Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 839
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm

XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019.
11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης



1. Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο αριθμό (όχι απαραίτητα ακέραιο). Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 1», ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 2», …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 10». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 1», «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 2», …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 10» (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των 10 ατόμων;


2. Είναι γνωστό, ότι καθένα από τα τριώνυμα x^2+ax+b και x^2+ax+b+1 έχει τουλάχιστον μία ρίζα και όλες οι ρίζες αυτών των τριωνύμων είναι ακέραιοι. Να δείξετε, ότι το τριώνυμο x^2+ax+b+2 δεν έχει ρίζες.


3. Θα ονομάσουμε απόσταση μεταξύ δυο κελιών ενός τετραγωνισμένου πίνακα τον ελάχιστο αριθμό κινήσεων, με τις οποίες ένας σκακιστικός βασιλιάς μπορεί να μεταβεί από ένα εξ αυτών στο άλλο. Να βρείτε το μέγιστο αριθμό κελιών, που μπορούμε να σημειώσουμε σε πίνακα 100 \times 100 έτσι, ώστε μεταξύ αυτών να μην μπορούν να βρεθούν κελιά, η απόσταση μεταξύ των οποίων να είναι ίση με 15.


4. Η άπειρη ακολουθία μη μηδενικών αριθμών a_{1}, a_{2}, a_{3},… είναι τέτοια, ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς n \geq 2018 ο αριθμός a_{n+1} να είναι η μικρότερη ρίζα του πολυωνύμου P_{n}(x)=x^{2n}+a_{1}x^{2n-2}+a_{2}x^{2n-4}+…+a_{n}. Να αποδείξετε, ότι υπάρχει τέτοιο N, ώστε στην άπειρη ακολουθία a_{N}, a_{N+1}, a_{N+2}, … κάθε όρος να είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.


5. Σε τετράεδρο ABCD φέρουμε τα ύψη BE και CF. Το επίπεδο \alpha είναι κάθετο στην ακμή AD και διέρχεται από το μέσο της. Είναι γνωστό, ότι τα σημεία A,C,D και E είναι ομοκυκλικά, επίσης και τα σημεία A,B,D και F είναι ομοκυκλικά. Να αποδείξετε, ότι οι αποστάσεις των σημείων E και F από το επίπεδο \alpha είναι ίσες.



Πηγή



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1390
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μαρ 10, 2019 12:43 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm
XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019.
11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης


2. Είναι γνωστό, ότι καθένα από τα τριώνυμα x^2+ax+b και x^2+ax+b+1 έχει τουλάχιστον μία ρίζα και όλες οι ρίζες αυτών των τριωνύμων είναι ακέραιοι. Να δείξετε, ότι το τριώνυμο x^2+ax+b+2 δεν έχει ρίζες.
Πρέπει, a^2-4b=k^2,a^2-4(b+1)=\ell^2 για κάποιους (θετικούς) ακεραίους k,\ell.

Οπότε, πρέπει k^2-\ell^2=4  \Rightarrow (k-\ell)(k+\ell)=4.
Όμως, είναι k+\ell \equiv k-\ell \pmod 2, με k+\ell \geqslant k-\ell, οπότε αναγκαστικά k+\ell=k-\ell=2 \Rightarrow k=2,\ell=0.

Συνεπώς, a^2=4b+4.

Η διακρίνουσα του τριωνύμου x^2+ax+b+2 είναι \Delta=a^2-4(b+2)=-4<0, οπότε το τριώνυμο αυτό δεν έχει ρίζες.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Δευ Μαρ 11, 2019 6:59 am

Θα ήθελα να κάνω μία παρατήρηση. Δεν είναι ανάγκη ένα τριώνυμο που έχει ακέραια ρίζα να έχει διακρίνουσα τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Για παράδειγμα το τριώνυμο x^{2}-(\sqrt{3}+1)x+\sqrt{3} έχει ακέραια ρίζα το 1 χωρίς να έχει διακρίνουσα τετράγωνο ακεραίου. Επίσης δεν γνωρίζουμε ότι τα a,b είναι ακέραιοι.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1705
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Μαρ 11, 2019 6:51 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Δευ Μαρ 11, 2019 6:59 am
Θα ήθελα να κάνω μία παρατήρηση. Δεν είναι ανάγκη ένα τριώνυμο που έχει ακέραια ρίζα να έχει διακρίνουσα τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Για παράδειγμα το τριώνυμο x^{2}-(\sqrt{3}+1)x+\sqrt{3} έχει ακέραια ρίζα το 1 χωρίς να έχει διακρίνουσα τετράγωνο ακεραίου. Επίσης δεν γνωρίζουμε ότι τα a,b είναι ακέραιοι.
Σωστή η παρατήρηση. :clap2:

Στην περίπτωσή μας, όμως, τα a, b φανερά είναι ακέραιοι, αφού όλες οι ρίζες είναι ακέραιοι κ.λπ. :P


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8039
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 12, 2019 4:17 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm
XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019.
11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης


4. Η άπειρη ακολουθία μη μηδενικών αριθμών a_{1}, a_{2}, a_{3},… είναι τέτοια, ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς n \geq 2018 ο αριθμός a_{n+1} να είναι η μικρότερη ρίζα του πολυωνύμου P_{n}(x)=x^{2n}+a_{1}x^{2n-2}+a_{2}x^{2n-4}+…+a_{n}. Να αποδείξετε, ότι υπάρχει τέτοιο N, ώστε στην άπειρη ακολουθία a_{N}, a_{N+1}, a_{N+2}, … κάθε όρος να είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.

Αν δεν κάνω λάθος το N = 2019 δουλεύει.

Ας παρατηρήσουμε αρχικά ότι αν x ρίζα του P_n(x) τότε είναι και -x ρίζα του P_n(x). Άρα τα a_{2019},a_{2020},\ldots είναι όλα αρνητικά.

Επιπλέον για κάθε n \geqslant 2018 έχουμε P_{n+1}(x) = x^2P_n(x) + a_{n+1} και άρα P_{n+1}(a_{n+1}) = a_{n+1} < 0. Όμως προφανώς είναι και \lim\limits_{x \to -\infty} P_n(x) = +\infty άρα από συνέχεια της συνάρτησης υπάρχει \xi \in (-\infty,a_{n+1}) ώστε P_{n+1}(\xi) = 0. Άρα a_{n+2} < a_{n+1} και το ζητούμενο αποδείχθηκε.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8039
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 12, 2019 4:55 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm
XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019.
11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης


3. Θα ονομάσουμε απόσταση μεταξύ δυο κελιών ενός τετραγωνισμένου πίνακα τον ελάχιστο αριθμό κινήσεων, με τις οποίες ένας σκακιστικός βασιλιάς μπορεί να μεταβεί από ένα εξ αυτών στο άλλο. Να βρείτε το μέγιστο αριθμό κελιών, που μπορούμε να σημειώσουμε σε πίνακα 100 \times 100 έτσι, ώστε μεταξύ αυτών να μην μπορούν να βρεθούν κελιά, η απόσταση μεταξύ των οποίων να είναι ίση με 15.
Παίρνω όλα τα κελιά της μορφής (a,b) του πίνακα ώστε το πηλίκο του a με το 15 και το πηλίκο του b με το 15 να είναι άρτιο.

Για δυο τέτοια κελιά (a,b) και (a',b'): Αν τα a,a' έχουν διαφορετικό πηλίκο, θα διαφέρει τουλάχιστον κατά 2 οπότε θα είναι και |a-a'| \geqslant 16. Αλλά τότε η απόστασή τους θα είναι τουλάχιστον 16. Ομοίως και αν τα b,b' έχουν διαφορετικό πηλίκο. Σε διαφορετική περίπτωση έχουμε |a-a'| \leqslant 14 και |b-b'| \leqslant 14 και μπορούμε κάνοντας και διαγώνια βήματα αν χρειαστεί να πάμε από το ένα κελί στο άλλο κάνοντας το πολύ 14 βήματα.

Αυτή η επιλογή δίνει 9 \cdot 15^2 + 3 \cdot 15 \cdot 10 + 3\cdot 15 \cdot 10 + 10^2 = 3025 κελιά.

Χωρίζω τώρα όλα τα κελιά σε τετράδες της μορφής

\displaystyle \left\{(30k+\ell,30k'+\ell'),(30k+\ell+15,30k'+\ell'),(30k+\ell,30k'+\ell'+15),(30k+\ell+15,30k'+\ell'+15)\right\}

όπου k,k'=0,1,2,3 και \ell,\ell' = 1,2,\ldots,15.

Κάθε κελί ανήκει σε μια τέτοια τετράδα. (Μάλιστα κάποιες από τις τετράδες περιέχουν και κελιά εκτός του πίνακα.) Όμως σε κάθε τετράδα κάθε δύο κελιά έχουν απόσταση ακριβώς 15, άρα μπορώ να επιλέξω μόνο ένα κελί από κάθε τετράδα. Οι τετράδες που έχουν τουλάχιστον ένα κελί στον πίνακα είναι αυτές με k,k'=0,1,2 καθώς και όσες έχουν k=3 ή k'=3 και επιπλέον \ell = 1,2,\ldots,10 ή \ell'=1,2,\ldots,10 αντίστοιχα. Συνολικά έχουμε (3\cdot15+10)^2 = 3025 τέτοιες τετράδες.

Άρα μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ 3025 κελιά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης