Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Φεβ 20, 2021 5:25 pm

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη.



1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι τρεις φυσικοί αριθμοί: δυο δεκαψήφιοι αριθμοί a και b, καθώς και το άθροισμά τους a+b. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα; (Ι. Μπογκντάνοβ, Π. Κοζέβνικοβ)


2. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά ενός πίνακα 9 \times 9 τους φυσικούς αριθμούς από το 1 έως το 81 (σε κάθε κελί από έναν αριθμό, όλοι αριθμοί είναι διαφορετικοί). Προέκυψε ότι οποιοιδήποτε δυο αριθμοί, που διαφέρουν κατά τρία, βρίσκονται σε γειτονικά κατά πλευρά κελιά. Είναι άραγε αληθές, ότι οπωσδήποτε θα βρεθούν δυο γωνιακά κελιά, η διαφορά των αριθμών στα οποία διαιρείται με το 6; (Ο. Ποντλίνσκιϊ)


3. Το σημείο M είναι το μέσο της βάσης AC ισοσκελούς τριγώνου ABC. Στην προέκταση των τμημάτων AC και BC προς το σημείο C δίνονται τα σημεία D και K αντίστοιχα τέτοια, ώστε BC=CD και CM=CK. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ABD και MCK, εφάπτονται. (Α. Κουζνέτσοβ)


4. Ένας μάγος και ο βοηθός του ετοιμάζονται να παρουσιάσουν το ακόλουθο κόλπο. Έχουν n \geq 3 κάρτες με τους αριθμούς 1,2, \dots, n, και n κελιά στην σειρά στο μέγεθος κάθε κάρτας. Οι πλευρές όλων των καρτών κατά την περιστροφή είναι δυσδιάκριτες. Ένας θεατής τοποθετεί σε κάποιες δυο θέσεις τις κάρτες 1 και 2, ο βοηθός, βλέποντας το αυτό, τοποθετεί στις άδειες θέσεις τις υπόλοιπες κάρτες. Ύστερα όλες οι κάρτες αναποδογυρίζονται με τους αριθμούς προς τα κάτω και εισέρχεται ο μάγος. Αναποδογυρίζει μια από τις κάρτες και ύστερα ο θεατής αναποδογυρίζει μια άλλη. Μετά από αυτό ο μάγος πρέπει να υποδείξει σωστά την κάρτα με τον αριθμό 1 και την κάρτα με τον αριθμό 2. Για ποια n ο μάγος και ο βοηθός του μπορούν να συνεννοηθούν έτσι, ώστε εγγυημένα το κόλπο τους να πετύχει; (Ι. Μπογκντάνοβ, Κ.Κνοπ)


5. Ο Νίκος έγραψε στο τετράδιο n διαφορετικούς θετικούς ακέραιους. Για κάθε ζεύγος αριθμών του τετραδίου έγραψε στον πίνακα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. Μπορεί άραγε για κάποιο n > 100 να προκύψει έτσι, ώστε οι \dfrac{n(n-1)}{2} αριθμοί που βρίσκονται στον πίνακα να είναι (με κάποια διάταξη) διαδοχικοί όροι μη σταθερής αριθμητικής προόδου; (Σ. Μπερλόβ)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10181
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 20, 2021 6:46 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Φεβ 20, 2021 5:25 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη.


3. Το σημείο M είναι το μέσο της βάσης AC ισοσκελούς τριγώνου ABC. Στην προέκταση των τμημάτων AC και BC προς το σημείο C δίνονται τα σημεία D και K αντίστοιχα τέτοια, ώστε BC=CD και CM=CK. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ABD και MCK, εφάπτονται. (Α. Κουζνέτσοβ)
Έστω N το αντιδιαμετρικό του C ως προς τον περίκυκλο του MCK και (\epsilon) η εφαπτομένη του στο N.

Επειδή \displaystyle N\widehat MC = 90^\circ, τα σημεία A, M, N είναι συνευθειακά.
2021(ΦΙΙΙ 10)).png
2021(ΦΙΙΙ 10)).png (21.81 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές
Είναι ακόμα MK||AD κι επειδή NC\bot MK θα είναι και NC\bot AD. Άρα C είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου

ADN οπότε και τα D, K, N είναι συνευθειακά. Εξάλλου, \displaystyle A\widehat DN = A\widehat KN = \omega , άρα η (\epsilon) εφάπτεται και στον

περίκυκλο του ABD στο N και το ζητούμενο έπεται (Η ισότητα \displaystyle B\widehat AN = N\widehat AC = C\widehat DN ολοκληρώνει την απόδειξη).


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4023
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Φεβ 20, 2021 10:00 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Φεβ 20, 2021 5:25 pm

1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι τρεις φυσικοί αριθμοί: δυο δεκαψήφιοι αριθμοί a και b, καθώς και το άθροισμά τους a+b. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα; (Ι. Μπογκντάνοβ, Π. Κοζέβνικοβ)
Αρχικά το άθροισμα a+b, δύο δεκαψήφιων αριθμών μπορεί να έχει το πολύ 11 ψηφία, άρα το σύνολο των ψηφίων των 3 αριθμών είναι το πολύ 31. Θα δείξουμε ότι το 30 είναι ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένοι στον πίνακα. Έστω a_1, \ b_1, \ c_1 τα τελευταία ψηφία των αριθμών a, \ b, \ c αντίστοιχα.

Αν a_1, \ b_1 περιττοί τότε c_1 άρτιος άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον άρτιο ψηφίο εκ των 31 που εμφανίζονται ενώ το ίδιο συμβαίνει αν κάποιος εκ των a_1, \ b_1 είναι άρτιος. Άρα ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένοι στον πίνακα είναι 30.

Με 30 περιττά ψηφία έχουμε το παράδειγμα του a=b=9999999999 και c=a+b=19999999998

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες