Λογαριθμικη

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

nonlinear
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 28, 2010 3:51 am

Λογαριθμικη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nonlinear » Τρί Μαρ 15, 2011 1:25 pm

Εαν για τους πραγματικούς \displaystyle{{x_i} > 0} ισχύει \displaystyle{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2}  = 1} να δείξετε ότι

\displaystyle{{\left( {\frac{{{{\log }_{{x_1}}}{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_2}}}{x_3}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_{n - 1}}}}{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_n}}}{x_1}}}{{{x_n}}}} \right)^2} \ge {n^2}}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Λογαριθμικη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Μαρ 15, 2011 2:33 pm

nonlinear έγραψε:Εαν για τους πραγματικούς \displaystyle{{x_i} > 0} ισχύει \displaystyle{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2}  = 1} να δείξετε ότι

\displaystyle{{\left( {\frac{{{{\log }_{{x_1}}}{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_2}}}{x_3}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_{n - 1}}}}{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_n}}}{x_1}}}{{{x_n}}}} \right)^2} \ge {n^2}}
Είναι απλή συνέπεια της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ, αν αυτή εφαρμοστεί 2 φορές:

\displaystyle{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\log_{x_i}x_{i+1}}{x_i} \right)^2\geq n\sqrt[n]{\frac{1}{x_1x_2...x_n}}^2}, αφού το γινόμενο των λογαρίθμων ισούται με \displaystyle{1}:

\displaystyle{\log_{x_1}x_2\cdot \log_{x_2}x_3\cdot \log_{x_3}x_4\cdots \log_{x_n}x_1=\frac{\ln x_2}{\ln x_1}\cdot \frac{\ln x_3}{\ln x_2}\cdot \frac{\ln x_4}{\ln x_3}\cdots \frac{\ln x_1}{\ln x_n}=1}.

Αρκεί, πλέον, να αποδειχθεί, ότι

\displaystyle{1\geq n\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}^2,} το οποίο ισχύει από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ, αφού είναι \displaystyle{x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+\cdots x^{2}_{n}=1.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες