mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 01, 2024 1:55 pm**

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+1}}-\dfrac{x}{x^2+1}$ . α) Να λυθεί η εξίσωση : $f(x)=\dfrac{2}{9}$

β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της

. γ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : $f(x)=\dfrac{1}{5}$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 01, 2024 2:21 pm**

Για το α: Θέτω $a=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+1}}$
Τότε f(x)=a-a^2

. Έχουμε $a-a^2=\frac{2}{9}\Leftrightarrow -a^2+a-\frac{2}{9}=0$ . Με διακρίνουσα βρίσκουμε τις λύσεις $a=\frac{1}{3}$ και $a=\frac{2}{3}$ .
Παίρνουμε πρώτη περίπτωση $a=\frac{1}{3}$ :
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{9}\Leftrightarrow x^2-9x+1=0$ . $x_{1}=\frac{9}{2}-\frac{\sqrt{77}}{2}$ , $x_{2}=\frac{9}{2}+\frac{\sqrt{77}}{2}$ .
Τώρα για $a=\frac{2}{3}$ έχουμε:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{x}{x^2+1}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow 4x^2-9x+4=0$
$x_{3}=\frac{9}{8}-\frac{\sqrt{17}}{8}$ , $x_{4}=\frac{9}{8}+\frac{\sqrt{17}}{8}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 01, 2024 3:32 pm**

Για το β)

$\in$ $[0,+\infty)$ το πεδιο ορισμου και ${f(x)\in\mathbb{R}:0\leq f(x)\leq \frac{1}{4}}$

Για τις ρίζες της εξίσωσης:
Πρέπει $\frac{\sqrt(x)}{\sqrt(x^2+1)}=\frac{x}{x^2+1}$
$\sqrt(x)(x^2+1)=x(\sqrt(x^2+1)$
$\Leftrightarrow x^5-x^4+2x^3-x^2+x=0\Leftrightarrow x(x^2+1)(x^2-x+1)=0\Leftrightarrow$
$x=0,x=\pm(i),x=\frac{1}{2}\pm(\frac{i\sqrt3}{2})$
για $x=\pm(i)$ βγαίνει απροσδιόριστο.
Αρα $x=0,x=\frac{1}{2}\pm(\frac{i\sqrt3}{2})$ οι λυσεις...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 01, 2024 3:35 pm**

Για το Β) παρατηρώ ότι $f(x)=-(a-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}$

αρα $f(x)\leq\frac{1}{4}$

mathematica.gr

Καλύτερο ριζικό

Καλύτερο ριζικό

Re: Καλύτερο ριζικό

Re: Καλύτερο ριζικό

Re: Καλύτερο ριζικό