IMO 2022

Manolis Petrakis · #1

Καλησπέρα από το πανέμορφο Όσλο της Νορβηγίας, όπου πραγματοποιείται η 63η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα στις 6-16 Ιουλίου!
Παραθέτω τα θέματα του διαγωνισμού:

Πρόβλημα 1. Η τράπεζα του Όσλο εκδίδει δύο τύπους νομισμάτων: αλουμινίου (τύπου Α) και χαλκού (τύπου Β). Η Μαριάννα διαθέτει

νομίσματα από αλουμίνιο και

νομίσματα από χαλκό τοποθετημένα σε σειρά, σε μία τυχαία διάταξη. Μία αλυσίδα είναι μία υπακολουθία συνεχόμενων νομισμάτων του ίδιου τύπου. Δοθέντος ενός θετικού ακεραίου $k\leq 2n$ , η Μαριάννα εκτελεί επαναλαμβανόμενα την ακόλουθη πράξη: προσδιορίζει τη μεγαλύτερη αλυσίδα που περιέχει το

οστό νόμισμα από τα αριστερά και τοποθετεί όλα τα νομίσματα της αλυσίδας στα αριστερά της σειράς. Ένα παράδειγμα για n=4

και

με την αρχική διάταξη AABBBABA

είναι το εξής:
$AABBBABA \rightarrow BBBAAABA \rightarrow AAABBBBA \rightarrow AAAABBBB \rightarrow ...$
Να βρείτε όλα τα ζεύγη (n,k)

με $1\leq k\leq 2n$ τέτοια ώστε για οποιαδήποτε αρχική διάταξη σε καποια στιγμή της διαδικασίας, τα πιο αριστερά

να είναι του ίδιου τύπου.

Πρόβλημα 2. Έστω $\mathbb{R}^{+}$ το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε για κάθε $x \in \mathbb{R}^+$ , υπάρχει ακριβώς ένας $y \in \mathbb{R}^+$ που ικανοποιεί την:
$xf(y)+yf(x) \leq 2$

Πρόβλημα 3. Έστω

ένας θετικός ακέραιος και

ένα πεπερασμένο σύνολο περιττών πρώτων αριθμών. Να δείξετε ότι υπάρχει το πολύ ένας τρόπος (με περιστροφές και συμμετρίες) να τοποθετηθούν τα στοιχεία του

σε έναν κύκλο έτσι ώστε το γινόμενο οποιονδήποτε δύο γειτονικών να είναι της μορφής x^2+x+k

, για κάποιον θετικό ακέραιο

.

Πρόβλημα 4. Έστω ABCDE

ένα κυρτό πεντάγωνο τέτοιο ώστε BC=DE

. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα σημείο

στο εσωτερικό του ABCDE

για το οποίο TB=TD,TC=TE

και $\angle ABT = \angle TEA$ . Έστω ότι η ευθεία

τέμνει τις

και

στα σημεία

και

, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι τα σημεία P,B,A,Q

βρίσκονται πάνω στην ευθεία τους με αυτή τη σειρά. Έστω ότι η ευθεία

τέμνει τις

και

στα σημεία

και

, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι τα σημεία R,E,A,S

βρίσκονται πάνω στην ευθεία τους με αυτή τη σειρά. Να αποδείξετε ότι τα σημεία P,S,Q,R

είναι ομοκυκλικά.

Πρόβλημα 5. Να βρείτε όλες τις τριάδες (a,b,p)

θετικών ακεραίων με

πρώτο για τις οποίες:
a^p=b!+p

Πρόβλημα 6. Έστω

ένας θετικός ακέραιος. Ένα Σκανδιναβικό τετράγωνο είναι ένας πίνακας n×n

που περιέχει όλους τους θετικούς ακεραίους από το

έως το

, έτσι ώστε κάθε κελί να περιέχει ακριβώς έναν αριθμό. Δύο διαφορετικά τετράγωνα θεωρούνται γειτονικά, αν έχουν μία κοινή πλευρά. Κάθε κελί που είναι γειτονικό μόνο με κελιά που περιέχουν μεγαλύτερους αριθμούς ονομάζεται κοιλάδα. Ένα ανηφορικό μονοπάτι είναι μία ακολουθία ενός ή περισσότερων κελιών έτσι ώστε:
(i) το πρώτο κελί στην ακολουθία να είναι κοιλάδα,
(ii) κάθε κελί της ακολουθίας είναι γειτονικό με το προηγούμενο κελί και
(iii) οι αριθμοί που είναι γραμμένοι στην ακολουθία βρίσκονται σε αύξουσα σειρά.
Να βρείτε, ως συνάρτηση του

, τον ελάχιστο αριθμό ανηφορικών μονοπατιών σε ένα Σκανδιναβικό τετράγωνο.

Αρχηγός της αποστολής είναι ο κύριος Ανάργυρος Φελλούρης και υπαρχηγός ο Σιλουανός Μπραζιτίκος.

Maria-Eleni Nikolaou · #2

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 14, 2022 3:40 pm
Πρόβλημα 5
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων με πρώτο για τις οποίες:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 14, 2022 5:32 pm

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 14, 2022 3:40 pm
Πρόβλημα 5
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων με πρώτο για τις οποίες:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Με μια γρήγορη διερεύνηση βρίσκω τις τριάδες
Πολύ πιθανόν υπάρχουν κι άλλες. Αναλυτικά το βράδυ, αν δεν απαντηθεί.

Οι απαντήσεις έχουν γίνει ήδη γνωστές και στο AoPS, όπως και πολλές αναλυτικές λύσεις για όλα τα προβλήματα. Καλό εδώ είναι να ανεβαίνουν πλήρεις λύσεις, όχι μόνο οι απαντήσεις.

Φιλικά,

Αχιλλέας

rtsiamis · #4

Πρόβλημα 2. Έστω $\mathbb{R}^{+}$ το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε για κάθε $x \in \mathbb{R}^+$ , υπάρχει ακριβώς ένας $y \in \mathbb{R}^+$ που ικανοποιεί την:
$xf(y)+yf(x) \leq 2$ .

Απάντηση: Μοναδική λύση είναι η συνάρτηση $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , για κάθε $x \in \mathbb{R}^+$ .
Αυτή σαφώς ικανοποιεί τη ζητούμενη ιδιότητα, καθώς η έκφραση:
$\displaystyle xf(y) + yf(x) = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$
είναι

για κάθε $y \neq x$ (άμεσο π.χ. από AM-GM) και $\leq 2$ (με ισότητα) για μία μοναδική τιμή, την y=x

.

Απόδειξη. Ας δούμε μία λύση βασισμένη σε κάποιες από τις ιδέες που είδαμε με τα παιδιά στα μαθήματα προετοιμασίας για την Ολυμπιάδα, δηλαδή στη θεώρηση βοηθητικών συνόλων και συναρτήσεων με συγκεκριμένες ιδιότητες.

Το γεγονός ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}^+$ υπάρχει μοναδικό $y \in \mathbb{R}^+$ που να ικανοποιεί τη σχέση $xf(y) + yf(x) \leq 2$ μπορεί ισοδύναμα να εκφραστεί ως εξής: υπάρχει μία καλά ορισμένη συνάρτηση $g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ που δίνεται από τη σχέση g(x) := y

, το

της παραπάνω.
Το γεγονός ότι αυτή η συνάρτηση είναι καλά ορισμένα είναι σαφές, λόγω της ύπαρξης και μοναδικότητας, και αυτή ικανοποιεί τη σχέση:
$\displaystyle P(x): \quad xf(g(x)) + f(x)g(x) \leq 2 \quad (1)$
ενώ εφαρμόζοντας την παραπάνω ιδιότητα για το $x \mapsto g(x)$ (δηλαδή, την

) δίνει ότι υπάρχει μοναδικό y := g(g(x))

τέτοιο ώστε $g(x)f(y) + yf(g(x)) \leq 2$ , συνεπώς:
$\displaystyle xf(y) + yf(x) > 2, \quad \quad \forall \; y \neq g(x) \quad (2)$
Αφού λοιπόν αυτή η σχέση ικανοποιείται για y = x

(λόγω της (2)) η υπόθεση της μοναδικότητας δίνει ότι $\boxed{g(g(x)) = x}$ , άρα η συνάρτηση

είναι involution (άρα και αμφιμονοσήμαντη/ bijective)

Γενικά, αφού τώρα εργαζόμαστε με μία involution, είναι φυσικό να θεωρήσουμε τα σταθερά σημεία της, ιδιαίτερα καθώς θα θέλαμε να δείξουμε ότι g(x) =x

ταυτοτικά (το οποίο ισχύει για τη λύση, $f(x) = \dfrac{1}{x}$ )
Θεωρούμε λοιπόν το σύνολο των σταθερών σημείων της

:
$\displaystyle \mathcal{S} := \left\{ x \in \mathbb{R}^+ \mid g(x) = x \right\}$
και θέλουμε να αποδείξουμε ότι $\mathcal{S} = \mathbb{R}^+$ είναι ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Έστω προς άτοπο ότι κάποιο $x \not\in \mathcal{S}$ δεν είναι σταθερό σημείο, δηλαδή $x \neq g(x)$ .
Τότε, η σχέση (2) δίνει για $y \mapsto x$ (γίνεται καθώς $x \neq g(x)$ ) ότι 2xf(x) > 2

, δηλαδή $\boxed{f(x) > \dfrac{1}{x}}$ .
Ομοίως $x \not\in S \implies g(x) \not\in \mathcal{S}$ (ειδάλλως $g(x) \in S \implies x = g(g(x)) = g(x) \implies x \in \mathcal{S}$ ) οπότε:
$\displaystyle x \not\in \mathcal{S} \implies g(x) \not\in \mathcal{S} \implies f(g(x)) > \dfrac{1}{g(x)}$
Άρα, εφαρμόζοντας αυτές τις δύο ανισότητες στην P(x)

(1), λαμβάνουμε:
$\displaystyle x \cdot \dfrac{1}{g(x)} + \dfrac{1}{x} \cdot g(x) = \dfrac{x}{g(x)} + \dfrac{g(x)}{x} < xf(g(x)) + f(x) g(x) \leq 2$
το οποίο είναι σαφώς άτοπο, καθώς έχουμε σίγουρα $\dfrac{x}{g(x)} + \dfrac{g(x)}{x} \geqslant 2$ , π.χ. από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου.
Άρα, πρέπει να έχουμε $x \in \mathcal{S}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}^+$ , δηλαδή $\boxed{g(x) = x}$ .

Αντικαθιστώντας αυτή τη σχέση στην αρχική, λαμβάνουμε τώρα ότι:
$\displaystyle P(x): \quad xf(x) + f(x)x \leq 2 \implies xf(x) \leq 1 \implies \boxed{f(x) \leq \dfrac{1}{x}} \quad (3)$
το οποίο ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}^+$ .
Εφαρμόζοντας τώρα αυτή την ανισότητα $yf(y) \leq 1$ στη σχέση (2), καθώς g(x) = x

, λαμβάνουμε για κάθε $y \neq x$ :
$\displaystyle 2 < xf(y) + yf(x) \leq \dfrac{x}{y} + yf(x) \implies \boxed{f(x) > \dfrac{2}{y} - \dfrac{x}{y^2}}, \quad \quad \forall \; y \neq x$
και παίρνοντας το όριο $y \to x$ (είτε από αριστερά ή από δεξιά, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο) σε αυτή την παράσταση λαμβάνουμε ότι:
$\displaystyle f(x) \geqslant \lim_{y \to x} \left( \dfrac{2}{y} - \dfrac{x}{y^2} \right) = \dfrac{2}{x} - \dfrac{x}{x^2} = \dfrac{1}{x}$
δηλαδή $f(x) \geqslant \dfrac{1}{x}$ , και συνδυάζοντας αυτό το αποτέλεσμα με την παραπάνω σχέση (3) λαμβάνουμε ότι $\boxed{f(x)= \dfrac{1}{x}}$ όπως θέλαμε, η οποία ικανοποιεί. $\blacksquare$

Σημείωση. Αυτή η λύση είναι γραμμένη αρκετά αραιά και με περισσότερες λεπτομέρειες απ'ό,τι θα χρειάζονταν στον διαγωνισμό, ιδιαίτερα επειδή σε κάποια σημεία κάνω σχόλια για να παρακινήσω τις ιδέες και να εξηγήσω τη λύση. Στην πράξη, αυτή η ιδέα δεν θα έπαιρνε περισσότερες από ορισμένες γραμμές.

Maria-Eleni Nikolaou · #5

achilleas έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 14, 2022 9:40 pm

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 14, 2022 5:32 pm

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 14, 2022 3:40 pm
Πρόβλημα 5
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων με πρώτο για τις οποίες:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Με μια γρήγορη διερεύνηση βρίσκω τις τριάδες
Πολύ πιθανόν υπάρχουν κι άλλες. Αναλυτικά το βράδυ, αν δεν απαντηθεί.

Οι απαντήσεις έχουν γίνει ήδη γνωστές και στο AoPS, όπως και πολλές αναλυτικές λύσεις για όλα τα προβλήματα. Καλό εδώ είναι να ανεβαίνουν πλήρεις λύσεις, όχι μόνο οι απαντήσεις.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Με συγχωρείτε δεν το γνώριζα, θα ανεβάσω την αναλυτική μου απάντηση μέχρι αύριο. Λόγω πίεσης χρόνου δεν προλαβαίνω σήμερα.

Ευχαριστώ,

Μαριλένα

#6

Μεγάλη

επιτυχία

στην 63η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα International Mathematical Olympiad 2022 - Oslo

Θερμά συγχαρητήρια στους

Πρόδρομο Φωτιάδη (30 μονάδες) Αργυρό Μετάλλιο

,
Παναγιώτη Λιάμπα (29 μονάδες) Αργυρό Μετάλλιο

,
Ορέστη Λιγνό (28 μονάδες) Χάλκινο Μετάλλιο

,
Μανώλη Πετράκη (28 μονάδες) Χάλκινο Μετάλλιο

,
Γεώργιο Τζαχρήστα (28 μονάδες) Χάλκινο Μετάλλιο

, και
Κωνσταντίνο Κωνσταντινίδη (20 μονάδες) Εύφημη μνεία.

Τα cut-offs των μεταλλίων ήταν πολύ ψηλά: 34/29/23 (https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2022). Και πάλι, όμως, αυτή η ομάδα έχει ένδοξο παρόν και ελπιδοφόρο μέλλον.

Μετά την εκπληκτική 2η θέση στη φετινή 39η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα, η

ομάδα

που έλαβε μέρος στη 63η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα συγκέντρωσε 163 μονάδες (26η/104 χώρες) πάνω από "υπερδυνάμεις" στους μαθηματικούς διαγωνισμούς (βλ. Ουγγαρία, Αυστραλία, Τουρκία, Σερβία, κ.α.), μια μοναδική επίδοση

.

Η φετινή επίδοση τους είναι *μοναδική* διότι:

- Είναι η καλύτερη(!) επίδοση της ελληνικής ομάδας σε σύνολο μονάδων,
- Είναι η δεύτερη(!) καλύτερη επίδοση της ομάδας μας σε σύγκριση με τις άλλες χώρες (σε σχετικούς αριθμούς),
- Είναι η τέταρτη(!) καλύτερη επίδοση σε συγκομιδή μεταλλίων,
- Είναι όλοι μαθητές της Α τάξης ή της Β τάξης του Λυκείου.

Αναλυτικότερα, σε σύνολο μονάδων, οι 163 μονάδες αποτελούν την καλύτερη επίδοση που έχει σημειώσει ποτέ η ομάδα μας σε IMO (https://www.imo-official.org/country_te ... x?code=HEL) με τις επόμενες να είναι οι 127 μονάδες το 2017 (12η στις 111 χώρες στη γενική κατάταξη), οι 126 μονάδες το 2004 (26η στις 85 χώρες της γενικής κατάταξης) και οι 122 μονάδες το 1989 (20η στις 50 χώρες στη γενική κατάταξη).

Συγκριτικά με τις άλλες χώρες, οι πέντε καλύτερες επιδόσεις σημειώθηκαν το 2017 (90.00%: 12η/111 χώρες), φέτος (75.73%: 26η/104 χώρες), το 2012 (74.74%: 26η/100 χώρες), το 1996 (71.62%: 22η/95 χώρες) και το 2004 (70.24%: 26η/85 χώρες).

Σε συγκομιδή μεταλλίων αποτελεί την τέταρτη καλύτερη χρονιά μετά από τα 6 μετάλλια το 2017 (1 χρυσό/4 αργυρά/1 χάλκινο) και το 1996 (1 αργυρό/5 χάλκινα), τα 5 μετάλλια το 2012 (1 χρυσό/1 αργυρό/3 χάλκινα/1 ΕΜ) και μαζί με το 2004 (2 αργυρά/3 χάλκινα/1 ΕΜ).

Συγχαρητήρια στους γονείς τους, στους καθηγητές τους, στην επιτροπή διαγωνισμών της ΕΜΕ, σε όλους όσους στηρίζουν αυτά τα παιδιά.

Θερμά συγχαρητήρια

και πάλι στα ίδια τα παιδιά, αφού σε αυτά ανήκει το συντριπτικό ποσοστό της επιτυχίας. Εκείνα μόνο γνωρίζουν τις ατελείωτες ώρες κατά τις οποίες αναμετρήθηκαν μόνοι τους με εκατοντάδες - για να μην πω χιλιάδες, χωρίς υπερβολή - προβλήματα διαγωνισμών, για πολλά χρόνια, για να φτάσουν σε αυτό το επίπεδο διεθνώς. Εμείς είμαστε, απλώς, τυχεροί που συναντήθηκαν οι δρόμοι μας.

Η χαρά όλων όσων ήταν κοντά σε αυτή την ομάδα με μαθήματα προετοιμασίας, και όχι μόνο, με πρώτους τον Ανάργυρο Φελλούρη (πρόεδρο της επιτροπής διαγωνισμών και αρχηγό της αποστολής στην ΙΜΟ), τον Σιλουανό Μπραζιτίκο (εκτελεστικό γραμματέα της επιτροπής διαγωνισμών και υπαρχηγό της αποστολής στην ΙΜΟ), και το Γιάννη Τυρλή (αναπληρωτή πρόεδρος της επιτροπής διαγωνισμών), μαζί με τον Αλέξανδρο Συγκελάκη (αρχηγό της αποστολής στη Βαλκανιάδα), τον Αθανάσιο Μάγκο (υπαρχηγό της αποστολής στη Βαλκανιάδα), τον Ανδρέα Βαρβεράκη (μέλος της επιτροπής διαγωνισμών), τον Ιάσονα-Κυπριανό Προδρομίδη (μέλος της επιτροπής διαγωνισμών) και τον Μανώλη Κιουλάφα (μέλος της επιτροπής διαγωνισμών) είναι απερίγραπτη. Κάποιος εκεί πάνω, Βαγγέλης Ψύχας, επίσης, πρέπει να χαίρεται πάρα πολύ!

Κλείνει έτσι με τον καλύτερο τρόπο μια χρονιά διαδοχικών επιτυχιών των εθνικών ομάδων μας και της ΕΜΕ στις διεθνείς ολυμπιάδες. Ευχόμαστε καλή δύναμη και πολλές επιτυχίες και στη συνέχεια!

: imo2022_Greece.png (245.36 KiB) Προβλήθηκε 3282 φορές

Τσιαλας Νικολαος · #7

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδια!!! 26η θέση για την Ελλάδα!!!

Υ. Γ: Η Κίνα το τερμάτισε!!

#8

Υποκλίνομαι στις επιδόσεις/βαθμολογίες των παιδιών μας. Εκπληκτικές.

#9

Με ιδιαίτερη συγκίνηση διαβάζω τις εκπληκτικές επιδόσεις των παιδιών .

Θερμά συγχαρητήρια στους μαθητές, στους γονείς, στους συνοδούς ,στους δασκάλους

( με την ευρεία έννοια του «Δασκάλου») .

Και σε όσους συνέβαλαν με οποιοδήποτε τρόπο για τις επιτυχίες αυτές .

#10

Συγχαρητήρια στα παιδιά και στους συνοδούς της Ελληνικής Αποστολής για την τεράστια αυτή επιτυχία, καθώς επίσης και στους αφανείς ήρωες(γονείς, καθηγητές,κλπ)!

Σε μία εποχή που τίποτα δεν δείχνει να πηγαίνει καλά, αυτά τα παιδιά μάς έκαναν περήφανους!

Καλή ξεκούραση σε όλους.

Maria-Eleni Nikolaou · #11

Πολλά συγχαρητήρια στην Ελληνική Ομάδα!!!

Παραθέτω την δική μου προσέγγιση για το Πρόβλημα 5.

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 14, 2022 3:40 pm
Πρόβλημα 5
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων με πρώτο για τις οποίες:

Θεώρησα τις περιπτώσεις:

1) Αν

άρτιος τότε πρέπει:
1.α) b!=1

και

1.β)

άρτιος και p=2

2) Αν

περιττός τότε πρέπει:
2.α) b!=1

και

2.β)

άρτιος και p>2

Εξετάζοντας την 1.α) καταλήγουμε σε εξίσωση της μορφής: a^p=p+1

που δεν δίνει ακέραιες λύσεις.

Στην περίπτωση 1.β) το

μπορεί να πάρει τις τιμές: 2,6,24,120,720,...

οπότε η

παίρνει τις τιμές: 4,8,26,122,722,...

Παρατηρούμε ότι τέλειο τετράγωνο είναι μόνο το

από τις δυνατές περιπτώσεις, διότι για $b\geq 5$ το αποτέλεσμα λήγει σε

δηλαδή δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Επομένως, έχουμε την τριάδα (2,2,2)

.

Η περίπτωση 2.α) δίνει a^2=3

που απορρίπτεται.

Εξετάζοντας την τελευταία περίπτωση 2.β) έχουμε για το

τις τιμές: 2,6,24,120,720,5040,...

i)

τότε

που απορρίπτεται.
ii) b!=6

τότε

ομοίως δεν δίνει ακέραιες λύσεις.
iii) b!=24

τότε

που δίνει λύση για p=3

. Οπότε, έχουμε την τριάδα (3,4,3)

.
iv) $b\geq 5$ έχουμε:
a^3=b!+3

άρα το

πρέπει να λήγει σε

ή

που δεν δίνει λύσεις.
a^5= b!+5

άρα το

πρέπει να λήγει σε

που δεν δίνει λύσεις.
a^7=b!+7

άρα το

πρέπει να λήγει σε

ομοίως δεν δίνει λύσεις.
$a^{11}=b!+11$ κανένα $a\in\mathbb{Z^+}$ δεν το ικανοποιεί.
$a^{19}=b!+19$ ομοίως.
Οι υπόλοιπες περιπτώσεις πρώτων ανάγονται σε αυτές, διότι το τελευταίο ψηφίο τους είναι ένα από τα: $\left \{ 1,3,7,9 \right \}$

Η ανάλυση της τελευταίας περίπτωσης χωλαίνει, γι' αυτό εξ αρχής δεν ήμουν σίγουρη για το πλήθος των τριάδων. Επομένως, με αυτή την προσέγγιση (που δεν είναι αυστηρά τεκμηριωμένη) βρίσκουμε τις τριάδες: (a,b,p)=(2,2,2), (3,4,3)

.

Nodas Boukovalas · #12

Πολλά συγχαρητήρια σε όλη την Ελληνική αποστολή !

Οι 163 πόντοι ( 27.16... μ.ο. ), είναι απίστευτα φανταστική επίδοση, δηλαδή σχεδόν 4 τέλειες λύσεις απο όλους! (4 /6). Αυτό θα ήταν πρωτακουστο της προηγούμενες χρονιές, και φανερώνει την εκτεταμένη προετοιμασία που κάνατε.

Είμαι ο Νωντας, 38, Έλληνας μαθηματικός που μένω στο Όσλο εδώ και 4 χρόνια. Οπότε σήμερα είχα την τύχη να γνωρίσω όλη την Ελληνικη αποστολή, κάτι που είναι σπάνιο.
Την προηγούμενη φορα που είχε γίνει αυτό, ηταν το 2004 στην IMO που διοργανωσαμε στη σχολή μου στο Μαθηματικό Αθηνας όπου σπούδαζα τότε, και ήμουν εθελοντής στην διοργάνωση.
Εγώ μόνο μέχρι Αρχιμήδη έχω φτάσει (1997 και 1999), οπότε καταλαβαίνω πόσο δύσκολο είναι να βρεθεί κάποιος στην ΙΜΟ.

Και οι 6 μαθητές της Εθνικής, μιας και ηταν ως Β' Λυκείου, θα εχουν ευκαιρία να παλέψουν για μια θέση στην ΙΜΟ 2023 της Ιαπωνίας και του χρόνου το καλοκαίρι.
Αλλά και αργότερα σε φοιτητικές Ολυμπιάδες αν το θέλουν.

Έχω συμμετάσχει στα 5 προηγούμενα κύπελλα νοερης αριθμητικής (10,' 12','14,'16,18). Το 2020 ακυρώθηκε προφανώς, λόγω πανδημίας. Τωρα για το 2022, γίνεται αυτο το Σ/Κ 16/17 Ιούλιου πάλι στη Γερμανία. Αλλά για κάποιους λόγους αποφάσισα να μην κατέβω αυτή τη φορά στη Γερμανία. (ένας απο τους λόγους είναι και οι πολλές ακυρώσεις των Scandinavian airlines, γιατι παραδοξως και εδώ αρχισαν να γινονται απεργιες.). Για το 2024, θα δείξει . Έχουμε καιρό ως τοτε. Αλλά ευτυχώς εκεί δεν υπάρχει ανώτατο όριο ηλικίας (το ίδιο και στα παγκόσμια πρωτάθλημα για σκάκι, μνήμη, κύβους rubik 'speedcubing' , sudoku κτλ,, όπου δεν υπάρχουν περιοριστικά ηλικιακά όρια.). Σε συζήτηση με τον Πρόδρομο, μου φάνηκε οτι ενδιαφέρεται κι αυτός πολύ για τέτοιους διαγωνισμους εκτός ΙΜΟ.

Απλά το αναφέρω αυτό, ώστε να τονίσω ότι υπάρχουν σίγουρα και πολλές δυνατότητες διαφόρων διαγωνισμών, πέρα από την IMO.

Βέβαια οι ΙΜΟ βοηθάνε πολύ ώστε τα καλύτερα πανεπιστήμια παγκοσμίως να διαλέγουν πολλούς ΙΜΟ μαθητές για υποτροφίες, ώστε να ανεβαίνει το κύρος και η κατάταξη των πανεπιστημίων. (αυτό κατά προσωπικη άποψη πάντα ). Πολλά μαθηματικά τμήματα καυχιουνται για ποσους συμμετέχοντες ΙΜΟ κατάφεραν να εντάξουν στο δυναμικο τους.

Οπότε καλή πρόοδο και θερμή παράκληση να μην δίνετε σημασία σε όσους υποτιμούν τέτοιους διαγωνισμούς που εκπροσωπειται η Ελλάδα διεθνώς, και διέπρεψε στην περίπτωση της ΙΜΟ 2022, εδώ στη Νορβηγία. Αυτό το αναφέρω γιατί έχω ακούσει ακόμα κι από πολλούς συναδέλφους μαθηματικούς, να μην εκτιμούν τον Μαθηματικό Πρωταθλητισμό αυτών των παιδιών της Εθνικής ομαδας, αλλά και γενικώς (ΒΜΟ, Kangaroo κτλ.)
Κατά τη γνώμη μου, αυτό είναι απλά μια μορφή άμυνας μέσω αυθυποβολής (positive reinforcement), ώστε να νιώθουν αυτοί καλά γιατί δεν έχουν καταφέρει ποτέ αυτό που κατάφεραν αυτά τα παιδιά.

(Λαϊκως : 'Οσα δε φτάνει η αλεπού, τα κάνει κρεμαστάρια'.).

Προσωπικά έχω θωρακίστει, ώστε να μην ενδιαφέρει καθόλου η αρνητική κριτική για το αν είναι χρησιμος ένας διαγωνισμός ή όχι.
Ή για το γεγονός ότι ένα μέσο κομπιούτερακι είναι περίπου 1 δισεκατομμύριo φορές πιο γρήγορο απο το μέσο άνθρωπο που κάνει πράξεις.

Δηλαδή στο μέλλον ως το 2050 μπορεί να βγει λογισμικό τεχνητής νοημοσύνης (Α.I.) που να λύνει αυτοματα προβλήματα ΙΜΟ. Αλλά αυτό δεν νομίζω να επηρεάσει και πολύ τους ανθρώπινους διαγωνισμους. Για παραδειγμα στο σκακι, που η διαφορά μεταξύ του Νορβηγού παγκόσμιου πρωταθλητή Carslen και της Τοπ μηχανής σκάκιου, έχει φτάσει τις 600 μονάδες ELO (2900 vs 3500+). Δηλαδή τεράστια διαφορά δεξιότητας, υπέρ της μηχανής.

Παρ'όλα αυτα γίνεται ακόμα πρωτάθλημα ανθρώπων Γκραν μετρ σκακιού . Έτσι νομίζω τουλάχιστον αυτον τον αιώνα θα συνεχίσει πάντα να γινεται ΙΜΟ, ακόμα και να περαστεί επιτυχώς το Τεστ Turing ( μηχανη >= άνθρωπος).

Τον Carlsen, που μένει κι αυτός εδω στο Οσλο, τον είχα πετύχει τυχαία μια μέρα εδώ στο Νορβηγικό Μετρό (tbane) και μου φάνηκε πολύ νορμάλ άτομο, σε αντίθεση με τα στερεότυπα των απρόσιτων παγκόσμιων πρωταθλητών. (Bobby Fischer κτλ). ή πχ. Gregory Perelman απο IMO 80ς και μεταλλιο Fields Μαθηματικών.

Συγχαρητήρια και πάλι στην Team Greece / Team Hellas! (το Team είναι ίδια λέξη και στα Αγγλικά και στα Νορβηγικά.)

Ενώ η Νορβηγία είναι μια από τις 2 μοναδικές χώρες παγκοσμίως που μας αναφέρουν ως Hellas / Ελλάς ! (η άλλη είναι η Κύπρος προφανώς )

Οπως είπα και στον αρχηγό, τον κύριο Φελλουρη, μακάρι να διοργανωθεί στην Ελλάδα και πάλι κάποια ΙΜΟ, απο 2030 ως 2040, με ακόμα καλύτερη διοργάνωση σε σχέση με το 2004). Μεχρι το 2030 δύσκολο βέβαια, λόγω οικονομικών ζητημάτων.

Το μεγάλο αβαντάζ της Ελλάδας είναι η μαθήματικη παράδοση της αρχαιότητας, αλλά και η παγκοσμίως Ελληνική λέξη : 'Μαθηματικά '.

TLDR : Είμαι Έλληνας της Σκανδιναβίας και χάρηκα που γνώρισα μια Ελληνικη αποστολή ΙΜΟ, για πρώτη φορα μετα απο 18 χρόνια στον τόπο της διοργάνωσης (' in situ ') !

(και το 2004 πάντως καλά είχαμε παει πάντως σαν οικοδεσπότες και διοργανωτές στο νεόκτιστο τοτε Μαθηματικό Αθήνας).

S.E.Louridas · #13

: imo2022_Greece.png (245.36 KiB) Προβλήθηκε 2523 φορές

Πολλά και ειλικρινή συγχαρητήρια στους Έλληνες Διαγωνιζόμενους, μας κάνουν Υπερήφανους και μας γεμίζουν ελπίδα. Εύχομαι Καλή επάνοδο και Καλή συνέχεια με ακόμη μεγαλύτερες Επιτυχίες (αναμενόμενο), Υγεία, Χαρά και Πρόοδο. Θα ήθελα εδώ να επισημάνω ότι η Ελλάδα στον τομέα της ανάδειξης αξιών σε επίπεδο μαθητών και φοιτητών πρωτοπορεί και σε επίπεδο ιδεολογίας του είδους δίνει πολλά. Για παράδειγμα η οργάνωση της Μαθηματικής Ολυμπιάδας στην Ελλάδα (2004) θεωρήθηκε ίσως η κορυφαία όλων των εποχών, ακόμα μιλούν για αυτό οι τότε διεθνείς μαθηματικές προσωπικότητες που ενεπλάκησαν (Παρατηρητές, Αρχηγοί, υπαρχηγοί, διαγωνιζόμενοι κτλ.). Για τα μέλη τώρα της Εθνικής επί των μαθηματικών που μιλάμε και που μας έκανε υπερήφανους διεπίστωσα με βάση τις βαθμολογίες κάτι πολύ σπάνιο που με συγκίνησε: Την εντυπωσιακή συνοχή της ομάδας, έδρασε ως ένας τόσο στη θετική βαθμολογία (κορυφαία 7), όσο και στην μη καλή (είναι απόλυτα φυσικό να υπάρχει και τέτοια) βαθμολογία, για μένα αυτό αποτελεί θετικότατο επίτευγμα. Και πάλι θερμά συγχαρητήρια και πολλά, πολλά, πάρα πολλά: Σας ευχαριστούμε.

Nodas Boukovalas · #14

Κύριε Λουρίδα,

Κατά γενική ομολογία το 3ο και το 6ο θέμα της ΙΜΟ 2022, ήταν αυξημένης δυσκολίας σε σχέση με τα υπόλοιπα, ώστε να ξεχωρίσουν οι διαγωνιζομενοι με βαθμολογίες 34-35 και άνω, ώστε να δωθει λιγότερος αριθμός χρυσών μεταλλίων.

Επίσης κατα τη γνώμη μου, δεν μπορεί να γίνει διάταξη και κατάταξη των ΙΜΟ, με βάση υποκειμενικων κριτηρίων. Μιλούσα χτες με έναν υπεύθυνο απο την ομάδα της Αργεντινής και μου είπε ότι η ΙΜΟ στο Buenos Aires το 1997 ήταν από τις καλύτερες ΙΜΟ όλων των εποχών. Και οι Ρουμανοι και οι Άγγλοι ίσως λενε για τις δικές τους διοργανωσεις. Οπότε λογικό είναι να καυχιομαστε και μεις για την ΙΜΟ 2004.

Αν και κατά τη γνώμη μου η ΙΜΟ 2004, ίσως θα μπορούσε να διεξαχθεί σε κάποιες καλύτερες εγκαταστασεις. Διότι το Μαθηματικό Αθήνας δεν είχε και τις καλύτερες εγκατάστασεις στην Αθήνα για μια τόσο μεγάλη διοργάνωση με σχεδόν 500 διαγωνιζομενους.

Μόνο στις εγκαταστάσεις αναφέρομαι και όχι για το προσωπικό υποστήριξης του διαγωνισμού που έκανε πολύ καλή δουλειά.

ΥΓ.
Ο διαγωνισμός ΙΜΟ το 2004, είχε γίνει στον πάνω όροφο του Μαθηματικού Αθήνας, εκεί που είναι η σημερινή βιβλιοθήκη. Απλά είχαμε στήσει πάρα πολλες σειρές απο θρανία, και διάφορους άλλους αυτοσχεδιασμους. Το μεγάλο αβαντάζ του Μαθηματικού Αθήνας όμως ήταν οτι μπόρεσαν και βρέθηκαν πολλοί φοιτητές εθελοντές αλλά και καθηγητές του τμήματος, για καθε είδους υποστήριξη, στην διοργάνωση μιας ΙΜΟ.

S.E.Louridas · #15

Nodas Boukovalas έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 16, 2022 2:46 pm
Κύριε Λουρίδα,

Κατά γενική ομολογία το 3ο και το 6ο θέμα της ΙΜΟ 2022, ήταν αυξημένης δυσκολίας σε σχέση με τα υπόλοιπα, ώστε να ξεχωρίσουν οι διαγωνιζομενοι με βαθμολογίες 34-35 και άνω, ώστε να δωθει λιγότερος αριθμός χρυσών μεταλλίων.

Επίσης κατα τη γνώμη μου, δεν μπορεί να γίνει διάταξη και κατάταξη των ΙΜΟ, με βάση υποκειμενικων κριτηρίων. Μιλούσα χτες με έναν υπεύθυνο απο την ομάδα της Αργεντινής και μου είπε ότι η ΙΜΟ στο Buenos Aires το 1997 ήταν από τις καλύτερες ΙΜΟ όλων των εποχών. Και οι Ρουμανοι και οι Άγγλοι ίσως λενε για τις δικές τους διοργανωσεις. Οπότε λογικό είναι να καυχιομαστε και μεις για την ΙΜΟ 2004. .....

Τέλος πάντων προσωπικά δεν μιλώ υποκειμενικά, παρόλο που ήμουν εκ των μελών του επιστημονικού περιβάλλοντος του διαγωνισμού αυτού, αλλά μιλώ με εκπεφρασμένες απόψεις για την ουσία του διαγωνισμού όπως π.χ. των κ. Αντρέσκου, Τόνοφ, Μινκουλετε, Μπεκεάνου και πολλών άλλων ονομάτων (μη Ελληνικών ονομάτων) που μετρούν. Η Ελλάδα και με βάση το δεδομένο ότι δεν έχει καμία υποστήριξη από το κράτος (αντιθέτως μάλιστα π.χ. η Τουρκία έχει Μαθηματικά Λύκεια, όπως και πολλές άλλες χώρες που φιγουράρουν στις «ζηλευτές θέσεις» και βέβαια στην Κίνα και ο Αριθμός τέτοιων σχολειων είναι πολύ μεγάλος) υπερβαίνει κατά πολύ. Κάνει πραγματικά άθλο. Αναγκάζομαι τώρα να μιλήσω αναφερόμενος σε πρόσωπο. Όπως θα γνωρίζετε το βάρος της προπονητικής εκεί πέφτει εκ των πραγμάτων στο Υπαρχηγό που είναι ο καθ΄ ύλη αρμόδιος για να ανεβάσει κατά την κάθοδο στον στίβο την απόδοση της ομάδας. Το ότι λοιπόν η ομάδα αποδίδει στο ύψιστο δυνατό ως ένα άτομο ώστε να συγκινεί, οφείλεται κύρια και στον προπονητικό συντονισμό από τον Άριστο μαθηματικό (και επίσημα Πανεπιστημιακό πλέον αλλά και τροπαιούχος επί των διαγωνισμών και ο ίδιος) Σιλουανό Μπραζιτίκο ώστε να «πάρει» το μέγιστο δυνατό από τον καθένα από τους contestants (όσοι έχουν ασχοληθεί επί του πρακτέου με το «άθλημα» αυτό κατανοούν).
Μπράβο λοιπόν για μία ακόμα φορά στην Ελληνική παρουσία που (με δεδομένο μάλιστα και τον πολύ μικρό βαθμό βοήθειας από την πολιτεία) Απέδωσε στο MAXIMUM.

Lymperis Karras · #16

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 14, 2022 3:40 pm

Πρόβλημα 5. Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων με πρώτο για τις οποίες:

Καταρχάς, αν b=1

τότε έχουμε $a=(1+p)^{1/p}$ και έτσι 1<a<2

, άτοπο. (προκύπτει εύκολα με επαγωγή)
Έτσι, $b \geq 2$ .

Περίπτωση 1: $b \geq p$ .

Τότε από FLT

παίρνουμε

. Έστω

.
Επίσης, έχουμε $v_{p}(a^p - p) = v_{p}(b!) =1 \implies p \leq b < 2p$
Άρα παίρνουμε $(kp)^p \leq (2p -1)! + p$ .
Αν $k \geq p$ τότε $(2p-1)! + p \geq p^{2p}$ , άτοπο για κάθε

.
Έτσι

και

. Τώρα $0 = 1 + \dfrac{b!}{p} = 1 (mod.k) \implies k=1, a=p$ .

Η αρχική λοιπόν γίνεται b! = p^p - p

.
Αν

τότε $p! = p^p - p \implies p=2$ , καθώς για μεγαλύτερο

έχουμε εύκολα RHS > LHS

. Άρα προκύπτει η λύση (a,b,p)=(2,2,2)

Αν

τότε ελέγχουμε τις περιπτώσεις p=2,3,5

που δίνουν την λύση (a,b,p)=(3,4,3)

.
Για $p \geq 7$ παίρνουμε ότι $v_{2}(p^p -p) = v_{2}(p^{p-1} - p) = 2v_{2}(p-1) + v_{2}(p+1) - 1$ ενώ $v_{2}(b!) \geq v_{2}((p-1)!) \geq v_{2}(p+1) + v_{2}(p-1) + v_{2}(\dfrac{p-1}{2}) + v_{2}(2) = 2v_{2}(p-1) + v_{2}(p+1) > v_{2}(p^p - p)$ , άτοπο.

Περίπτωση 2: b<p

.

Έστω

τότε αν $\leq b$ έχουμε q | p

, εύκολα άτοπο.
Άρα q>b

και $b! + p \leq b^p < q^p \leq a^p$ , άτοπο.

Τελικά μόνες λύσεις οι (2,2,2), (3,4,3)

.

#17

Nodas Boukovalas έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 16, 2022 2:46 pm
Κύριε Λουρίδα,

Κατά γενική ομολογία το 3ο και το 6ο θέμα της ΙΜΟ 2022, ήταν αυξημένης δυσκολίας σε σχέση με τα υπόλοιπα, ώστε να ξεχωρίσουν οι διαγωνιζομενοι με βαθμολογίες 34-35 και άνω, ώστε να δωθει λιγότερος αριθμός χρυσών μεταλλίων.

Επίσης κατα τη γνώμη μου, δεν μπορεί να γίνει διάταξη και κατάταξη των ΙΜΟ, με βάση υποκειμενικων κριτηρίων. Μιλούσα χτες με έναν υπεύθυνο απο την ομάδα της Αργεντινής και μου είπε ότι η ΙΜΟ στο Buenos Aires το 1997 ήταν από τις καλύτερες ΙΜΟ όλων των εποχών. Και οι Ρουμανοι και οι Άγγλοι ίσως λενε για τις δικές τους διοργανωσεις. Οπότε λογικό είναι να καυχιομαστε και μεις για την ΙΜΟ 2004.

Αν και κατά τη γνώμη μου η ΙΜΟ 2004, ίσως θα μπορούσε να διεξαχθεί σε κάποιες καλύτερες εγκαταστασεις. Διότι το Μαθηματικό Αθήνας δεν είχε και τις καλύτερες εγκατάστασεις στην Αθήνα για μια τόσο μεγάλη διοργάνωση με σχεδόν 500 διαγωνιζομενους.

Μόνο στις εγκαταστάσεις αναφέρομαι και όχι για το προσωπικό υποστήριξης του διαγωνισμού που έκανε πολύ καλή δουλειά.

ΥΓ.
Ο διαγωνισμός ΙΜΟ το 2004, είχε γίνει στον πάνω όροφο του Μαθηματικού Αθήνας, εκεί που είναι η σημερινή βιβλιοθήκη. Απλά είχαμε στήσει πάρα πολλες σειρές απο θρανία, και διάφορους άλλους αυτοσχεδιασμους. Το μεγάλο αβαντάζ του Μαθηματικού Αθήνας όμως ήταν οτι μπόρεσαν και βρέθηκαν πολλοί φοιτητές εθελοντές αλλά και καθηγητές του τμήματος, για καθε είδους υποστήριξη, στην διοργάνωση μιας ΙΜΟ.

Αγαπητέ Νώντα,

τόσο αυτό το μήνυμα σου όσο και το προηγούμενο (#14) αναδίδουν ένα υπέροχο άρωμα θετικότητας -- να είσαι πάντα καλά και να θυμάσαι όλα τα ωραία!

[Συγχαρητήρια σε όλους για την υπερπροσπάθεια που λέγεται ΙΜΟ!!!]

thepigod762 · #18

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 14, 2022 3:40 pm
Πρόβλημα 1. Η τράπεζα του Όσλο εκδίδει δύο τύπους νομισμάτων: αλουμινίου (τύπου Α) και χαλκού (τύπου Β). Η Μαριάννα διαθέτει νομίσματα από αλουμίνιο και νομίσματα από χαλκό τοποθετημένα σε σειρά, σε μία τυχαία διάταξη. Μία αλυσίδα είναι μία υπακολουθία συνεχόμενων νομισμάτων του ίδιου τύπου. Δοθέντος ενός θετικού ακεραίου $k\leq 2n$ , η Μαριάννα εκτελεί επαναλαμβανόμενα την ακόλουθη πράξη: προσδιορίζει τη μεγαλύτερη αλυσίδα που περιέχει το οστό νόμισμα από τα αριστερά και τοποθετεί όλα τα νομίσματα της αλυσίδας στα αριστερά της σειράς. Ένα παράδειγμα για και με την αρχική διάταξη είναι το εξής:
$AABBBABA \rightarrow BBBAAABA \rightarrow AAABBBBA \rightarrow AAAABBBB \rightarrow ...$
Να βρείτε όλα τα ζεύγη με $1\leq k\leq 2n$ τέτοια ώστε για οποιαδήποτε αρχική διάταξη σε καποια στιγμή της διαδικασίας, τα πιο αριστερά να είναι του ίδιου τύπου.

Καλούμε μια αλυσίδα βασική όταν είναι η μεγαλύτερη δυνατή για τα νομίσματα που την αποτελούν.
Έστω A=[i,j]

η βασική αλυσίδα με το

-οστό και

-οστό νόμισμα να είναι το πρώτο και το τελευταίο αντίστοιχα.

Ισχυρισμός:
$k\notin \{1,...,n-1 \}\cup \{\lceil\displaystyle \frac{3n}{2} \rceil+1,...,2n \}.$

Απόδειξη:
Εύκολα για k< n

έχουμε ότι η διάταξη A...AB...BA

παραμένει ως είναι.

Για το $k>\lceil \frac{3n}{2} \rceil=2n-\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ παίρνουμε την διάταξη A…AB…BA…AB…B

, όπου κάθε βασική αλυσίδα αποτελείται από $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor, \lceil \frac{n}{2} \rceil, \lceil \frac{n}{2} \rceil, \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ νομίσματα αντίστοιχα. Επειδή ο αριθμός των νομισμάτων της τελευταίας αλυσίδας είναι $\geq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ έπεται ότι το

είναι μεγαλύτερο του πλήθους των υπόλοιπων νομισμάτων, ή με άλλα λόγια ότι περιέχεται πάντα στην τελευταία αλυσίδα.

Τότε έχουμε όμως λούπα:
$A...AB...BA...AB...B\rightarrow B...BA...AB...BA...A\rightarrow ...$ $\blacksquare$

Θα αποδείξουμε ότι σε άλλη περίπτωση το πλήθος των βασικών αλυσίδων μειώνεται σταθερά που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Για $k\in B=[l,m],l>1,m<2n,$ οι βασικές αλυσίδες $B_1=[l{'},l-1],B_2=[m+1,m']$ γίνονται μία και τελειώσαμε αφού είναι και αδύνατο να αυξηθούν.

Για $k\in C=[1,l]$ είναι $n+1>l\geqk\geqn\Rightarrow l=n$ που είναι το αποδεικτέο.

Για $k\in D=[m,2n]$ θα αποδείξουμε ότι οι βασικές αλυσίδες είναι πλήθους

ή

(με μία κίνηση προκύπτουν

):
Πράγματι, αν οι βασικές αλυσίδες είναι $\geq 4$ από αρχή της περιστεροφωλιάς έχουμε τουλάχιστον μία αλυσίδα με νομίσματα πλήθους $< \lfloor \frac{n}{2} \rfloor +1 \leq 2n - k +1$ .
Επομένως το

δεν ανήκει στην αλυσίδα αυτή όταν είναι τελευταία και τότε το πλήθος των βασικών αλυσιδών μειώνεται, που τελειώνει την απόδειξη. $\blacksquare$

Τελικά τέτοια ζεύγη είναι τα $(n,k), k \in \{n, n+1,..., \lceil\dfrac{3n}{2} \rceil \}.$

Nodas Boukovalas · #19

gbaloglou έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 16, 2022 7:04 pm
[quote="gbaloglou"
Αγαπητέ Νώντα,

τόσο αυτό το μήνυμα σου όσο και το προηγούμενο (#14) αναδίδουν ένα υπέροχο άρωμα θετικότητας -- να είσαι πάντα καλά και να θυμάσαι όλα τα ωραία!

[Συγχαρητήρια σε όλους για την υπερπροσπάθεια που λέγεται ΙΜΟ!!!]

Αγαπητέ Γιώργο,

Εγώ δεν έκανα κάτι προσωπικά για την ΙΜΟ. Όλος ο κόπος και οι επιτυχίες, είναι αποκλειστικά καρπός της Ελληνικής αποστολής στην ΙΜΟ.

Εγώ απλά θαυμάζω την Ελληνικη προσπαθεια γιατί έτυχε να μένω στο ίδιο μέρος οπου έγινε η ΙΜΟ 2022.

Όπως είπα και στα παιδιά, οι Έλληνες πλεον έχουμε διασκορπιστει παντού, παγκοσμίως, καλώς ή κακώς ( μετά το brain drain).

Άρα θεωρώ ότι σε όποια μεγαλη πόλη του εξωτερικού κι αν γινόταν η ΙΜΟ, ίσως υπήρχαν κι εκεί παρατηρητές Έλληνες της διασπορας, για να πουν συγχαρητήρια στα παιδιά, και να τους πουν μερικά πράγματα για τη χώρα στην οποία ταξιδέψαν, ωστε να σηκώσουν ψηλά την ελληνική σημαία.

Τώρα για την Ιαπωνία του χρόνου δεν ξέρω, αλλά λογικά ίσως βρεθούν κι εκεί κάποιοι Έλληνες στην Άπω Ανατολή.

Δεν στέκομαι στα ενδεχομένως αρνητικά. Δηλαδή το οτι δεν υπήρξε τεράστια στήριξη από την πολιτεία προς στα παιδιά της ΙΜΟ. Αυτό δεν ειναι κάτι καινούργιο.

Αλλά θεωρώ ότι ο κάθε Έλληνας της διασποράς πρέπει να παρουσιάζει μια καλη εικόνα του Ελληνικού έθνους στο εξωτερικό. Αλλά και από όσους ταξιδεύουν προσωρινά εκτός Ελλάδας, ώστε να διατηρούμε μια καλή φήμη.

Δεν χρειάζεται ανταγωνισμός για το ποιος είναι ο καλύτερος Έλληνας επαγγελματίας, μαθηματικός ή ό,τιδηποτε. Ο καθένας πρέπει να βάζει το δικό του λιθαράκι με το δικό του τρόπο.

Προφανώς αυτοι που επιλέχθηκαν φέτος από την Ελλάδα για την ΙΜΟ , φάνηκε εκ των υστέρων ότι ηταν οι καλύτεροι που θα μπορούσαμε να στείλουμε, οργανωτικά, και εκ του αποτελέσματος.

Ρωτήσα και τον κύριο Φελλουρη, γιατί δεν επιλέχτηκε φέτος κάποιος μαθητης που ηταν στην Γ 'Λυκείου, (γεννηθεις 2004 και προφανώς μεγαλύτερος σε ηλικία)
και μου απάντησε απλά οτι αυτοί ήταν οι καλύτεροι που θα μπορούσαμε να στείλουμε μετά από τις προεπιλογες που έγιναν τον Απρίλιο και τον Μαΐο.

Ολοι οι Έλληνες μαθητές που πρωταγωνιστησαν στην ΙΜΟ 2022 , έχουν γεννηθει το 2006 και το 2005, αν κατάλαβα καλά. Οπότε καταλαβαίνετε για τι επιτυχία μιλαμε.

Δηλαδή για την καλύτερη Ελληνική συγκομιδή πόντων σε ΙΜΟ, χωρίς καν μαθητή της Γ ' Λυκείου. Θα είναι κάπως δύσκολο να ξαναγίνει κατι τέτοιο. (δηλαδή 164+ σκορ, με μαθητές μόνο μέχρι Β' Λυκείου).

ΥΓ.
Την παρακάτω φωτο την τράβηξα έξω απο το δημαρχείο του Όσλο μετά την τελετή λήξης, χτες 15-7-22. Ήταν μονο 2 απο τα 6 παιδιά εκείνη τη στιγμή, αλλά χάρηκα πολύ που σηκώθηκε η Ελληνική σημαία έξω από το δημαρχείο της πρωτεύουσας της Νορβηγίας.
( Rådhus λέγεται αυτό το κτήριο του δημαρχείου και είναι διπλά στο λιμάνι του Οσλο. Σ'αυτό το κτήριο γίνεται κάθε χρόνο και η απονομή του Νόμπελ Ειρήνης (κάθε Δεκέμβρη).
Και σίγουρα απο τους συνοδούς των συμμετεχόντων, θα υπάρχει κι άλλο φωτογραφικό υλικό απο την υπερεπιτυχημένη Ελληνικη αποστολή της ΙΜΟ 2022.

#20

https://www.proinos-typos.gr/gia-ta-pai ... FyT2lxbHL8

IMO 2022

IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Re: IMO 2022

Μέλη σε σύνδεση