Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

[Al.Koutsouridis]

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη.


1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι τρεις φυσικοί αριθμοί: δυο δεκαψήφιοι αριθμοί και , καθώς και το άθροισμά τους . Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα; (Ι. Μπογκντάνοβ, Π. Κοζέβνικοβ)


2. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά ενός πίνακα τους φυσικούς αριθμούς από το έως το (σε κάθε κελί από έναν αριθμό, όλοι αριθμοί είναι διαφορετικοί). Προέκυψε ότι οποιοιδήποτε δυο αριθμοί, που διαφέρουν κατά τρία, βρίσκονται σε γειτονικά κατά πλευρά κελιά. Είναι άραγε αληθές, ότι οπωσδήποτε θα βρεθούν δυο γωνιακά κελιά, η διαφορά των αριθμών στα οποία διαιρείται με το ; (Ο. Ποντλίνσκιϊ)


3. Το σημείο είναι το μέσο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου . Στην προέκταση των τμημάτων και προς το σημείο δίνονται τα σημεία και αντίστοιχα τέτοια, ώστε και . Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και , εφάπτονται. (Α. Κουζνέτσοβ)


4. Ένας μάγος και ο βοηθός του ετοιμάζονται να παρουσιάσουν το ακόλουθο κόλπο. Έχουν κάρτες με τους αριθμούς , και κελιά στην σειρά στο μέγεθος κάθε κάρτας. Οι πλευρές όλων των καρτών κατά την περιστροφή είναι δυσδιάκριτες. Ένας θεατής τοποθετεί σε κάποιες δυο θέσεις τις κάρτες και , ο βοηθός, βλέποντας το αυτό, τοποθετεί στις άδειες θέσεις τις υπόλοιπες κάρτες. Ύστερα όλες οι κάρτες αναποδογυρίζονται με τους αριθμούς προς τα κάτω και εισέρχεται ο μάγος. Αναποδογυρίζει μια από τις κάρτες και ύστερα ο θεατής αναποδογυρίζει μια άλλη. Μετά από αυτό ο μάγος πρέπει να υποδείξει σωστά την κάρτα με τον αριθμό και την κάρτα με τον αριθμό . Για ποια ο μάγος και ο βοηθός του μπορούν να συνεννοηθούν έτσι, ώστε εγγυημένα το κόλπο τους να πετύχει; (Ι. Μπογκντάνοβ, Κ.Κνοπ)


5. Ο Νίκος έγραψε στο τετράδιο διαφορετικούς θετικούς ακέραιους. Για κάθε ζεύγος αριθμών του τετραδίου έγραψε στον πίνακα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. Μπορεί άραγε για κάποιο να προκύψει έτσι, ώστε οι αριθμοί που βρίσκονται στον πίνακα να είναι (με κάποια διάταξη) διαδοχικοί όροι μη σταθερής αριθμητικής προόδου; (Σ. Μπερλόβ)

[george visvikis]

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη.

3. Το σημείο είναι το μέσο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου . Στην προέκταση των τμημάτων και προς το σημείο δίνονται τα σημεία και αντίστοιχα τέτοια, ώστε και . Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και , εφάπτονται. (Α. Κουζνέτσοβ)

Έστω το αντιδιαμετρικό του ως προς τον περίκυκλο του και η εφαπτομένη του στο

Επειδή τα σημεία είναι συνευθειακά.

2021(ΦΙΙΙ 10)).png (21.81 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές

Είναι ακόμα κι επειδή θα είναι και Άρα είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου

οπότε και τα είναι συνευθειακά. Εξάλλου, άρα η εφάπτεται και στον

περίκυκλο του στο και το ζητούμενο έπεται (Η ισότητα ολοκληρώνει την απόδειξη).

[cretanman]

1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι τρεις φυσικοί αριθμοί: δυο δεκαψήφιοι αριθμοί και , καθώς και το άθροισμά τους . Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα; (Ι. Μπογκντάνοβ, Π. Κοζέβνικοβ)

Αρχικά το άθροισμα , δύο δεκαψήφιων αριθμών μπορεί να έχει το πολύ ψηφία, άρα το σύνολο των ψηφίων των αριθμών είναι το πολύ . Θα δείξουμε ότι το είναι ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένοι στον πίνακα. Έστω τα τελευταία ψηφία των αριθμών αντίστοιχα.

Αν περιττοί τότε άρτιος άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον άρτιο ψηφίο εκ των που εμφανίζονται ενώ το ίδιο συμβαίνει αν κάποιος εκ των είναι άρτιος. Άρα ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένοι στον πίνακα είναι .

Με 30 περιττά ψηφία έχουμε το παράδειγμα του και

Αλέξανδρος