BMO 2023 - Θέματα

#1

Καλησπέρα σας από την Αττάλεια όπου διεξάγεται η 40ή Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα. Σήμερα διεξήχθη ο διαγωνισμός και αύριο ξεκινάει η διόρθωση των γραπτών. Εύχομαι από καρδιάς καλή επιτυχία στην Ελληνική και Κυπριακή αποστολή. Περισσότερες πληροφορίες θα βρείτε στη σελίδα https://bmo2023.tubitak.gov.tr/

Πρόβλημα 1
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες, ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ να ισχύει ότι
xf(x+f(y))=(y-x)f(f(x))

.

Βόρεια Μακεδονία

Πρόβλημα 2
Δίνεται τρίγωνο ABC

, του οποίου ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται στις πλευρές BC,CA,AB

στα σημεία D,E,F

αντίστοιχα. Δίνεται επιπλέον ότι υπάρχει σημείο

στην ευθεία

τέτοιο, ώστε $\angle{XBC} = \angle{XCB} = 45^{\circ}$ . Έστω

το μέσο του τόξου

του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

το οποίο δεν περιέχει το σημείο

. Να αποδείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από το σημείο

ή από το σημείο

.

Ηνωμένο Βασίλειο

Πρόβλημα 3
Για κάθε θετικό ακέραιο

, συμβολίζουμε με $\omega(n)$ το πλήθος των διακεκριμένων πρώτων διαιρετών του

(για παράδειγμα, $\omega(1)=0$ και $\omega(12)=2$ ). Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα P(x)

με ακέραιους συντελεστές τέτοια, ώστε όταν ο

είναι θετικός ακέραιος με $\omega(n)>2023^{2023}$ , τότε ο P(n)

είναι επίσης θετικός ακέραιος με $\omega(n)\ge\omega(P(n))$ .

Ελλάδα (Μίνος Μαργαρίτης - Ιάσονας Προδρομίδης)

Πρόβλημα 4
Να προσδιορίσετε τον μέγιστο ακέραιο $k\leq 2023$ για τον οποίο ισχύει το εξής: Οποτεδήποτε η Αλίκη χρωματίσει κόκκινους,

ακριβώς αριθμούς από το σύνολο $\{1,2,\dots, 2023\}$ , ο Βασίλης μπορεί να χρωματίσει μπλε, κάποιους από τους υπόλοιπους αχρωμάτιστους αριθμούς έτσι, ώστε το άθροισμα όλων των κόκκινων αριθμών να είναι ίσο με το άθροισμα όλων των μπλε αριθμών.

Ρουμανία

Αλέξανδρος

abfx · #2

Πρόβλημα 1
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες, ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ να ισχύει ότι
.

Ονομάζω

τη δοσμένη συνθήκη. Επίσης παρατηρώ ότι η μηδενική συνάρτηση είναι λύση οπότε θα υποθέσω ότι $f(a)\neq 0$
για κάποιο $a\in\mathbb{R}$ .

$P(0,1): \text{ }0\cdot f(f(1))=f(f(0)) \implies f(f(0))=0 \text{ }(1)$

Ισχυρισμός:
Η

είναι

.

Απόδειξη
Έστω $a,b\in\mathbb{R}$ με f(a)=f(b)

.

$\forall x\in\mathbb{R}$ (2)

Άρα, $f(a)=f(b) \implies (a-1)f(f(1))=(b-1)f(f(1)) \implies (a-b)f(f(1))=0$ .

Υποθέτω (προς άτοπο) ότι

.
Η

γίνεται:

$\forall x\in\mathbb{R}$ , οπότε βάζοντας όπου

,

παίρνουμε

.

$\forall x\in\mathbb{R}$ (3)

$P(f(0),x): f(0)f(f(0)+f(x))=(x-f(0))f(f(f(0))) =^{(1)}$ f(0)(x-f(0))

.

Αν , τότε

οπότε συνδυάζοντας με (3)

παίρνουμε:

f(f(x))=0

$\forall x\in\mathbb{R} \implies xf(x)=0 \implies^{f(0)=0}$ f(x)=0

$\forall x\in\mathbb{R}$ , άτοπο.

Αν $f(0)\neq 0$ , τότε $\forall x\in\mathbb{R}$

οπότε βάζοντας x=1

, $f(f(0))=1-f(0) \implies f(0)=1 \implies f(f(x)+1)=x-1 \implies 0=x-1 , \forall x\in\mathbb{R}$ , άτοπο.

Άρα, $f(f(1))\neq 0$ , οπότε στην πάνω είναι a=b

και ο ισχυρισμός ολοκληρώθηκε. $\blacksquare$

P(x,x): xf(x+f(x))=0

οπότε για μη-μηδενικά

αλλά τελικά και για x=0

:

$f(x+f(x))=0=f(f(0)) \implies^{1-1} f(x)=-x+f(0)$ .

Αντίστροφα, εύκολα ελέγχουμε ότι η f(x)=-x+a

ικανοποιεί τη ζητούμενη συνθήκη οπότε έχουμε ότι οι μη-μηδενικές λύσεις της εξίσωσης είναι οι:
f(x)=-x+a

, για $a\in\mathbb{R}$ .

Τσιαλας Νικολαος · #3

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!

https://bmo2023.tubitak.gov.tr/results

#4

Καλησπέρα σε όλους!

Ολοκληρώθηκε χθες η 40ή Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα στην Αττάλεια της Τουρκίας και σήμερα επιστρέφουμε στην Ελλάδα! Η εμφάνιση των μαθητών μας εξαιρετική, οι διακρίσεις τους πολλές (όλοι τους πήραν μετάλλιο), η γενική κατάταξη της χώρας υψηλή (4η ανάμεσα σε 23 χώρες που συμμετείχαν επίσημα ή ανεπίσημα στο διαγωνισμό) και υψηλότερη από παραδοσιακά δυνατές χώρες στα Μαθηματικά (Σερβία, Ηνωμένο Βασίλειο, Ιταλία, Γαλλία κλπ...).

Τα θέματα ιδιαίτερα απαιτητικά (το 4ο λύθηκε πλήρως μόνο από 1 παιδί ενώ περισσότερες από 1/10 μονάδες πήραν μόλις 8 από τους συνολικά 131 μαθητές που συμμετείχαν) αλλά οι μαθητές μας ανταποκρίθηκαν επάξια.

Αξίζει να σημειωθεί ότι το χρυσό μετάλλιο έπαιρνε όποιος μαθητής είχε βαθμολογία μεγαλύτερη του 31/40 (δηλαδή 3 πλήρως λυμένα θέματα και τουλάχιστον 2 μονάδες από το 4ο θέμα), το αργυρό για όποιο μαθητή είχε βαθμολογία 31/40 μονάδες (ναι! εκεί ΔΕΝ υπήρχε εύρος βαθμών. Μόνο όσοι πήραν 31 ακριβώς, πήραν αργυρό μετάλλιο) και το χάλκινο ήταν για όσους μαθητές πήραν βαθμολογία μεγαλύτερη του 16. Τρεις μαθητές μας πήραν αργυρό με βαθμολογία 31/40 (!!) χάνοντας το χρυσό για 1 μόλις πόντο, και 3 μαθητές μας πήραν χάλκινο με βαθμολογίες 30/40, 21/40, 20/40.

Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι το 3ο πρόβλημα του διαγωνισμού ήταν ελληνική πρόταση και το κατασκεύασαν από κοινού δύο παλαιότερα μέλη των αποστολών μας σε διαγωνισμούς: Ο Minos Margaritis και ο Jason Prodromidis. Έτσι, η Ελληνική Αποστολή στην Τουρκία είχε επιπλέον να διορθώσει τα γραπτά των δύο ομάδων της Τουρκίας (η διοργανώτρια χώρα συμμετέχει πάντοτε με δύο ομάδες μαθητών εκ των οποίων μόνο μία συμμετέχει επίσημα). Το πρόβλημα πολύ όμορφο αλλά αρκετά δύσκολο. Τέσσερα μέλη της αποστολής μας το έλυσαν πλήρως!

Έτσι, τα αποτελέσματα της

Ελληνικής Αποστολής

έχουν ως εξής:

Παναγιώτης Λιάμπας: Αργυρό Μετάλλιο
Ορέστης Λιγνός: Αργυρό Μετάλλιο
Γιώργος Τζαχρήστας: Αργυρό Μετάλλιο
Πρόδρομος Φωτιάδης: Χάλκινο Μετάλλιο
Κυριάκος Τσουρέκας: Χάλκινο Μετάλλιο
Γιάννης Μαυρίκος: Χάλκινο Μετάλλιο

Παιδιά για άλλη μία φορά ήταν τιμή μου που ήμουν μαζί σας σε αυτή τη διοργάνωση και σας εύχομαι από καρδιάς καλή πρόοδο σε ό,τι αποφασίσετε να κάνετε!

Τέλος, ευχαριστώ και τον Θάνο Μάγκο, υπαρχηγό της Ελληνικής Αποστολής με τον οποίο συνεργαστήκαμε καθ' όλη τη διάρκεια της ΒΜΟ, μοιραστήκαμε το άγχος και τις δυσκολίες κυρίως στη διαδικασία της διόρθωσης και υποστήριξης των γραπτών των μαθητών μας. Θα ήταν παράλειψή μου αν δεν ευχαριστούσα τον δικό μας Δημήτρη Χριστοφίδη, τον αρχηγό της Κύπρου για τη βοήθειά του στη διαδικασία της διόρθωσης των γραπτών της Ελλάδας αλλά και στη βοήθειά του κατά τη διάρκεια διόρθωσης των γραπτών της Τουρκίας.

S.E.Louridas · #5

Συγχαρητήρια πολλά και από καρδιάς για αυτή τη μέγιστη απάντηση στη πρόκληση των καιρών.
Καλή συνέχεια με Υγεία, Χαρά και Δύναμη.

BMO 2023 - Θέματα

BMO 2023 - Θέματα

Re: BMO 2023 - Θέματα

Re: BMO 2023 - Θέματα

Re: BMO 2023 - Θέματα

Re: BMO 2023 - Θέματα

Μέλη σε σύνδεση