Συστηματάκι

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

nonlinear
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 28, 2010 3:51 am

Συστηματάκι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nonlinear » Κυρ Μαρ 13, 2011 8:46 pm

Να βρείτε τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς (α,β,γ) που ικανοποιούν το σύστημα των εξισώσεων :

\displaystyle{\left( \Sigma  \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{a \cdot \sqrt \beta   - \gamma  = a}\\ 
{\beta  \cdot \sqrt \gamma   - a = \beta }\\ 
{\gamma  \cdot \sqrt \alpha   - \beta  = \gamma } 
\end{array}} \right.}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συστηματάκι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Μαρ 13, 2011 10:01 pm

nonlinear έγραψε:Να βρείτε τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς (α,β,γ) που ικανοποιούν το σύστημα των εξισώσεων :

\displaystyle{\left( \Sigma  \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{a \cdot \sqrt \beta   - \gamma  = a}\\ 
{\beta  \cdot \sqrt \gamma   - a = \beta }\\ 
{\gamma  \cdot \sqrt \alpha   - \beta  = \gamma } 
\end{array}} \right.}
Ας γράψουμε το σύστημα ως

\displaystyle{\sqrt{a}=1+\frac{b}{c},} (1)

\displaystyle{\sqrt{b}=1+\frac{c}{a},} (2)

\displaystyle{\sqrt{c}=1+\frac{a}{b}.} (3)

Υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι \displaystyle{a\geq b.} Τότε, από τις (1),(2) έχουμε \displaystyle{\frac{b}{c}\geq \frac{c}{a}} δηλαδή \displaystyle{ab\geq c^2,} οπότε είναι \displaystyle{a^2\geq ab\geq c^2,} δηλαδή \displaystyle{a\geq c.} Τότε, από την (2) προκύπτει \displaystyle{\sqrt{b}\leq 2 \Rightarrow b\leq 4.}

Τότε, από την (3) είναι \displaystyle{\sqrt{c}=1+\frac{a}{b}\geq 1+\frac{a}{4}\geq \sqrt{a}} (η τελευταία είναι η ΑΜ-ΓΜ), δηλαδή \displaystyle{c\geq a,} άρα \displaystyle{a=b=c=4}, τιμές που ικανοποιούν το σύστημα.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες