Τριτοβάθμιο άνω φράγμα εκθετικής
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Τριτοβάθμιο άνω φράγμα εκθετικής
Με αφορμή την συζήτηση εδώ, προτείνεται ανεξάρτητα:
για .
[Σίγουρα όχι τόσο δύσκολη (όσο η 'δυϊκή' της εδώ) ... αλλά χαριτωμένη!]
για .
[Σίγουρα όχι τόσο δύσκολη (όσο η 'δυϊκή' της εδώ) ... αλλά χαριτωμένη!]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τριτοβάθμιο άνω φράγμα εκθετικής
Καλημέρα!
Μια προσέγγιση εκτός φακέλου:
.
Όμως,
, απ' όπου προκύπτει η ζητούμενη ανισότητα.
Μια προσέγγιση εκτός φακέλου:
.
Όμως,
, απ' όπου προκύπτει η ζητούμενη ανισότητα.
Κώστας
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Τριτοβάθμιο άνω φράγμα εκθετικής
Κώστα αυτήν την απόδειξη είχα κι εγώ, ξεχνώντας όμως ότι μπορεί να είναι εκτός φακέλου
Ιδού λοιπόν μία άλλη προσέγγιση, εντός φακέλου αλλά κοπιώδης*:
Θεωρούμε την , και παρατηρούμε ότι , αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι:
(i) Η είναι γνησίως αύξουσα στο
(ii) Η είναι γνησίως αύξουσα στο
(iii) H είναι θετική στο τυχόν τοπικό ακρότατο της στο
-- Για το (i) η θετικότητα της προκύπτει από τις και για : η τελευταία προκύπτει από τις , , και .
-- Για το (ii) η θετικότητα της προκύπτει από τις , , και για : για την τελευταία αρκεί, λόγω , η .
-- Για το (iii) η θετικότητα της προκύπτει από την , δηλαδή την
Ύστερα από αντικατάσταση της ισότητας στην ανισότητα και πράξεις ... βλέπουμε ότι χρειαζόμαστε την , άμεση από την . [Όντως υπάρχει τέτοιο , με .]
*Υπάρχουν δύσκολες πράξεις και επαληθεύσεις ανισοτήτων, προσεκτικά ελεγμένες, που γίνονται και με το χέρι, απαιτώντας όμως γνώση ακόμη και του τέταρτου δεκαδικού ψηφίου του : αυτό ίσως κάνει την απόδειξη μου MH σχολική, καθώς η όποια προσέγγιση του απαιτεί γνώση της σχετικής σειράς, κλπ κλπ Δεδομένης και της όλης δυσκολίας της 'τριμερούς' απόδειξης μου, αλλά και της ύπαρξης της απλής αρχικής απόδειξης που παρέθεσε παραπάνω ο Κώστας, ανακύπτουν ερωτηματικά όσον αφορά το νόημα της παράθεσης της εδώ: δεν έχω ... τύψεις, μια και η σχετική μεθοδολογία θα μπορούσε κάλλιστα να είναι χρήσιμη σε κάποια άλλη σφικτή ανισότητα χωρίς απλή και 'εκ κατασκευής' απόδειξη**. (Επίσης ... η παράθεση της μπορεί να παρακινήσει άλλα μέλη να δώσουν άλλες αποδείξεις, που πολύ θα ήθελα να δω!)
**Όποιος δεν έχει δει την προέλευση της ανισότητας (εδώ) ... θα το θεωρεί σίγουρο ότι είναι αποκύημα της σειράς Taylor της
Ιδού λοιπόν μία άλλη προσέγγιση, εντός φακέλου αλλά κοπιώδης*:
Θεωρούμε την , και παρατηρούμε ότι , αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι:
(i) Η είναι γνησίως αύξουσα στο
(ii) Η είναι γνησίως αύξουσα στο
(iii) H είναι θετική στο τυχόν τοπικό ακρότατο της στο
-- Για το (i) η θετικότητα της προκύπτει από τις και για : η τελευταία προκύπτει από τις , , και .
-- Για το (ii) η θετικότητα της προκύπτει από τις , , και για : για την τελευταία αρκεί, λόγω , η .
-- Για το (iii) η θετικότητα της προκύπτει από την , δηλαδή την
Ύστερα από αντικατάσταση της ισότητας στην ανισότητα και πράξεις ... βλέπουμε ότι χρειαζόμαστε την , άμεση από την . [Όντως υπάρχει τέτοιο , με .]
*Υπάρχουν δύσκολες πράξεις και επαληθεύσεις ανισοτήτων, προσεκτικά ελεγμένες, που γίνονται και με το χέρι, απαιτώντας όμως γνώση ακόμη και του τέταρτου δεκαδικού ψηφίου του : αυτό ίσως κάνει την απόδειξη μου MH σχολική, καθώς η όποια προσέγγιση του απαιτεί γνώση της σχετικής σειράς, κλπ κλπ Δεδομένης και της όλης δυσκολίας της 'τριμερούς' απόδειξης μου, αλλά και της ύπαρξης της απλής αρχικής απόδειξης που παρέθεσε παραπάνω ο Κώστας, ανακύπτουν ερωτηματικά όσον αφορά το νόημα της παράθεσης της εδώ: δεν έχω ... τύψεις, μια και η σχετική μεθοδολογία θα μπορούσε κάλλιστα να είναι χρήσιμη σε κάποια άλλη σφικτή ανισότητα χωρίς απλή και 'εκ κατασκευής' απόδειξη**. (Επίσης ... η παράθεση της μπορεί να παρακινήσει άλλα μέλη να δώσουν άλλες αποδείξεις, που πολύ θα ήθελα να δω!)
**Όποιος δεν έχει δει την προέλευση της ανισότητας (εδώ) ... θα το θεωρεί σίγουρο ότι είναι αποκύημα της σειράς Taylor της
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Τριτοβάθμιο άνω φράγμα εκθετικής
Πιο σύντομα, και πιο ... εντός φακέλου:
Θεωρούμε την , οπότε , , , .
Παρατηρούμε ότι η δεν μπορεί να λαμβάνει και θετικές και αρνητικές τιμές στο , σε δύο σημεία και ας πούμε (, ): στην περίπτωση αυτή θα υπήρχε όπου , άρα θα όφειλαν να υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία μηδενισμού της (ένα στο , ένα στο , και ένα στο ), άρα και τουλάχιστον δύο σημεία μηδενισμού της στο ^ επειδή όμως η μηδενίζεται και στο , θα πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία μηδενισμού της , άρα και ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού της , άτοπο.
Αρκεί επομένως να δειχθεί η ύπαρξη ενός σημείου όπου . Δεν βλέπω κάποιον 'αφηρημένο', αλλά και σχολικότερο (!) τρόπο να προκύψει αυτό, μπορούμε όμως πάντα να λάβουμε , οπότε (απαιτείται εδώ η γνώση της για την ).
Θεωρούμε την , οπότε , , , .
Παρατηρούμε ότι η δεν μπορεί να λαμβάνει και θετικές και αρνητικές τιμές στο , σε δύο σημεία και ας πούμε (, ): στην περίπτωση αυτή θα υπήρχε όπου , άρα θα όφειλαν να υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία μηδενισμού της (ένα στο , ένα στο , και ένα στο ), άρα και τουλάχιστον δύο σημεία μηδενισμού της στο ^ επειδή όμως η μηδενίζεται και στο , θα πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία μηδενισμού της , άρα και ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού της , άτοπο.
Αρκεί επομένως να δειχθεί η ύπαρξη ενός σημείου όπου . Δεν βλέπω κάποιον 'αφηρημένο', αλλά και σχολικότερο (!) τρόπο να προκύψει αυτό, μπορούμε όμως πάντα να λάβουμε , οπότε (απαιτείται εδώ η γνώση της για την ).
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες