Μέγιστο χωρίς παραγώγους

#1

Να βρεθεί χωρίς χρήση παραγώγων το μέγιστο της $\displaystyle{ \dfrac {x^4-x^2}{x^6+2x^3-1} ,\,\,\, x\ge 1}$ .

Al.Koutsouridis · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 12, 2022 11:46 am
Να βρεθεί χωρίς χρήση παραγώγων το μέγιστο της $\displaystyle{ \dfrac {x^4-x^2}{x^6+2x^3-1} ,\,\,\, x\ge 1}$ .

Διαιρούμε αριθμητή και παρονομάστη με x^3

, τότε η έκφραση προς μεγιστοποίηση γίνεται

$\dfrac{x-\dfrac{1}{x}}{x^3+2-\dfrac{1}{x^3}}$

Θέτουμε $u=x-\dfrac{1}{x}$ , $u \geq 0$ . Η εξίσωση $x-\dfrac{1}{x} = k$ , $k \geq 0$ έχει πάντα μια μοναδική θετική λύση $x \geq 1$ . Πράγματι

$x_{+} = \dfrac{k+\sqrt{k^2+4}}{2} \geq 1$ , για κάθε $k \geq 0$ .

Οπότε το προς αναζήτηση μέγιστο είναι ισοδύναμο με το να βρούμε το μέγιστο της παράστασης

$\dfrac{u}{u^3+3u+2}$ , αφού $\left ( x- \dfrac{1}{x}\right )^3 = x^3-\dfrac{1}{x^3} -3\left( x- \dfrac{1}{x}\right)$ .

Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με u > 0

(η παράσταση παίρνει και θετικές τιμές οπότε για u=0

δεν έχουμε μέγιστο) και έχουμε την ισοδύναμη παράσταση ως προς την αναζήτηση του μεγίστου

$\dfrac{1}{u^2+3 +\dfrac{2}{u}}$ .

Αρκεί να ελαψιστοποιήσουμε δηλαδή την έκφραση $u^2+\dfrac{2}{u}$ . Από την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου έχουμε όμως

$u^2 +\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{u} \geq 3 \sqrt[3]{u^2 \cdot \dfrac{1}{u} \cdot \dfrac{1}{u}} =3$ , με την ισότητα να ισχύει αν $u^2 =\dfrac{1}{u} \Rightarrow u=1$ .

Οπότε το μέγιστο της παράστασης ισούται με $\dfrac{1}{6}$ και όντως "πιάνεται", αφού η εξίσωση $x-\dfrac{1}{x} = 1$ έχει λύση μεγαλύτερη ή ίση του

.

#3

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 24#p217624

#4

socrates έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 17, 2022 2:31 pm
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 24#p217624

Ακριβέστερα η άσκηση είναι από το Gazeta Matematica του 2010. Μου την έδωσε πρόσφατα Ρουμάνος μαθητής ο οποίος παρακολουθούσε ένα θερινό σχολείο που δίδασκα τις προηγούμενες εβδομάδες. Ο ίδιος ανέπτυξε την λύση στον πίνακα, ως μικρό μέρος της δικής του παρουσίασης προς τους άλλους μαθητές.

Μέγιστο χωρίς παραγώγους

Μέγιστο χωρίς παραγώγους

Re: Μέγιστο χωρίς παραγώγους

Re: Μέγιστο χωρίς παραγώγους

Re: Μέγιστο χωρίς παραγώγους

Μέλη σε σύνδεση