Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

#1

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών $(\alpha,\beta)$ για τα οποία, αν $\delta$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των $\alpha,\beta$ , τότε

$\displaystyle \delta^2 + 9\alpha\beta+ 9\delta(\alpha+\beta) = 7\delta\alpha\beta$

Πρόβλημα 2: Εννέα μέλη μιας επιτροπής ψηφίζουν για να εκλέξουν πρόεδρο. Υπάρχουν τρεις υποψήφιοι πρόεδροι και κάθε μέλος τους κατατάσσει σε μια σειρά δίνοντας

βαθμούς στον πρώτο,

βαθμούς στον δεύτερο και

βαθμό στον τελευταίο.

Στο τέλος της ψηφοφορίας προστέθηκαν οι βαθμοί κάθε υποψηφίου και παρατηρήθηκε ότι κάθε υποψήφιος πήρε διαφορετικό σύνολο βαθμών και έτσι υπήρξε μια ξεκάθαρη τελική κατάταξη των υποψηφίων. Παρατηρήθηκε επίσης ότι αν το κάθε μέλος επέλεγε μόνο έναν υποψήφιο, τον πρώτο του, τότε η τελική κατάταξη των υποψηφίων θα ήταν ανάποδη.

Να βρείτε την τελική βαθμολογία του κάθε υποψηφίου.

Πρόβλημα 3: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle AB\varGamma$ με $AB<A\varGamma$ και έστω

το μέσον του $B\varGamma$ . Από το σημείο

φέρουμε ευθεία που τέμνει τις ευθείες

και $A\varGamma$ στα σημεία

και

αντίστοιχα έτσι ώστε AI=AK

. Αν

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\triangle AIK$ και $\varDelta$ το ίχνος της κάθετης από το σημείο

πάνω στην $B\varGamma$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\triangle O\varDelta M$ είναι ισοσκελές.

Πρόβλημα 4: Αν $\alpha,\beta,\gamma$ , θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε

$\displaystyle 2\sqrt{\beta\gamma} + 8\sqrt{\alpha\gamma} + 21\sqrt{\alpha\beta} \leqslant 12$

τότε να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$\displaystyle N = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} + \frac{2}{\sqrt{\beta}} + \frac{3}{\sqrt{\gamma}}$

#2

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 8:29 pm
Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών $(\alpha,\beta)$ για τα οποία, αν $\delta$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των $\alpha,\beta$ , τότε

$\displaystyle \delta^2 + 9\alpha\beta+ 9\delta(\alpha+\beta) = 7\delta\alpha\beta$

Θέτουμε $\displaystyle{a=dx, b=dy,}$ όπου $\displaystyle{(x,y)=1}$ και η σχέση γίνεται $\displaystyle{1+9xy+9x+9y=7dxy,}$ δηλαδή

$\displaystyle{7d=\frac{1}{xy}+9+9\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\leq 1+9+9(1+1)=28,}$ όποτε $\displaystyle{d\leq 4.}$

Για $\displaystyle{d=1,2,3,4}$ η δοθείσα γράφεται αντίστοιχα

$\displaystyle{1+2xy+9x+9y=0,~~1+9x+9y=5xy,~~1+9x+9y=12xy,~~1+9x+9y=19xy.}$

Από αυτές εύκολα βρίσκουμε ότι λύσεις παράγουν οι 2η και η 4η εξίσωση, τις $\displaystyle{(2,19),(19,2)}$ και $\displaystyle{(1,1)}$ , αντίστοιχα.

Πράγματι, η 1η είναι φανερά αδύνατη, αφού $\displaystyle{x,y}$ θετικοί ακέραιοι. Η 3η επίσης είναι αδύνατη, αφού $\displaystyle{9x,9y,12xy}$ είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ .

Η 2η γράφεται $\displaystyle{(5x-9)(5y-9)=86}$ και η 4η $\displaystyle{(19x-9)(19y-9)=100.}$

#3

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 8:29 pm

Πρόβλημα 4: Αν $\alpha,\beta,\gamma$ , θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε

$\displaystyle 2\sqrt{\beta\gamma} + 8\sqrt{\alpha\gamma} + 21\sqrt{\alpha\beta} \leqslant 12$

τότε να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$\displaystyle N = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} + \frac{2}{\sqrt{\beta}} + \frac{3}{\sqrt{\gamma}}$

Θέτουμε αρχικά $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{a}}=x, \frac{2}{\sqrt{b}}=y, \frac{3}{\sqrt{c}}=z}$ και έχουμε να βρούμε το ελάχιστο του

$\displaystyle{x+y+z,}$ όταν $\displaystyle{2x+4y+7z\leq 2xyz.}$

Η λύση μου βασίζεται στην παρατήρηση ότι η ισότητα στην συνθήκη πιάνεται όταν $\displaystyle{x=3, y=2,5, z=2,}$ οπότε θέτω

$\displaystyle{x=3k, y=2,5\ell, z=2m}$ και η συνθήκη γράφεται $\displaystyle{6k+10\ell +14m\leq 30k\ell m}$ και θέλουμε το ελάχιστο του $\displaystyle{N=3k+\frac{5\ell}{2}+2m}$ .

Από την ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{30klm\geq 6k+10l+14m\geq 30\sqrt[30]{k^6l^{10}m^{14}}\implies k^6l^5m^4\geq 1.}$

Από σταθμισμένη ΑΜ-ΓΜ είναι τότε

$\displaystyle{3k+\frac{5}{2}l+2m\geq \frac{15}{2}\left(k^3\ell ^{5/2}m^2\right)^{15/2}\geq \frac{15}{2}}$

με ισότητα όταν $\displaystyle{k=\ell =m=1,}$ άρα $\displaystyle{\min N=\frac{15}{2}.}$

2nisic · #4

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 8:29 pm

Πρόβλημα 2: Εννέα μέλη μιας επιτροπής ψηφίζουν για να εκλέξουν πρόεδρο. Υπάρχουν τρεις υποψήφιοι πρόεδροι και κάθε μέλος τους κατατάσσει σε μια σειρά δίνοντας βαθμούς στον πρώτο, βαθμούς στον δεύτερο και βαθμό στον τελευταίο.

Στο τέλος της ψηφοφορίας προστέθηκαν οι βαθμοί κάθε υποψηφίου και παρατηρήθηκε ότι κάθε υποψήφιος πήρε διαφορετικό σύνολο βαθμών και έτσι υπήρξε μια ξεκάθαρη τελική κατάταξη των υποψηφίων. Παρατηρήθηκε επίσης ότι αν το κάθε μέλος επέλεγε μόνο έναν υποψήφιο, τον πρώτο του, τότε η τελική κατάταξη των υποψηφίων θα ήταν ανάποδη.

Να βρείτε την τελική βαθμολογία του κάθε υποψηφίου.

Έστω

οι υποψήφιοι και η σειρά της ψηφοφορίας είναι:

πρώτος,

δεύτερος ,

τρίτος.
Έστω P(A)

οι βαθμοί του

στην ψηφοφορία και Q(A)

οι βαθμοί που πήραν όταν επιλεκτηκαν πρώτοι τότε:
P(A)+P(B)+P(C)=54

(1)

(2)

. (3)
Q(A)<Q(B)<Q(C)

. (4)

(1),(4) δεινή P(C)<18

Αν

έχει επίλεκτη σαν πρώτος τουλάχιστον

φορές τότε P(C)>18

αδύνατο
(4) δεινή ότι

επιλεκτικές τουλάχιστον

φορές . Οπότε Q(C)=12

(2),(4) δεινή Q(A)=6

,

Αν στους

αγώνες που ο

δεν βγεικε πρώτος υπάρχει τουλάχιστον μία φορά δεύτερος τότε P(C)>=Q(C)+2+1*4=12+6=18

αδύνατο αφού P(C)<18

Οπότε

.

Άρα :

#5

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 8:29 pm

Πρόβλημα 4: Αν $\alpha,\beta,\gamma$ , θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε

$\displaystyle 2\sqrt{\beta\gamma} + 8\sqrt{\alpha\gamma} + 21\sqrt{\alpha\beta} \leqslant 12$

τότε να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$\displaystyle N = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} + \frac{2}{\sqrt{\beta}} + \frac{3}{\sqrt{\gamma}}$

Δείτε και εδώ: https://artofproblemsolving.com/community/c6h4208

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Μέλη σε σύνδεση