ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Οκτ 04, 2012 3:25 am

1. Αν \displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1} και \displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1} . με \displaystyle{a , b , c \neq 0}, να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{xy +yz +zx=0}

2. Αν οι φυσικοί αριθμοί \displaystyle{a , a+d , a+2d}, είναι πρώτοι, μεγαλύτεροι του 3, να αποδείξετε ότι το 6 διαιρεί το d

3. Στην πλευρά BC ισοσκελούς τριγώνου ABC, (AB=BC), θεωρούμε σημεία M , N τέτοια ώστε NM=AM, και
M\hat AC=B\hat AN. Να υπολογίσετε την γωνία C\hat AN

4. Ο καθηγητής έγραψε το τριώνυμο \displaystyle{x^2 +10x+20} στον πίνακα. Στη συνέχεια κάποιοι μαθητές ε'ιτε πρόσθεταν 1, είτε αφαιρούσαν 1 , (όχι και τα δύο ταυτόχρονα), από τον συντελεστή του x, ή από τον σταθερό όρο και μετά από λίγο, εμφανίσθηκε το τριώνυμο : \displaystyle{x^2 +20x +10}. Nα αποδείξετε ότι κάποιο από τα τριώνυμα που εμφανίσθηκαν διαδοχικά στον πίνακα είχε ακέραιες ρίζες.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Οκτ 04, 2012 8:16 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: 4. Ο καθηγητής έγραψε το τριώνυμο \displaystyle{x^2 +10x+20} στον πίνακα. Στη συνέχεια κάποιοι μαθητές ε'ιτε πρόσθεταν 1, είτε αφαιρούσαν 1 , (όχι και τα δύο ταυτόχρονα), από τον συντελεστή του x, ή από τον σταθερό όρο και μετά από λίγο, εμφανίσθηκε το τριώνυμο : \displaystyle{x^2 +20x +10}. Nα αποδείξετε ότι κάποιο από τα τριώνυμα που εμφανίσθηκαν διαδοχικά στον πίνακα είχε ακέραιες ρίζες.
Όμορφο. Συμβολίζουμε με a τον συντελεστή του x και με b τον σταθερό όρο. Έστω d = a-b. Παρατηρούμε ότι αρχικά έχουμε d=10 ενώ τελικά έχουμε d=-10. Επίσης σε κάθε βήμα το d είτε αυξάνεται είτε μειώνεται κατα 1. Πρέπει λοιπόν σε κάποιο βήμα να έχουμε d=1. Τότε όμως a=b+1. Το τριώνυμο σε αυτό το βήμα θα ισούται με x^2 + (b+1)x + b = (x+b)(x+1) και άρα θα έχει ρίζες τα -1 και -b που είναι και τα δύο ακέραιοι.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Οκτ 04, 2012 4:33 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:2. Αν οι φυσικοί αριθμοί \displaystyle{a , a+d , a+2d}, είναι πρώτοι, μεγαλύτεροι του 3, να αποδείξετε ότι το 6 διαιρεί το d
Αφού ο a είναι πρώτος μεγαλύτερος του 3, θα έχουμε ότι: \displaystyle{a=3k+1}, ή \displaystyle{a=3k+2}, όπου \displaystyle{k\epsilon N^{*}}

Για να αποδείξουμε ότι ο \displaystyle{d} διαιρείται με το 6, αρκεί να δείξουμε ότι ο \displaystyle{d} διαιρείται με το 2 και με το 3,

(εφόσον οι αριθμοί 2 και 3 είναι πρώτοι μεταξύ τους).

Όμως ο \displaystyle{d}, αποκλείεται να είναι περιττός, διότι αν αυτό συνέβαινε, τότε επειδή και ο \displaystyle{a} είναι εξ υποθέσεως περιττός, θα είχαμε ότι \displaystyle{a+d=}άρτιος, πράγμα που είναι άτοπο, εξ υποθέσεως.
Άρα ο \displaystyle{d} είναι άρτιος και άρα διαιρείται με το 2.

Μένει τώρα να αποδείξουμε ότι ο \displaystyle{d}, διαιρείται και με το 3.

Πράγματι, έστω ότι \displaystyle{d=3m+1 , m\epsilon N}. Τότε :

\displaystyle{a=3k+1}, θα είναι \displaystyle{a+2d=3k+1+2(3m+1)=3k+6m+3=3(k+2m+1)} και αφού \displaystyle{a+2d>3}, συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός αυτός δεν είναι πρώτος, που είναι άτοπο από την υπόθεση.

Αν πάλι ήταν \displaystyle{a=3k+2}, τότε \displaystyle{a+d=3k+2+3m+1=3k+3m+3=3(k+m+1)} και άρα και πάλι καταλήγουμε σε άτοπο.

Συνεπώς, αποκλείεται να είναι \displaystyle{d=3m+1}

Έστω ότι είναι \displaystyle{d=3m+2}, \displaystyle{m\epsilon N}. Τότε πάλι καταλήγουμε σε άτοπο με τον ίδιο όπως και πριν τρόπο.

Άρα υποχρεωτικά θα είναι \displaystyle{d=3m , m\epsilon N}, δηλαδή ο \displaystyle{d} διαιρείται με το 3 και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 264
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ch.Chortis » Πέμ Οκτ 04, 2012 5:41 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Αν \displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1} και \displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1} . με \displaystyle{a , b , c \neq 0}, να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{xy +yz +zx=0}
Καλησπέρα σε όλα τα μέλη του :logo: .
Παρατηρούμε οτι από την εκφώνηση μας δίνεται η δυνατότητα να γράψουμε
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 \Leftrightarrow \\ a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow \\ 2(ab+bc+ac)=ab+bc+ac=0~(\star)
(αφού:a+b+c=(a+b+c)^2=1)
Έπίσης εχουμε:
συγκρίνοντας τα κλάσματα:
\dfrac {y} {b}=\dfrac {c} {z} \Leftrightarrow cy=bz
\dfrac {x} {a}=\dfrac {y} {b} \Leftrightarrow ay=bx
και προσθέτοντας κατα μέλη:
(a+c)y=b(x+z) \Leftrightarrow (1-b)y=b(x+z) \\ \Leftrightarrow y=b(x+y+z)
Όμοια βρίσκουμε:
x=a(x+y+z) \\ z=c(x+y+z)
Άρα η ζητούμενη(για απόδειξη) σχέση γράφεται:
xy+yz+xz=ab(x+y+z)^2+bc(x+y+z)^2+ac(x+y+z)^2=\\(ab+bc+ac)(x+y+z)^2
Αρκεί ένας από τους παράγοντες να είναι ίσος με 0
Πράγματι,λόγω (\star) ισχύει κάτι τέτοιο.
Άρα αποδείχθηκε.


"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Οκτ 04, 2012 6:41 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Αν \displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1} και \displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1} . με \displaystyle{a , b , c \neq 0}, να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{xy +yz +zx=0}
΄
Ας δούμε και μια λίγο διαφορετική λύση, μετά από αυτήν του φίλου μας Ch.Chortis:

Συχνά, όταν δίνονται ίσοι λόγοι, τους ονομάζουμε με κάποιο γράμμα.

Έτσι, ονομάζουμε: \displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k}. Τότε:

\displaystyle{x=ka , y=kb , z=kc}. Άρα:

\displaystyle{xy+xz+yz=k^2 ab+k^2 ac +k^2 bc =k^2 (ab+ac+bc)=0}, διότι όπως ήδη έχει αποδείξει πιο πάνω ο Ch.Chortis, είναι

\displaystyle{ab+ac+bc=0}


ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 148
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 03, 2010 2:43 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Πέμ Οκτ 04, 2012 7:03 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Αν \displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1} και \displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1} . με \displaystyle{a , b , c \neq 0}, να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{xy +yz +zx=0}
Ένας άλλος τρόπος με αναλογίες

\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}  = K} άρα \displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}  = K = \frac{x+y+z}{a+b+c}= \frac{x+y+z}{1}} άρα \displaystyle{x+y+z = K} (1)

Επίσης \displaystyle{(\frac{x}{a})^2=(\frac{y}{b})^2=(\frac{z}{c})^2  = K^2} οπότε \displaystyle{\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}  = K^2 =  \frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}= \frac{x^2+y^2+z^2}{1} }
Δηλαδή x^2+y^2+z^2 = K^2 (2)
Απο (1) και (2) έχουμε (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 \Leftrightarrow  x^2+y^2+z^2 + 2xy + 2yz + 2xz = x^2+y^2+z^2
\Leftrightarrow  2xy + 2yz + 2xz  =0   \Leftrightarrow  xy + yz + xz  =0


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Οκτ 23, 2012 8:39 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:3. Στην πλευρά BC ισοσκελούς τριγώνου ABC, (AB=BC), θεωρούμε σημεία M , N τέτοια ώστε NM=AM, και
M\hat AC=B\hat AN. Να υπολογίσετε την γωνία C\hat AN
Ονομάζω \displaystyle{\widehat{MAC}=\widehat{NAB}=w} και \displaystyle{\widehat{MAN}=\widehat{MNA}=\phi}

Τότε \displaystyle{\widehat{C}=\widehat{CAB}=2w+\phi}

Eπίσης \displaystyle{\widehat{AMC}=2\phi}, (διότι η γωνία AMC, είναι εξωτερική στο τρίγωνο \displaystyle{AMN})

Τώρα από το τρίγωνο \displaystyle{AMC}, έχουμε: \displaystyle{\widehat{C}+\widehat{CAM}+\widehat{AMC}=180^{o}\Rightarrow}

2w+\phi +w +2\phi =180^{o}\Rightarrow w+\phi =60^{o}\Rightarrow \widehat{CAN}=60^{o}


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Οκτ 26, 2012 7:44 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:3. Στην πλευρά BC ισοσκελούς τριγώνου ABC, (AB=BC), θεωρούμε σημεία M , N τέτοια ώστε NM=AM, και
M\hat AC=B\hat AN. Να υπολογίσετε την γωνία C\hat AN
8alis 1997 3o.png
8alis 1997 3o.png (11.41 KiB) Προβλήθηκε 1015 φορές
Ονομάζω \displaystyle{\widehat{MAC}=\widehat{NAB}=w} και \displaystyle{\widehat{MAN}=\widehat{MNA}=\phi}

Τότε \displaystyle{\widehat{C}=\widehat{CAB}=2w+\phi}

Eπίσης \displaystyle{\widehat{AMC}=2\phi}, (διότι η γωνία AMC, είναι εξωτερική στο τρίγωνο \displaystyle{AMN})

Τώρα από το τρίγωνο \displaystyle{AMC}, έχουμε: \displaystyle{\widehat{C}+\widehat{CAM}+\widehat{AMC}=180^{o}\Rightarrow}

2w+\phi +w +2\phi =180^{o}\Rightarrow w+\phi =60^{o}\Rightarrow \widehat{CAN}=60^{o}


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Οκτ 29, 2012 5:43 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Αν \displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1} και \displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1} . με \displaystyle{a , b , c \neq 0}, να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{xy +yz +zx=0}

άλλες ιδέες εδώ κι εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 3 επισκέπτες