Οριακή κατάσταση

KARKAR · #1

Υπολογίστε το : $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+3}\right)^x$

#2

Η προφανής λύση (για σύγκριση με άλλες , λιγότερο προφανείς )

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + 2x + 3}}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{x\ln \left( {\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + 2x + 3}}} \right)}}$
και
$\displaystyle \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\ln \left( {\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + 2x + 3}}} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\ln \left( {\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + 2x + 3}}} \right)} \right)}}{{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{5 + 2x - {x^2}}}{{(3 + 2x + {x^2})(2 + 3x + {x^2})}}}}{{ - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 5{x^2} - 2{x^3} + {x^4}}}{{(3 + 2x + {x^2})(2 + 3x + {x^2})}} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{x\ln \left( {\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + 2x + 3}}} \right)}} = {e^1} = e \end{array}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 13, 2023 12:49 pm
Υπολογίστε το : $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+3}\right)^x$

Υπάρχουν πολλοί τρόποι, αλλά ας δούμε έναν με ισοσυγκλίνουσες. Η απάντηση είναι

, όπως φαίνεται από τα παρακάτω.

$\displaystyle{ \left(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+3}\right)^x = \left(1+ \dfrac{x-1}{x^2+2x+3}\right)^x \le \left(1+ \dfrac{x-0}{x^2+0}\right)^x= \left(1+ \dfrac{1}{x}\right)^x \to e}$

και αφού για x>7

ισχύει

(κάνε τις απλοποιήσεις για να το δεις), ισοδύναμα (x-1)(x+4) > x^2+2x+3

, έχουμε

$\displaystyle{ \left(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+3}\right)^x = \left(1+ \dfrac{x-1}{x^2+2x+3}\right)^x \ge \left(1+ \dfrac{1}{x+4}\right)^x= \left(1+ \dfrac{1}{x+4}\right)^{x+4} \cdot \left(1+ \dfrac{1}{x+4}\right)^{-4} \to e\cdot 1 = e}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 13, 2023 12:49 pm
Υπολογίστε το : $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+3}\right)^x$

Αξίζει να δούμε άλλον έναν τρόπο.

α) Εύκολα μπορούμε να δείξουμε (το κάνω παρακάτω) ότι $\displaystyle{ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+ \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)^x= e^3}$ και όμοια
$\displaystyle{ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+ \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2}\right)^x= e^2}$ .

β) Με αυτά ως δεδομένα έχουμε

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+3}\right)^x = \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac {\left(1+ \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)^x}{\left(1+ \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2}\right)^x}= \dfrac {e^3}{e^2} = e$ , όπως στις προηγούμενες λύσεις.

Μένει να δούμε τους τύπους στο α). Βγαίνουν με πολλούς τρόπους Ένας είναι με λογάριθμους όπως ο τρόπος του Γιώργου παραπάνω. Άλλος είναι με ισοσυγκλίνουσες 'οπως στο προηγούμενο ποστ, ουσιαστικά ανάγοντάς τα στα

$\displaystyle{ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+ \dfrac{3}{x}\right)^x= e^3}$ και $\displaystyle{ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+ \dfrac{2}{x} \right)^x= e^2}$

Τα αφήνω, για χάρη άλλου τρόπου, όπου γίνεται χρήση γνωστλων αποτελεσμάτων:

$\displaystyle{ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+ \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)^x= \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+ \dfrac{1}{ \dfrac {x^2}{3x+2}} \right)^x = \lim\limits_{x\to+\infty}\left [\left(1+ \dfrac{1}{ \dfrac {x^2}{3x+2}} \right)^{\dfrac {x^2}{3x+2} } \right ]^{\dfrac {3x+2}{x}} = }$

$\displaystyle{= \lim\limits_{x\to+\infty}\left [\left(1+ \dfrac{1}{ y} \right)^{y } \right ]^{\dfrac {3x+2}{x}} = e ^{3/1} = e^3 }$

Όμοια το δεύτερο.

Ουσιαστικά η μέθοδος δείχνει ότι για oποιαδήποτε a,b,c,d

έχουμε

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2+ax+b}{x^2+cx+d}\right)^x = e^{a-c}$

KARKAR · #5

Η τελευταία λύση του Μιχάλη είναι περίπου αυτή την οποία είχα σκεφθεί ανεβάζοντας την άσκηση :

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+3}\right)^x= \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{x-1}{x^2+2x+3}\right)^x=$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{x-1}{x^2+2x+3}\right)^{\dfrac{x^2+2x+3}{x-1}\cdot\dfrac{x(x-1)}{x^2+2x+3}}=$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{u\right]^{\dfrac{x(x-1)}{x^2+2x+3}}}=e^1=e$

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 13, 2023 12:49 pm
Υπολογίστε το : $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+3}\right)^x$

Ας δούμε έναν τρόπο, νομίζω ότι είναι ο απλούστερος, στην περίπτωση που τα δύο τριώνυμα έχουν πραγματικές ρίζες. Εδώ δυστυχώς ο παρανομαστής έχει μιγαδικές. Γράφω όμως την μέθοδο στην περίπτωση που θέλουμε μία γκάμα ασκήσεων για να βάλουμε στους μαθητές μας.

Θέλουμε το $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2+ax+b}{x^2+cx+d}\right)^x$ όπου ο αριθμητής έχει ρίζες r_1,r_2

και ο παρονομαστής r_3,r_4

. Είναι τότε

$\displaystyle{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2+ax+b}{x^2+cx+d}\right)^x = \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{(x-r_1)(x-r_2)}{(x-r_3)(x-r_4)}\right)^x= \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\left (1-\dfrac {r_1}{x} \right)\left (1-\dfrac {r_2}{x}\right)}{\left (1-\dfrac {r_3}{x} \right) \left(1-\dfrac {r_4}{x}\right)}\right)^x=}$

$\displaystyle{ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\left (1-\dfrac {r_1}{x} \right)^x\left (1-\dfrac {r_2}{x}\right)^x}{\left (1-\dfrac {r_3}{x} \right)^x \left(1-\dfrac {r_4}{x}\right)^x}= \dfrac {e^{-r_1} e^{-r_2} }{e^{-r_3}e^{-r_4} }= \dfrac {e^{-r_1-r_2} }{e^{-r_3-r_4} }= \dfrac {e^{a} }{e^{c} } = e^{a-c} }$ (Edit: διόρθωσα τυπογραφικά)

(Σημειώνω ότι ισχύει και στην περίπτωση μιγαδικών ριζών διότι αληθεύει η $\lim\limits_{x\to+\infty}\left (1+\dfrac {z}{x} \right)^x = e^z$ , αλλά είναι εκτός σχολικής ύλης)

Οριακή κατάσταση

Οριακή κατάσταση

Re: Οριακή κατάσταση

Re: Οριακή κατάσταση

Re: Οριακή κατάσταση

Re: Οριακή κατάσταση

Re: Οριακή κατάσταση

Μέλη σε σύνδεση