Μέγιστο χωρίς παραγώγους
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μέγιστο χωρίς παραγώγους
Διαιρούμε αριθμητή και παρονομάστη με , τότε η έκφραση προς μεγιστοποίηση γίνεται
Θέτουμε , . Η εξίσωση , έχει πάντα μια μοναδική θετική λύση . Πράγματι
, για κάθε .
Οπότε το προς αναζήτηση μέγιστο είναι ισοδύναμο με το να βρούμε το μέγιστο της παράστασης
, αφού .
Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με (η παράσταση παίρνει και θετικές τιμές οπότε για δεν έχουμε μέγιστο) και έχουμε την ισοδύναμη παράσταση ως προς την αναζήτηση του μεγίστου
.
Αρκεί να ελαψιστοποιήσουμε δηλαδή την έκφραση . Από την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου έχουμε όμως
, με την ισότητα να ισχύει αν .
Οπότε το μέγιστο της παράστασης ισούται με και όντως "πιάνεται", αφού η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη ή ίση του .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μέγιστο χωρίς παραγώγους
Ακριβέστερα η άσκηση είναι από το Gazeta Matematica του 2010. Μου την έδωσε πρόσφατα Ρουμάνος μαθητής ο οποίος παρακολουθούσε ένα θερινό σχολείο που δίδασκα τις προηγούμενες εβδομάδες. Ο ίδιος ανέπτυξε την λύση στον πίνακα, ως μικρό μέρος της δικής του παρουσίασης προς τους άλλους μαθητές.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες