mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 02, 2012 6:29 pm**

Εύχομαι στους διαγωνιζόμενους στην φάση του διαγωνισμού Αρχιμήδης ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Όταν κάνει ζέστη τότε αυτόματα το σώμα μας ιδρώνει, ναι είναι αυτόματη κίνηση και ΔΕΝ πρέπει να φοβόμαστε μήπως δεν ιδρώσουμε.
Έτσι και όταν είμαστε δίπλα από ένα Μαθηματικό Πρόβλημα να είμαστε σίγουροι ότι η αυτόματη κίνηση είναι ο σκληρός δίσκος του εγκεφάλου μας να στείλει τις κατάλληλες γνώσεις μας (πόσες φορές δεν έχουμε αναρωτηθεί: βρε πώς μούρθε αυτό;). Η μόνη ΠΙΘΑΝΗ περίπτωση αναστολής αυτού του αυτόματου μηχανισμού είναι να φοβηθούμε μήπως κάτι από αυτά που γνωρίζουμε δεν μας έρθει την στιγμή αυτή.
Αρα πάμε στον Διαγωνισμό χωρίς ψυχολογικές Αναστολές χωρίς φόβο και μάλιστα με την απόλυτη σιγουριά, ότι από μόνο του το μυαλό μας θα στείλει αυτό που πρέπει τη κατάλληλη στιγμή.

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 02, 2012 9:59 pm**

Οι μαθητές που απλά έφτασαν στον αρχιμήδη θα βραβευτούν αύριο ή όχι ?

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 12:09 am**

Καλή επιτυχία στα παιδιά που γράφουν αύριο.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 9:41 am**

Καλή επιτυχία και στην επιτροπή των εισηγητών των θεμάτων, που πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι έχει δύσκολο πράγματι έργο.
Εύχομαι και πιστεύω τα θέματα να είναι καλά, πρωτότυπα και πάντως να είναι θέματα που να δίνουν το σωστό στίγμα. Δεν είναι υποχρεωτικό να είναι άπιαστα.
Καλό θα είναι όποιος λάβει γνώση των θεμάτων, να τα ανεβάσει στο forum μας όσο το δυνατόν γρηγορότερα.

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 2:12 pm**

Έχουμε κάτι νεότερο σχετικά με τα θέματα και τις λύσεις τους;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 4:37 pm**

Πρός το παρόν...Αναμονή.
Ίσως είναι αυτό που λέμε...το καλό πράγμα αργεί...

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 5:03 pm**

Ανεβάζω τα 3 από τα 4 θέματα των "μικρών" , με επιφύλαξη , γιατί μου μεταφέρθηκαν από το τηλέφωνο .

Θέματα των μικρών
1. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB\prec A\Gamma \prec B\Gamma$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left(C \right)$ . Ο κύκλος $C_{1}\left(A,AB \right)$ τέμνει την $B\Gamma$ στο $\Delta$ και τον κύκλο $\left(C \right)$ στο

. Να αποδείξετε ότι η $A\Gamma$ διχοτομεί τη γωνία $\Delta \hat{A}E$ .

2. Για τις διάφορες τιμές του ρητού $\alpha$ να λυθεί η εξίσωση $\left|\left|x-4 \right|-2x+8 \right|=\alpha x+4$ .

3. Οι θετικοί ακέραιοι $\mu ,\nu$ με $\mu \succ \nu$ ικανοποιούν τη σχέση $EK\Pi \left(\mu ,\nu \right)+MK\Delta \left(\mu ,\nu \right)=\mu +\nu$ .
(α) Να δείξετε ότι ο $\nu$ διαιρεί το $\mu$ .
(β) Αν επιπλέον ισχύει $\mu -\nu =10$ να βρείτε όλα τα ζεύγη $\left(\mu ,\nu \right)$ .

Καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά που διαγωνίστηκαν .

Αθ. Μπεληγιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 5:16 pm**

mathfinder έγραψε: 3. Οι θετικοί ακέραιοι $\mu ,\nu$ με $\mu \succ \nu$ ικανοποιούν τη σχέση $EK\Pi \left(\mu ,\nu \right)+MK\Delta \left(\mu ,\nu \right)=\mu +\nu$ .
(α) Να δείξετε ότι ο $\mu$ διαιρείται από τον $\nu$ .

Μήπως είναι έτσι;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 5:22 pm**

Σωστά ο $\nu$ διαιρεί το $\mu$ . Λάθος μου στο γράψιμο , το διορθώνω .Ευχαριστώ για τη διόρθωση.

Αθ. Μπεληγιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 5:34 pm**

Τα δύο θέματα των "μεγάλων"

1. Δύο θετικοί ακέραιοι p,q

που είναι πρώτοι μεταξύ τους, ικανοποιούν τη σχέση $p+q^{2}=\left(n^{2}+1 \right)p^{2}+q$ , όπου

θετικός ακέραιος , παράμετρος .
Να βρείτε τα δυνατά ζεύγη $\left(p,q \right)$ .

2. Να προσδιορίσετε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα $P\left(x \right), Q\left(x \right)$ με πραγματικούς συντελεστές του ελαχίστου δυνατού βαθμού τέτοια ώστε : $P\left(x^{2} \right)+ Q\left(x \right)=P\left(x \right)+x^{5}Q\left(x \right),x\in R$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 6:06 pm**

Εντόπισα ένα λάθος στη λύση.Θα το διορθώσω και θα επανέλθω

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 6:12 pm**

η γεωμετρία των μικρών πρέπει να βγαίνει πολύ πιο εύκολα

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 6:34 pm**

Το τρίτο θέμα των "μεγάλων" (Γεωμετρία)

3. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB\prec A\Gamma \prec B\Gamma$ , εγγεγραμμένο στον κύκλο $C\left(O,R \right)$ και η διχοτόμος $A\Delta$ τέμνει τον κύκλο $\left(C \right)$ στο σημείο

. O κύκλος $\left(C_{1} \right)$ έχει κέντρο $O_{1}$ πάνω στην

, διέρχεται από τα σημεία $A,\Delta$ και τέμνει την

στο

και την $A\Gamma$ στο

. Αν

είναι τα μέσα των $Z\Gamma , BE$ αντίστοιχα , να δείξετε ότι :
(α) οι ευθείες $ZE , \Delta M , K\Gamma$ συντρέχουν σε κάποιο σημείο

,
(β) οι ευθείες $ZE , \Delta N , KB$ συντρέχουν σε κάποιο σημείο $\Sigma$ ,
(γ) η

είναι μεσοκάθετος της $T\Sigma$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 6:56 pm**

mathfinder έγραψε: 2. Να προσδιορίσετε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα $P\left(x \right), Q\left(x \right)$ με πραγματικούς συντελεστές του ελαχίστου δυνατού βαθμού τέτοια ώστε : $P\left(x^{2} \right)+ Q\left(x \right)=P\left(x \right)+x^{5}Q\left(x \right),x\in R$ .

Η σχέση γράφεται P(x^2)-P(x)=Q(x)(x^5-1).

Το

δε μπορεί να είναι σταθερό.
Άρα το P(x^2)-P(x)

έχει βαθμό $2\text{deg} \{P(x)\}$ και βέβαια $2\text{deg} \{P(x)\}\geq 5$ οπότε $deg\{P(x)\}\geq 3.$

Αν P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

τότε

και από την ισότητα πολυωνύμων έχουμε άτοπο.

Αν P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

και

από την ισότητα πολυωνύμων είναι $k=0, \ a=b=c=d=l.$

Άρα P(x)=ax^4+ax^3+ax^2+ax+e

και

όπου $a\ne 0, e\in \Bbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 7:20 pm**

Κωνσταντίνος 21, με ποιό πρόγραμμα κάνεις τα σχήματα και γράφεις τα κείμενα? Θέλω να γράψω τη λύση του 3ου θέματος των μεγάλων και μου βγαίνει η ψυχή

mathfinder έγραψε:Τα δύο θέματα των "μεγάλων"

1. Δύο θετικοί ακέραιοι που είναι πρώτοι μεταξύ τους, ικανοποιούν τη σχέση $p+q^{2}=\left(n^{2}+1 \right)p^{2}+q$ , όπου θετικός ακέραιος , παράμετρος .
Να βρείτε τα δυνατά ζεύγη $\left(p,q \right)$ .

2. Να προσδιορίσετε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα $P\left(x \right), Q\left(x \right)$ με πραγματικούς συντελεστές του ελαχίστου δυνατού βαθμού τέτοια ώστε : $P\left(x^{2} \right)+ Q\left(x \right)=P\left(x \right)+x^{5}Q\left(x \right),x\in R$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 7:21 pm**

Κωνσταντίνος 21, με ποιό πρόγραμμα κάνεις τα σχήματα και γράφεις τα κείμενα? Θέλω να γράψω τη λύση του 3ου θέματος των μεγάλων και μου βγαίνει η ψυχή

mathfinder έγραψε:Τα δύο θέματα των "μεγάλων"

1. Δύο θετικοί ακέραιοι που είναι πρώτοι μεταξύ τους, ικανοποιούν τη σχέση $p+q^{2}=\left(n^{2}+1 \right)p^{2}+q$ , όπου θετικός ακέραιος , παράμετρος .
Να βρείτε τα δυνατά ζεύγη $\left(p,q \right)$ .

2. Να προσδιορίσετε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα $P\left(x \right), Q\left(x \right)$ με πραγματικούς συντελεστές του ελαχίστου δυνατού βαθμού τέτοια ώστε : $P\left(x^{2} \right)+ Q\left(x \right)=P\left(x \right)+x^{5}Q\left(x \right),x\in R$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 8:13 pm**

για το 2ο τον μεγάλων..την ίδα λύση με τον socrates έχουμε..
μια ερώτηση...
γι το πρωτο θεμα//
αφού q(q-1)=p(n^2p+p-1)

έπεται ότι q=n^2p+p-1

και

??
Με συγχωρείτε για τη μη χρήση LATEX αλλά είμαι μέσω κινητού...

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 8:25 pm**

mathfinder έγραψε:Το τρίτο θέμα των "μεγάλων" (Γεωμετρία)

3. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB\prec A\Gamma \prec B\Gamma$ , εγγεγραμμένο στον κύκλο $C\left(O,R \right)$ και η διχοτόμος $A\Delta$ τέμνει τον κύκλο $\left(C \right)$ στο σημείο . O κύκλος $\left(C_{1} \right)$ έχει κέντρο $O_{1}$ πάνω στην , διέρχεται από τα σημεία $A,\Delta$ και τέμνει την στο και την $A\Gamma$ στο . Αν είναι τα μέσα των $Z\Gamma , BE$ αντίστοιχα , να δείξετε ότι :
(α) οι ευθείες $ZE , \Delta M , K\Gamma$ συντρέχουν σε κάποιο σημείο ,
(β) οι ευθείες $ZE , \Delta N , KB$ συντρέχουν σε κάποιο σημείο $\Sigma$ ,
(γ) η είναι μεσοκάθετος της $T\Sigma$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

Καλησπέρα

. Αφού ευχηθώ στους διαγωνιζόμενους καλά αποτελέσματα, παραθέτω την λύση που έκανα σήμερα στον διαγωνισμό. Κάπως συνοπτικά:

Φέρω $AH \perp ZE$ και $AH'\perp B\Gamma$ .

Είναι γνωστό ότι η

είναι ισογώνια με την AO_1

και η

είναι ισογώνια με την

.

Άρα αφού A,O_1,O

συνευθειακά, τα A,H,H'

είναι επίσης συνευθειακά που συνεπάγεται ότι $EZ \parallel B\Gamma$ .

Προκύπτει εύκολα ότι $\widehat{A\Delta Z} = \widehat{AEZ} = \widehat{AB\Gamma} = \widehat{AK\Gamma} \Rightarrow \Delta Z \parallel K\Gamma$ .

Έστω $T \equiv EZ \cap K\Gamma$ . Οι προαναφερθείσες παραλληλίες δίνουν ότι το $ZT\Gamma \Delta$ είναι παρ/μο.

Άρα η $\Delta M$ διέρχεται από το

επίσης. Το ζητούμενο δείχθηκε.

Ομοίως για το β) ερώτημα.

Το γ) είναι προφανές αφού $EZ \parallel B\Gamma$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 8:47 pm**

Για τους μεγάλους μια πολύ απλή και μικρή λύση στο 1 είναι όπως το βλέπω η εξής:
Η σχέση γράφεται και ως (q-np)(q+np)=p^2+q-p

. Οπότε ισχύει p(p-n-1)=p^2-np-p=p^2+q-p =0 mod(q+np)

. Άρα αφού (q+np,p)=1

,

. Αν

τοτε θα έπρεπε np<|p-n-1|

, άτοπο. Άρα p=n+1

και άμεσα

.

Για το 2 τώρα αναρωτιέμαι πως και δεν ζητήθηκε (πχ σαν δεύτερο ερώτημα) η γενική λύση αφού με ευκλείδια διαίρεση του

με το

προκύπτει οτί αρκεί η ελαχίστου βαθμού περίπτωση.

Kαλά αποτελέσματα.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 9:34 pm**

Άλλη μια λύση για το 1ο. Έυκολα βλέππουμε πώς πρέπει $\dissplaystyle p|q\left(q-1 \right)\Rightarrow p|q-1 \Rightarrow q=kp+1 k \in \mathbb{N}$ , αντικαθιστώντας στην αρχική εύκολα παίρνουμε $\displaystyle p=\frac{k+1}{n^2 +1 -k^2}, k \in \mathbb{N}$ και απαιτούμε αφού ο

είναι φυσικός $\displaystyle n^2+1-k^2 \geqslant 1\Rightarrow n\geqslant k$ αλλά και $\displaystyle k+1\geqslant n^2+1-k^2 \Rightarrow k\geqslant \frac{-1+\sqrt{4n^2+1}}{2}\geqslant n-\frac{1}{2}$ άρα πρέπει k=n

και συνεπώς $\displaystyle \left(p,q \right)=\left(n+1,n^2+n+1 \right)$ .

Να ευχηθώ και γώ, καλά αποτελέσματα σε οσους διαγωνίστηκαν.

mathematica.gr

Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.