Εξίσωση

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

nonlinear
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 28, 2010 3:51 am

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nonlinear » Κυρ Μαρ 20, 2011 11:15 pm

Ο Νίκος λύνοντας μια δευτεροβάθμια με εξίσωση \displaystyle{a \cdot {x^2} + \beta  \cdot x + \gamma  = 0} βρήκε το 2 σαν ρίζα αυτής. Ο Μιχάλης εναλλάσσοντας την θέση των β και γ βρήκε το 3 σαν ρίζα. Ποια είναι η αρχική εξίσωση;


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Κυρ Μαρ 20, 2011 11:38 pm

nonlinear έγραψε:Ο Νίκος λύνοντας μια δευτεροβάθμια με εξίσωση \displaystyle{a \cdot {x^2} + b  \cdot x + c= 0} βρήκε το 2 σαν ρίζα αυτής. Ο Μιχάλης εναλλάσσοντας την θέση των b και c βρήκε το 3 σαν ρίζα. Ποια είναι η αρχική εξίσωση;
έστω 2,x_1 οι ρίζες της πρώτης και 3,x_2 της δεύτερης,τότε

\displaystyle{2+x_1=-\frac{b}{a},\;\;\ 2x_1=\frac{c}{a}}

\displaystyle{3+x_2=-\frac{c}{a},\;\;\ 3x_2=\frac{b}{a}}

αυτές γίνονται: \displaystyle{2+x_1=-3x_2,\;\;\ 3+x_2=-2x_1}

λύνοντας το σύστημα αυτών βρίσκουμε: \displaystyle{x_1=-\frac{7}{5},\;\;\ x_2=-\frac{1}{5}\longrightarrow b=-\frac{3}{5}a,\;\;\ c=-\frac{14}{5}a}

άρα η αρχική είναι η : \displaystyle{x^2-\frac{3}{5}x-\frac{14}{5}=0}


Φωτεινή Καλδή
GMANS
Δημοσιεύσεις: 503
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Δευ Μαρ 21, 2011 2:45 pm

Λίγο διαφορετικά …

Ο 2 ρίζα της ax^2+bx+c=0 τότε 4a+2b+c=0(1)
O 3 ρίζα τηςax^2+cx+b=0 τότε 9a+3c+b=0(2)

Λύνοντας το (Σ) των (1),(2) ως προς b,c παίρνουμε

c=-\frac{14}{5}a,b=-\frac{3}{5}a που ικανοποιούν τις απαιτήσεις της άσκησης
0πότε η αρχική εξίσωση είναι μία από τις a(x^2-\frac{3}{5}x-\frac{14}{5})=0 με a στο R^*


Γ. Μανεάδης
nonlinear
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 28, 2010 3:51 am

Re: Εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nonlinear » Δευ Μαρ 21, 2011 2:52 pm

GMANS έγραψε:
0πότε η αρχική εξίσωση είναι μία από τις a(x^2-\frac{3}{5}x-\frac{14}{5})=0 με a στο R^*
GMANS η ολοκληρωμένη απάντηση είναι αυτή (μια και έχω την επίσημη λύση :mrgreen: ).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες