ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2009

[S.E.Louridas]

(ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2009 –SENIORS) ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΣΤΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΗΣ Ε.Μ.Ε.
Επειδή αυτόν τον καιρό ασχολούμαστε με Γεωμετρικούς Μαθηματικούς Διαλόγους είναι σημαντικό να ασχοληθούμε Μεθοδολογικά με το θέμα αυτό κάνοντας ,κυρίως κάποιες σκέψεις πού να ανοίγουν πράγματι Μαθηματικό Διάλογο
ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ :
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Θεωρούμε τις διαμέσους του ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ .Αν Σ σημείο της ΑΔ διάφορο των άκρων της ,Τ σημείο της ΒΕ διάφορο των άκρων της ,Υ σημείο της ΓΖ, διάφορο των άκρων της .ώστε τα σημεία Α,Υ,Σ,Γ να είναι όμοκυκλικά, τα σημεία Α,Τ,Σ,Β να είναι ομοκυκλικά , επίσης τα σημεία Υ,Τ ,Γ,Β να είναι ομοκυκλικά Τότε το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ είναι κέντρο βάρους του τριγώνου με κορυφές τα κέντρα των προηγούμενων κύκλων .
Είναι σαφές ότι αν τα σημεία Σ,Τ ,Υ ταυτιστούν με το σημείο G έχουμε το πρόβλημα του Προκριματικού Διαγωνισμού .
ΜΙΑ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ (άρα και του προβλήματος του Προκριματικού) στηρίζεται ΑΜΕΣΑ ΣΤΟ ΕΞΗΣ ΓΝΩΣΤΟ ΘΕΜΑ:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Σ της διαμέσου του ΑΔ .Αν Κ ,Λ τα αντίστοιχα περίκεντρα των τριγώνων ΑΣΒ και ΑΣΓ τότε η μεσοκάθετη της πλευράς ΒΓ διέρχεται από το μέσο του ΚΛ .
ΛΥΣΗ :
Αν Β’ η τομή της ΔΒ με τον αντίστοιχο κύκλο και Γ’ η τομή της ΔΓ με τον αντίστοιχο κύκλο έχουμε ότι :ΔΣ*ΔΑ=ΔΒ’*ΔΒ=ΔΓ’*ΔΓ οπότε ΔΒ’=ΔΓ’.Αρα παίρνουμε ότι ΒΒ’=ΓΓ’ .Συνεπώς από το τραπέζιο ΚΛΛ’Κ’ προκύπτει το ζητούμενο (ΚΚ’κάθετη στην ΒΓ,ΛΛ’ κάθετη στην ΒΓ) .

ΣΧΟΛΙΟ :
Το θέμα σαν γενικό πρόβλημα είναι Πολύ Καλό .
Στην φάση της ειδικής μορφής του (Πρόβλημα προκριματικού) δίνεται έμφαση στο σημείο G λόγω των μεσοκαθέτων στις GA… κ.τ.λ. πού πιθανόν να οδηγήσει τον λύτη σε λύση με βάση γενικότερες ιδιότητες του G και όχι με βάση την μεθοδολογική νοοτροπία πού αναφέραμε. Αν ο εισηγητής του καλού αυτού προβλήματος έχει και λύση πού να στηρίζεται και σε γενικότερες ιδιότητες του σημείου G αυτό θα αποτελούσε χρήσιμη μεθοδολογική άποψη .
S.E.Louridas

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Σωτήρη, Χρόνια πολλά, Χριστός Ανέστη. Σε ευχαριστούμε για την γενίκευση της όμορφης πιστεύω και όχι ιδιαίτερης δυσκολίας άσκησης. Πάντα πρέπει να αναζητούμε γενικεύσεις σε κάποιο πρόβλημα. Ήθελα να ρωτήσω αν η συγκεκριμένη γενίκευση σου ήταν γνωστή, η προέκυψε από το πρόβλημα του προκριματικού;
Μία σύντομη λύση της ειδικής περίπτωσης (που τα Σ,Τ,Υ συμπίπτουν με το βαρύκεντρο G), είναι η ομοιότητα του τριγώνου των τριών μεσοκαθέτων με το τρίγωνο ΑGG' όπου G' το συμμετρικό του G ως προς το μέσο της ΑΓ. (Το συγκεκριμένο τρίγωνο ΑGG' έχει πλευρές με μήκη τα 2/3 των τριών διαμέσων του ΑΒΓ). Η γενική περίπτωση προκύπτει με επϊ πλέον μία ομοιοθεσία κέντρου Ο (περϊκεντρο του ΑΒΓ). Αναλυτικότερη λύση κα σχήμα σε επόμενο μήνυμα.

Φιλικά Ανδρέας