JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα.
N1. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι για τους οποίους υπάρχουν μη αρνητικοί ακέραιοι , και ώστε ο αριθμός
να είναι γινόμενο ακριβώς τριών διαφορετικών πρώτων αριθμών.
(Προτάθηκε από την Ελλάδα - Επιλέχθηκε ως το πρώτο πρόβλημα του διαγωνισμού)
Ν2. Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών έτσι ώστε όλοι οι πιο κάτω αριθμοί να είναι ακέραιοι
(Προτάθηκε από το Τατζικιστάν)
N3. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί και όλοι οι μη αρνητικοί ακέραιοι έτσι ώστε
(Προτάθηκε από τη Βουλγαρία)
N4. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι ώστε
(Προτάθηκε από τη Βουλγαρία)
N5. Να βρεθούν όλες οι τριάδες θετικών ακεραίων τέτοιες ώστε:
(Προτάθηκε από την Αλβανία)
Ν6. Να βρεθούν όλες οι τριάδες μη αρνητικών ακεραίων τέτοιες ώστε:
(Προτάθηκε από τη Σερβία)
Ν7. Να βρεθούν όλα τα τέλεια τετράγωνα , τέτοια ώστε αν ο θετικός ακέραιος είναι διαιρέτης του τότε ο είναι δύναμη πρώτου.
(Προτάθηκε από τη Σαουδική Αραβία)
N1. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι για τους οποίους υπάρχουν μη αρνητικοί ακέραιοι , και ώστε ο αριθμός
να είναι γινόμενο ακριβώς τριών διαφορετικών πρώτων αριθμών.
(Προτάθηκε από την Ελλάδα - Επιλέχθηκε ως το πρώτο πρόβλημα του διαγωνισμού)
Ν2. Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών έτσι ώστε όλοι οι πιο κάτω αριθμοί να είναι ακέραιοι
(Προτάθηκε από το Τατζικιστάν)
N3. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί και όλοι οι μη αρνητικοί ακέραιοι έτσι ώστε
(Προτάθηκε από τη Βουλγαρία)
N4. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι ώστε
(Προτάθηκε από τη Βουλγαρία)
N5. Να βρεθούν όλες οι τριάδες θετικών ακεραίων τέτοιες ώστε:
(Προτάθηκε από την Αλβανία)
Ν6. Να βρεθούν όλες οι τριάδες μη αρνητικών ακεραίων τέτοιες ώστε:
(Προτάθηκε από τη Σερβία)
Ν7. Να βρεθούν όλα τα τέλεια τετράγωνα , τέτοια ώστε αν ο θετικός ακέραιος είναι διαιρέτης του τότε ο είναι δύναμη πρώτου.
(Προτάθηκε από τη Σαουδική Αραβία)
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 203
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
N2.
Αν τότε και άρα
•Αν τότε
Αν σύνθετος
Αν
αλλά για τις τιμές αυτές είναι:
Αν για πρώτο, αδύνατο
•Αν και τότε
Αν αδύνατο αφού
Αν
Άρα
Επομένως με πρώτο για τις οποίες τα κλάσματα είναι ακέραιοι
Αν αδύνατο
•Αν και τότε άρτιος και περιττός
Άρα
Αν τότε και άρα
•Αν τότε
Αν σύνθετος
Αν
αλλά για τις τιμές αυτές είναι:
Αν για πρώτο, αδύνατο
•Αν και τότε
Αν αδύνατο αφού
Αν
Άρα
Επομένως με πρώτο για τις οποίες τα κλάσματα είναι ακέραιοι
Αν αδύνατο
•Αν και τότε άρτιος και περιττός
Άρα
-
- Δημοσιεύσεις: 17
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2020 2:02 pm
Re: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Μια λύση για το N3
Στην περίπτωση που είναι
Ομοίως, αν
Έστω τώρα ότι
Τότε, η εξίσωση γίνεται:
Έστω . Τότε είναι , με
Έτσι, με αντικατάσταση των παραπάνω στην εξίσωση έχουμε:
Άρα: , με
Συνεπώς, έχουμε . Όμως, το αριστερό μέλος είναι σύνθετος, αφού οι παράγοντες και είναι μεγαλύτεροι του 1. Οπότε, ο p είναι σύνθετος, το οποίο είναι άτοπο.
Συμπεραίνουμε, λοιπόν, πως οι μόνες λύσεις είναι οι: ή
Στην περίπτωση που είναι
Ομοίως, αν
Έστω τώρα ότι
Τότε, η εξίσωση γίνεται:
Έστω . Τότε είναι , με
Έτσι, με αντικατάσταση των παραπάνω στην εξίσωση έχουμε:
Άρα: , με
Συνεπώς, έχουμε . Όμως, το αριστερό μέλος είναι σύνθετος, αφού οι παράγοντες και είναι μεγαλύτεροι του 1. Οπότε, ο p είναι σύνθετος, το οποίο είναι άτοπο.
Συμπεραίνουμε, λοιπόν, πως οι μόνες λύσεις είναι οι: ή
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Ωραία Σταμάτη. Αυτή ήταν και η δική μας λύση. Πρέπει όμως να δειχθεί και ότι και . Η λύση των Βούλγαρων ήταν διαφορετική.
Ανέβηκε και η Ν4.
Ανέβηκε και η Ν4.
-
- Δημοσιεύσεις: 203
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Καλησπέρα σας!
Μία λύση για το Ν4
•Αν τότε από τη διοφαντική εξίσωση αδύνατο για
Έτσι όμοια
•Αν τότε:
αλλά και αδύνατο
•Αν , τότε για είναι:
Για με και άρα
Όμοια για
•Αν τότε και η εξίσωση γράφεται:
Αν τότε
Όμοια
Αν και τότε .
Αν αδύνατο
(Αν τότε και αν τότε .
Μία λύση για το Ν4
•Αν τότε από τη διοφαντική εξίσωση αδύνατο για
Έτσι όμοια
•Αν τότε:
αλλά και αδύνατο
•Αν , τότε για είναι:
Για με και άρα
Όμοια για
•Αν τότε και η εξίσωση γράφεται:
Αν τότε
Όμοια
Αν και τότε .
Αν αδύνατο
(Αν τότε και αν τότε .
-
- Δημοσιεύσεις: 203
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Συμπλήρωση της Ν3
Είναι και όπου με οι πρωτοι διαιρέτες του . Όμοια όπου με οι πρωτοι διαιρέτες του
Άρα . Έστω
Αρκεί να δείξουμε και και
Για το 1ο είναι:
το οποίο δεν απλοποιείται αφού
Για το 2ο είναι: το οποίο δεν απλοποιείται λόγω της
Άρα και
-
- Δημοσιεύσεις: 203
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Παραθέτω μία λύση για το Ν5.
Παίρνοντας mod5 έχουμε:
Όμως : περιττός.
Άρα
Άρα .
Έτσι η δοθείσα γράφεται .
Όμως .
Επομένως , από όπου προκύπτει ότι .
Τελικά .
Re: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Έστω .
Αν τότε με και αφερεση τετραγώνων έχουμε
Άρα ,,
Για βλέπουμε ότι οπότε .
Για βλέπουμε ότι οπότε .
Για βλέπουμε ότι οπότε .
Re: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Εναλλακτικά, στο NT5, αφού δείξουμε ότι , θα μπορούσε κανείς να δουλέψει .
Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή .
Παρατηρούμε ότι , και ,
συνεπώς , που ισχύει μόνο για .
Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή .
Παρατηρούμε ότι , και ,
συνεπώς , που ισχύει μόνο για .
Re: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Μια προσέγγιση της άσκησης χωρίς το δεδομένο ότι .
Αν τότε δεν υπάρχει άλλος περιττός διαιρέτης του (διαφορετικός του 3).
Έστω ότι υπάρχει ο τότε και :
Οπότε όμως τότε και αδύνατο.
Άρα .....
Αν τότε δεν υπάρχει άλλος περιττός διαιρέτης του .
Έστω ότι υπάρχει ο τότε και :
Οπότε όμως τότε και αδύνατο.
Άρα .....
Αν υπάρχει πρώτος με και τότε .
. έχουμε και έχουμε με αφερεση τετραγώνων .
Επιπλέον αφού τότε που δεν ισχύει.
Δεν υπάρχουν περιττή διαιρέτες του τέτοιοι ώστε και .
Έστω ότι υπάρχουν τότε:
. (1)
. (2)
. (3)
Με πολλαπλασιασμό των (1),(2) έχουμε . (4)
Επειδή θα έχουμε δηλαδή οπότε δηλαδή:
Που δεν ισχύει αφού:
Άρα από της τελευταίας παρατηρήσεις έχουμε με ( αλλιώς αν μπορώ να πάρω και ) ή με (αλλιώς αν μπορώ να πάρω και ).
Αν με .
Αν τότε αδύνατο.
Οπότε .
Μπορω να βρώ όλους τους αριθμούς σε αυτή την περίπτωση αφού το πλήθος επιλογών του (αν υπάρχει) είναι πεπερασμένο ().
Αν με .
Εδώ έχω αρκετά κενά.
Έχω λύση μόνο για
-
- Δημοσιεύσεις: 30
- Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2021 2:41 pm
Re: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Το Ν6 έχει ξανατεθεί στο . Παραθέτω την σχετική παραπομπή: https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=69716
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες