ΘΕΜΑ
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
ΘΕΜΑ
Δίνονται οι συναρτήσεις
και
1. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική πραγματική ρίζα .
β) Να δείξετε ότι ισχύει και έπειτα ότι .
2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
3. Να αποδείξετε ότι
α) η συνάρτηση είναι μια παράγουσα της .
β)
4. Αν για την παραγωγίσιμη και κυρτή στο συνάρτηση ισχύει
, για κάθε ,
να αποδείξετε ότι
α) υπάρχει τέτοιο, ώστε και .
β)
5. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ,
όπου η ρίζα της συνάρτησης , και
να αποδείξετε ότι
και
1. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική πραγματική ρίζα .
β) Να δείξετε ότι ισχύει και έπειτα ότι .
2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
3. Να αποδείξετε ότι
α) η συνάρτηση είναι μια παράγουσα της .
β)
4. Αν για την παραγωγίσιμη και κυρτή στο συνάρτηση ισχύει
, για κάθε ,
να αποδείξετε ότι
α) υπάρχει τέτοιο, ώστε και .
β)
5. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ,
όπου η ρίζα της συνάρτησης , και
να αποδείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: ΘΕΜΑ
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Πέμ Απρ 06, 2023 12:24 amΔίνονται οι συναρτήσεις
και
1. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική πραγματική ρίζα .
β) Να δείξετε ότι ισχύει και έπειτα ότι .
2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
3. Να αποδείξετε ότι
α) η συνάρτηση είναι μια παράγουσα της .
β)
4. Αν για την παραγωγίσιμη και κυρτή στο συνάρτηση ισχύει
, για κάθε ,
να αποδείξετε ότι
α) υπάρχει τέτοιο, ώστε και .
β)
5. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ,
όπου η ρίζα της συνάρτησης , και
να αποδείξετε ότι
Καλημέρα ...ψάχνοντας τις δημοσιεύσεις βρήκα αυτή αναπάντητη ....και βγήκα μαζί της αλλά στο
5 ερώτημα τα χαλάσαμε λίγο...θα το κοιτάξω άλλη ώρα αν δεν δοθεί από κάποιον άλλον
ΛΥΣΗ
1.α) Είναι η συνάρτηση και θεωρούμε την
που συνεχής ως πράξεις συνεχών με και
οπότε ισχύει και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano με .
Τώρα η είναι παραγωγίσιμη με άρα είναι γνήσια φθίνουσα οπότε και τότε
η ρίζα μοναδική που είναι τότε μοναδική και της αφού
β) Ισχύει και επειδή έχουμε και επειδή
και το
2. Είναι παραγωγίσιμη με
και σύμφωνα με τα προηγούμενα για
άρα η γνήσια φθίνουσα στο και επίσης
άρα η γνήσια αύξουσα στο επομένως η έχει ελάχιστο
το
3. α) Είναι παραγωγίσιμη με
οπότε είναι μία παράγουσα της
β) Είναι άρα θέλουμε να δείξουμε ότι
ή ισοδύναμα
Τώρα αν με γίνεται
άρα θέλουμε να δείξουμε ότι ή
που ισχύει γιατί και όχι πάντα και
επιπλέον αφού είναι και όχι πάντα μηδέν
αφού είναι και για και
4. α) Αν υπάρχει πού τότε από θα έχουμε ότι
και επειδή θα είναι
Αν τώρα επειδή και είναι και επιπλέον
και αναγκαία τότε οπότε
και από θεώρημα Bolzano θα υπάρχει τέτοιο, ώστε άτοπο συμβαίνει όπως πριν
δηλαδή υπάρχει τελικά υπάρχει τέτοιο, ώστε και .
β) Η εφαπτομένη στο ή της είναι
και επειδή κυρτή ισχύει ότι
και αφού
επειδή λόγω της ανισότητας θα είναι
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Re: ΘΕΜΑ
στην προηγουμένη άσκηση να κανω 2 παρατηρήσεις
το ερώτημα 2 με έναν καλό πίνακα μονοτοκίας καλύπτει τα 1α, 1β
στο ζητούμενο του 5 δεν χρειάζονται τα απολυτά (δεν εχω λυση)
το ερώτημα 2 με έναν καλό πίνακα μονοτοκίας καλύπτει τα 1α, 1β
στο ζητούμενο του 5 δεν χρειάζονται τα απολυτά (δεν εχω λυση)
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες