Μονίμως θετικό πολυώνυμο

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2995
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Μονίμως θετικό πολυώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Οκτ 12, 2021 8:18 pm

Με αφορμή αυτό -- και την όμορφη συζήτηση περί αυτού -- αντιπροτείνω:

x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+28>0


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3403
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μονίμως θετικό πολυώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 13, 2021 9:27 am

gbaloglou έγραψε:
Τρί Οκτ 12, 2021 8:18 pm
Με αφορμή αυτό -- και την όμορφη συζήτηση περί αυτού -- αντιπροτείνω:

x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+28>0
Θα το κάνω για x\geq 0

1περίπτωση
x> 1
Η x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+28>0
γράφεται
x^6+4x^5+4x^4+28>12x^2+24x
Αλλά
4x^4+9\geq 12x^2
οπότε αρκεί να δείξουμε
x^6+4x^5+19>24x
θέτουμε
g(x)=x^6+4x^5-24x+19
g(1)=0 και
g'(x)=6x^5+20x^4-24>0 για x\geq 1

Αρα g(x)>0 για x> 1 και τελειώσαμε

2περίπτωση
0\leq x\leq 1
θέτουμε
f(x)=x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+28
Είναι
f(0),f(1)>0
Είναι
f'(x)=6x^5+20x^4+16x^3-24x-24

Για 0\leq x\leq 1
είναι
 6x^5+20x^4+16x^3-24x-24 \leq 6x+20x+16x-24x-24=18x-24 \leq 0

Aρα η f είναι φθίνουσα στο [0,1] οπότε θετική σε αυτό.

Ουσιαστικά μετέφερα την λύση από το αυτό

Αργότερα θα γράψω και λύση για τα αρνητικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3403
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μονίμως θετικό πολυώνυμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 13, 2021 11:39 am

Για τα αρνητικά x αρκεί να αποδείξουμε ότι
x^6-4x^5+4x^4-12x^2+24x+28>0
για x\geq 0

1 περίπτωση
0\leq x\leq 1
Γραφοντας την
x^6+4x^4+24x+28>4x^5+12x^2
είναι προφανής .

2 περίπτωση
1\leq x\leq 2
Είναι
x^6-4x^5+4x^4-12x^2+24x+28=x^4(x-2)^2-12x^2+24x+28
\geq x^4(x-2)^2-12x^2+24+28=x^4(x-2)^2+52-12x^2> 0

3 περίπτωση
2\leq x\leq 3

Είναι
x^6-4x^5+4x^4-12x^2+24x+28=(x^4-12)(x-2)^2-24(x-2)+28
\geq 4(x-2)^2-24(x-2)+28=4((x-2)^2-6(x-2)+7)> 0

αφου 0\leq x-2\leq 1

4 περίπτωση
3\leq x

Είναι
x^6-4x^5+4x^4-12x^2+24x+28=x^4(x-2)^2-12x^2+24x+28
\geq  x^4-12x^2+3.24+28> x^4-12x^2+36> 0


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2995
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μονίμως θετικό πολυώνυμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Οκτ 14, 2021 12:22 am

Η δική μου απόδειξη (με ομοιότητες και διαφορές από αυτήν του αρχικού θέματος):

Λόγω της x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+28=x^4(x+2)^2=x^4(x+2)^2-12x(x+2)+28 συμπεραίνουμε, λόγω της διακρίνουσας 16x^2(9-7x^2), ότι η ζητούμενη ανισότητα ισχύει για |x|>\dfrac{3}{\sqrt{7}}. Θα αποδείξουμε τώρα, αξιοποιώντας 'εξ ίσου' και τον όρο x^6, τις ανισότητες

x^6 + 8x^4 - 24x^2 + 16 > 0 για x\in R και

x^6 + 8x^5 - 48x + 40 > 0 για x\in \left[-\dfrac{3}{\sqrt{7}}, \dfrac{3}{\sqrt{7}}\right],

από τις οποίες έπεται άμεσα η ζητούμενη ανισότητα ΚΑΙ για |x|\leq \dfrac{3}{\sqrt{7}}.

Για την πρώτη ανισότητα αρκεί να αποδειχθεί η t^3+8t^2-24t+16>0 για t>0. Από την (t^3+8t^2-24t+16)'=0 προκύπτει η ύπαρξη τοπικού -- ολικού στο (0, \infty) -- ελαχίστου στο t=\dfrac{-8+2\sqrt{34}}{3}, όπου η τιμή της τριτοβάθμιας ισούται προς \dfrac{3184-544\sqrt{34}}{27}>0.

Η δεύτερη ανισότητα ισχύει τετριμμένα για x<0, καθώς 8x^5 - 48x=8x(x^4-6) και |x|\leq \dfrac{3}{\sqrt{7}}<6^{1/4}. Ισχύει επίσης για 0\leq x\leq 1 επειδή η x^6+8x^5-48x+40 ισούται προς 1 για x=1 και είναι φθίνουσα λόγω της (x^6+8x^5-48x+40)'=6x^5+40x^4-48<0. Για το εναπομένον διάστημα, \left(1, \dfrac{3}{\sqrt{7}}\right], αρκεί να παρατηρηθεί ότι η εφαπτομένη y=-2x+3 της κυρτής συνάρτησης y=x^6+8x^5-48x+40 στο σημείο (1, 1) λαμβάνει θετική τιμή στο \dfrac{3}{\sqrt{7}}.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης