alpha\beta + \alpha = 2\beta^2 + 4\beta + 3}.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1779
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Οκτ 06, 2012 11:08 am

1)

\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {{x^2} = x + 72}  \\ 
   {60 - 2x < 52}  \\ 
\end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {{x^2} - x - 72 = 0}  \\ 
   {x > 4}  \\ 
\end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x =  - 8\,\, \vee \,\,x = 9}  \\ 
   {x > 4}  \\ 
\end{array}} \right\} \Leftrightarrow x = 9}

4)
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \alpha {\beta ^2} + 2\alpha \beta  + \alpha  = 2{\beta ^2} + 4\beta  + 3 \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow (\alpha  - 2){\beta ^2} + 2(\alpha  - 2)\beta  + (\alpha  - 2) - 1 = 0 \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow (\alpha  - 2){(\beta  + 1)^2} = 1 \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow \alpha  - 2 = 1\,\,\, \wedge \,(\,\,\beta  + 1 = 1\,\,\,\, \vee \,\,\beta  + 1 =  - 1) \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow \alpha  = 3\,\,\, \wedge \,(\,\,\beta  = 0\,\,\, \vee \,\,\beta  =  - 2) \\  
 \end{array}}


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1779
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Οκτ 06, 2012 6:40 pm

2) Είναι :

\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {\frac{{2x - y}}{{a + 3b}} = {\rm{\lambda }}}  \\ 
   {\frac{{2y - x}}{{a - 3b}} = \lambda }  \\ 
\end{array}} \right\} \Rightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {2x - y = {\rm{\lambda (a + 3b)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}  \\ 
   {\,\,\,2y - x = \lambda (a - 3b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}  \\ 
\end{array}} \right\} \\  
 \left. \begin{array}{l} 
 (1) + (2) \Rightarrow x + y = 2{\rm{\lambda }}a \\  
 (1) - (2) \Rightarrow 3x - 3y = 6{\rm{\lambda b}} \\  
 \end{array} \right\} \Rightarrow \,\,\,\,\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x + y = 2{\rm{\lambda }}a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}  \\ 
   {x - y = 2{\rm{\lambda b}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{(4)}}}  \\ 
\end{array}} \right\} \\  
 (3) + (4) \Rightarrow x = {\rm{\lambda (}}a + b{\rm{)}} \\  
 (3) - (4) \Rightarrow y = \lambda (a - b) \\  
 \end{array}}
Τότε
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{{{(x + y)}^2} - 2xy}}{{4{{\rm{\lambda }}^2}ab}} = \frac{{4{{\rm{\lambda }}^2}{a^2} - 2{{\rm{\lambda }}^2}({a^2} - {b^2})}}{{4{{\rm{\lambda }}^2}ab}} = \frac{{2{a^2} - ({a^2} - {b^2})}}{{2ab}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2ab}} \ge 1 \\  
  \\  
 \end{array}}

Που ισχύει , αφού ισοδυναμεί με \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0\,\,\,\,}



3)
Είναι \displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm A}{\rm E}{\rm B}}} \approx {\rm{{\rm E}\Delta \Gamma }}\,\,\,}
Επομένως

\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \,\,{\rm{ }}\frac{{({\rm A}{\rm E}{\rm B})}}{{({\rm E}\Delta \Gamma )}} = {\lambda ^2} = {\left( {\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Delta \Gamma }}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{{72}}{{50}} = {\left( {\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Delta \Gamma }}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Delta \Gamma }} = \sqrt {\frac{{36}}{{25}}}  = \frac{6}{5} \Leftrightarrow {\rm A}{\rm B} = \frac{{6\Delta \Gamma }}{5}\,\,\,\,(1) \\  
  \\  
 \,\,\,\,\frac{{({\rm A}{\rm E}{\rm B})}}{{({\rm E}\Delta \Gamma )}} = {\lambda ^2} = {\left( {\frac{{{\rm E}{\rm K}}}{{{\rm E}\Lambda }}} \right)^2} \Leftrightarrow .... \Leftrightarrow {\rm E}{\rm K} = \frac{{6{\rm E}\Lambda }}{5}\,\,\,\,(2) \\  
  \\  
 \,\,\,\,(2) \Rightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm K}\Lambda  = {\rm K}{\rm E} + {\rm E}\Lambda  = \frac{{11{\rm E}\Lambda }}{5}\,\,\,\,,\,\,(1) \Rightarrow \,{\rm A}{\rm B} + \Gamma \Delta  = \frac{{11\Delta \Gamma }}{5}\,\,\,\,\,(4) \\  
  \\  
 \,\,\,(3)\,,\,(4) \Rightarrow ({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = \frac{{{\rm A}{\rm B} + \Gamma \Delta }}{2}{\rm K}\Lambda  = \frac{1}{2} \cdot \frac{{121}}{{25}}{\rm E}\Lambda  \cdot \Delta \Gamma  = \frac{{121}}{{25}} \cdot \frac{{{\rm E}\Lambda  \cdot \Delta \Gamma }}{2} = \frac{{121}}{{25}}50 = 242 \\  
 \end{array}}
Συνημμένα
Trapezio.png
Trapezio.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 1596 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6239
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Οκτ 12, 2012 12:46 am

parmenides51 έγραψε:2. Αν \displaystyle{x, y, \alpha, \beta} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε \displaystyle{x\ne y, x\ne 2y, y\ne 2x, \alpha \ne \pm 3\beta } και \displaystyle{\frac{2x-y}{\alpha +3\beta }=\frac{2y-x}{\alpha -3\beta }= \lambda} , να αποδείξετε ότι:
α) \displaystyle{x + y = 2\lambda \alpha} και \displaystyle{x − y = 2\lambda \beta }
β) \displaystyle{\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}\ge  1}.
διαφορετικά το (α) εδώ


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6473
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2003 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Οκτ 31, 2024 2:00 am

parmenides51 έγραψε:
Παρ Οκτ 05, 2012 7:52 pm
2. Αν \displaystyle{x, y, \alpha, \beta} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε \displaystyle{x\ne y, x\ne 2y, y\ne 2x, \alpha \ne \pm 3\beta } και \displaystyle{\frac{2x-y}{\alpha +3\beta }=\frac{2y-x}{\alpha -3\beta }= \lambda} , να αποδείξετε ότι:
α) \displaystyle{x + y = 2\lambda \alpha} και \displaystyle{x − y = 2\lambda \beta }
β) \displaystyle{\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}\ge  1}.

https://artofproblemsolving.com/communi ... 56p2068411


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης